les deux premiers exercices sont réservés Exercice I

ECE 1 MATHEMATIQUES

Devoir Maison 5 15 décembre 2015

3 exercices au choix ; les deux premiers exercices sont réservés

Exercice I. (compétence principale : T, secondaire : C) réservé DS1<6 Résoudre le système :

(S) :

( 2x²−5√ y = 3

−3x²+ 4√

y =−8 (Si besoin, on pourra poser X=x² et Y =√ y.)

Exercice II. (compétence principale : T) réservé DS1<10 1. Calculer les limites :

a. lim

n→+∞ e²ⁿ−3n⁵ b. lim

x→+∞

1

x²+ 1−e^−x+x

2. Calculer le plus simplement possible 14

9

.

Exercice III. (compétence principales : M,A, secondaires : R,T,C) On distribue à un joueur5 cartes d'un jeu classique de52cartes.

(Les réponses aux questions suivantes devront être précisément justiées.) 1. Combien y a-t-il de mains possibles ?

2. Combien y a-t-il de mains contenant 3rois et 2 dames (fulls aux rois par les dames) ? 3. Combien y a-t-il de fulls au total ?

4. Combien y a-t-il de mains contenant une double paire (ie deux paires et une cinquième carte de hauteur diérente) ?

5. Combien y a-t-il de mains contenant au moins4 trèes (couleurs ou tirages couleurs) ? Exercice IV. (compétence principales : R,T, secondaire : C)

1. Calculer et simplier

n

X

k=0

n k

k+ 1.

2. Soitk,p etntrois entiers tels que 0≤k≤p≤n. a. Montrer que

n k

n−k p−k

= p

k n p

. b. En déduire une expression simpliée de S=

p

X

k=0

n k

n−k p−k

.

1/2

Exercice V. (compétence principales : T,C secondaires : A,R) Soit la suite(un)n∈N dénie paru0= 2 et∀n∈N, un+1 = ln(u²_n+ 1). On donne ln(5)'1.6

1. Calculer u₁ etu₂.

2. Montrer que∀n∈N, 0≤u_n≤2.

3. Etudier les variations de la fonction f dénie par f(x) =x−ln(x²+ 1). 4. En déduire son signe surR+.

5. Montrer que la suite(u_n)n∈N est décroissante.

6. Est-elle convergente ? Justier.

Exercice VI. (compétence principales : R,T,A,C) On dénit deux suites(un)n∈N et(vn)n∈N par : u₀ = 2, v₀ = 3 et ∀n∈N, u_n+1 = 2u_nv_n

un+vn et v_n+1= u_n+v_n 2 .

1. a. Démontrer par récurrence sur n∈Nque les deux suites sont à termes strictement positifs.

b. En déduire que ∀n∈N, un≤vn.

c. Etudier la monotonie des suites (un)n∈Net(vn)n∈N. 2. a. Montrer que ∀n∈N, vn+1−un+1 ≤ 1

2(vn−un). b. Vérier alors que ∀n∈N, 0≤vn−un≤ 1

2ⁿ(v0−u0). c. En déduire lim

n→+∞(v_n−u_n).

3. Déduire des questions précédentes que les deux suites sont convergentes.

4. Montrer que la suite produit (unvn)n∈N est constante.

5. En déduire alors la limite des suites (un)n∈N et(vn)n∈N.

6. Dans le cas général, oùu₀ >0etv₀ >0seraient quelconques, quelle serait la limite des suites ? Justier.

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