209 – Approximation d’une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques.

209 – Approximation d’une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques.

Exemples et applications.

2013 – 2014

Question.

Qu’est-ce qu’une fonction qui satisfait les conditions de Hölder (ou hölde- rienne) ?

Réponse.

Une fonctionf vérifiant

∀x, y, |f(y)−f(x)| ≤C|x−y|^α pourC >0 etα∈]0,1].

Question.

Que se passe-t-il siα >1 ?

Réponse.

Dans ce cas,

f(y)−f(x) y−x

≤C|x−y|^α−1 doncf⁰(x) = 0 pour toutx, doncf est constante.

Question.

Majorer la vitesse de convergence des polynômes de Bernstein dans le cas d’une fonctionf hölderienne.

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Question.

Le module de continuité est égal à

ω(h) = sup{|f(y)−f(x)| | |y−x| ≤h} ≤Ch^α.

On en déduit

kBn−fk_∞≤ C n^α2.

Question.

Est-ce que toute fonction continue surRest limite uniforme d’une suite de polynômes ?

Réponse.

Non, en fait seuls les polynômes sont limites uniformes d’une suite de poly- nômes.

Soit (P_n)_n∈Nune suite de polynômes convergeant uniformément versf. Alors (Pn)_n∈N est de Cauchy donc il existeN ∈N tel que pour toutn ≥N,kPn− PNk_∞<1. OrPn−PN est un polynôme borné, donc est constant, on aPn− PN =cn ∈ C. Or Pn−PN converge versf −PN donc (cn)_n∈N converge vers une constantec=f−PN. D’où f =PN +cest un polynôme.

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