Universit´e P. et M. Curie Master de Math´ematiques
MM003
Vendredi 16 d´ecembre 2011
Analyse R´ eelle
Dur´ee 3 heures – sans document Les deux exercices sont ind´ependants.
On note S la sph`ere unit´e de l’espace euclidienR3 et la mesure surS qui v´erifie pour toute fonction continuef :S !C
Z
S
f(u)d (u) =Z 2⇡
0
d✓
Z ⇡/2
⇡/2
f(cos⇣cos✓,cos⇣sin✓,sin⇣) cos⇣ d⇣
Il est bien connu que est invariante par isom´etrie, c’est-`a-dire que si U est une isom´etrie lin´eaire deR3, on aR
Sf U(v)d (v) =R
Sf(u)d (u). On sait aussi que pourg2L1(R3), on a la formule de calcul de l’int´egrale en coordonn´ees polaires :
Z g(x)dx=Z 1
0
r2dr Z
S
g(ru)d (u)
I
Soit f une fonction de classeC1 d´efinie sur la boule unit´e ferm´eeB de R3. On rappelle que la norme de f dans l’espace de Sobolev H1(B) =W1,2(B) est
kfkH1 =✓Z
B
⇣|f(x)|2+|@1f(x)|2+|@2f(x)|2+|@3f(x)|2⌘ dx
◆1/2
1) Sig est une fonction de classe C1 sur l’intervalleJ = [1
2,1], on pose Q(g) =✓Z
J |g(t)|2+|g0(t)|2 dt
◆1/2
.
Montrer que
g(1) =Z
J
d
dt (2t 1)g(t) dt= 2Z
J
g(t)dt+Z
J
(2t 1)g0(t)dt et en d´eduire que
|g(1)|62⇣Z
J|g(t)|2 dt⌘1/2⇣Z
J
dt⌘1/2
+⇣Z
J|g0(t)|2 dt⌘1/2⇣Z
J
(2t 1)2dt⌘1/2
6p 2.⇣Z
J|g(t)|2 dt⌘1/2
+ 1 p6.⇣Z
J|g0(t)|2 dt⌘1/2
6Q(g).
r 2 + 1
6 6 3 2Q(g) 2) PourudansS , on consid`ere la fonctionfusur [1
2,1] d´efinie parfu(t) =f(tu). Montrer que si u= (↵, , ), on a fu0(t) =↵@1f(tu) + @2f(tu) + @3f(tu), donc
|fu(t)|2+|fu0(t)|2 6|f(tu)|2+ (↵2+ 2 + 2) |@1f(tu)|2+|@2f(tu)|2+|@3f(tu)|2 6|f(tu)|2+|@1f(tu)|2+|@2f(tu)|2+|@3f(tu)|2
puis que Q(fu)2 64Z
J
t2 |f(tu)|2+|@1f(tu)|2+|@2f(tu)|2+|@3f(tu)|2 dt et que Z
S
Q(fu)2d (u)64kfk2H1
3) D´eduire de ce qui pr´ec`ede queZ
S|f(u)|2 d (u) =Z
S|fu(1)|2 d (u)69kfk2H1, et qu’il existe une application lin´eaire continue de H1(B) dans L2(S, ) telle que (f) soit la restrictionf|S de f `a la sph`ere S lorsque f est C1 sur B.
II
Soit f une fonction complexe continue sur S telle que R
Sf(u)d (u) = 0. On pose µ= supu2S|f(u)| et on consid`ere la fonction homog`ene g de degr´e 3 d´efinie sur R3\ {0} par
g(x) =kxk 3f( x kxk) .
Pour toute fonction'2D(R3) et tout " 2]0,1[ on pose hT", 'i=Z
"<kxk<1/"
g(x)'(x)dx.
1) On veut montrer l’existence d’une distributionT surR3 telle quehT", 'i ! hT, 'ipour tout'2D(R3). On choisit une fonction 2D(R) ´egale `a 1 en 0 et on pose 0(x) = (kxk2).
Montrer que 0 2D(R3) et que hT", 0i= 0 quel que soit " >0.
On suppose que '2D(R3), que supp(')⇢ B(0, R) et que ' s’annule en 0. Si p est la semi-norme d´efinie surD(R3) par
p( ) = sup
x |@1 (x)|+ sup
x |@2 (x)|+ sup
x |@3 (x)| ,
montrer que |'(x)| 6 p(').kxk pour tout x 2 R3, puis que |g(x).'(x)| 6 µ.p(').kxk 2 et queZ
|g(x)'(x)| dx64⇡µR.p('). En d´eduire queg'est int´egrable et quehT", 'itend vers R g(x)'(x)dxquand " tend vers 0.
On suppose maintenant que 2D(R3). Montrer que (0). 0 s’annule en 0 et que hT", i=hT", (0). 0i !
Z
g(x). (x) (0). 0(x) dx
quand"tend vers 0, et en d´eduire qu’il existe une distributionT 2D0(R3) telle queT" !T. 2) On veut montrer queT est une distribution homog`ene de degr´e 3. Soient '2D(R3) et >0. On pose ' (x) ='(x
). Montrer que
hT", ' i= 3. Z
"<kyk< 1"
g( y)'(y)dy =hT"/ , 'i
lorsque" est assez petit, et conclure. En d´eduire que T est une distribution temp´er´ee.
On se propose de d´eterminer, en fonction de f, la transform´ee de Fourier de T. 3) Montrer que la forme lin´eaire M d´efinie sur D(R3) par hM, 'i = R
Sf(u)'(u)d (u) est une distribution `a support compact et que sa transform´ee de Fourier est la fonction Mc:⇠ 7!R
Sf(u).e ihu,⇠id (u).
2
Montrer que Mc(0) = 0 , que pour u2S on a 1 e ihu,⇠i = 2 sinhu, ⇠i
2 6|hu, ⇠i|6k⇠k et que
Mc(⇠) = Mc(⇠) Mc(0) = Z
S
(1 e ihu,⇠i)f(u)d (u) 6Z
S
1 e ihu,⇠i .|f(u)| d (u)64⇡µk⇠k
4) On note (e1, e2, e3) la base canonique de R3. Montrer que pour r2R on a Mc(re3) =Z ⇡/2
⇡/2
cos⇣.e irsin⇣d⇣
Z 2⇡
0
f(cos✓cos⇣,sin✓cos⇣,sin⇣)d✓ , que la fonction f⇤ d´efinie sur [ 1,1] par f⇤(t) = R2⇡
0 f(cos✓.p
1 t2,sin✓.p
1 t2, t)d✓ et nulle hors de [ 1,1] est born´ee en module par 2⇡µ, et que Mc(re3) =R1
1f⇤(t)e irtdt.
En d´eduire au moyen de la formule de Parseval que Z +1
1
Mc(re3) 2 dr = 2⇡Z +1
1 |f⇤(t)|2 dt= 2⇡Z +1
1 |f⇤(t)|2 dt616⇡3µ2 .
Si maintenant ⇠⇤ est un vecteur unitaire de R3, en consid´erant une rotation U de R3 envoyant e3 sur ⇠⇤, montrer que ˜f = f U est continue sur S et born´ee en module par µ, que R
Sf(v)˜ d (v) = 0 et en conclure que Z
Mc(r⇠⇤) 2 dr 616⇡3µ2 6(8⇡µ)2. 5) Montrer que pour⇠⇤ 2S on a
Z 1
0
Mc(r⇠⇤) dr
r 6Z 1 0
4⇡µ.rk⇠⇤kdr
r +⇣Z 1
1
Mc(r⇠⇤) 2 dr⌘1/2⇣Z 1
1
1
r2 dr⌘1/2
612⇡µ puis que pour⇠ 6= 0 dans R3 et ⇠⇤ = ⇠
k⇠k, on a Z 1
0
Mc(r⇠)dr
r =Z 1
0
Mc(s⇠⇤)ds s . 6) Soit 2S(R3). Montrer que, pour" >0,
hF(T"), i=hT", ˆi=ZZ
"<kxk<1/"kxk 3f( x
kxk) (⇠)e ihx,⇠idx d⇠
=ZZZ
"<r<1/"
f(u) (⇠)e irhu,⇠id⇠ d (u)dr r =ZZ
"<r<1/"
(⇠)Mc(r⇠)dr r d⇠
Montrer que la fonction (⇠, r) 7! (⇠)Mc(r⇠)
r est int´egrable sur R3 ⇥R+ , que la fonction h d´efinie par h(⇠) = R1
0 Mc(r⇠)dr
r est bien d´efinie, born´ee et homog`ene de degr´e 0 et que
F(T") converge dans S0(R3) vers la distribution ⇥ associ´ee `a h.
En d´eduire que T" converge vers F 1(⇥) dans S0(R3), donc aussi dans D0(R3), puis queT =F 1(⇥), et enfin que F(T) =h.
7) Soit 2S(R3). Montrer que T ⇤ est une distribution temp´er´ee et que F(T ⇤ ) est la fonction h.ˆ. En d´eduire que T ⇤ est dans L2(R3) et que
Z
|T ⇤ (x)|2 dx= (2⇡) 3Z
|h(⇠)|2.|ˆ(⇠)|2 d⇠ 6sup
⇠ |h(⇠)|2. Z
| (x)|2 dx
et enfin que l’application 7! T ⇤ se prolonge en une application lin´eaire continue de L2(R3) dans lui-mˆeme, dont la norme est au plus 12⇡µ.
3
