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Problème B : polynômes trigonométriques

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

PSI* — 2020/2021 Le 12/09/2020.

D.S. 1

(4 heures)

Problème A : calcul de

ζ(2) Le but du problème étant le calcul de ζ(2) =

k=1

1

k2, on fera comme si l’on ignorait sa valeur. . . 1) Soient n∈N,n >1, et x réel tel quecosx= 0 etcosnx= 0. À l’aide de la formule de M ,

démontrer que tannx peut s’écrire sous la forme P(tanx)

Q(tanx) où P etQ sont deux polynômes.

2) a)Si n= 2p+ 1(p∈N), montrer que l’on peut choisir au1) P(X) =

p

k=0

(−1)k n

2k+ 1 X2k+1 b)On pose θk= kπ

n , pour −p≤k≤p. Démontrer que : P(X) = (−1)p

p

k=−p

(X−tanθk) = (−1)pX

p

k=1

X2−tan2θk

c)On pose alors A(Y) =

p

k=0

(−1)k n

2k+ 1 Yk et B(Z) =

p

k=0

(−1)k n

2k+ 1 Zpk. Quelles sont les racines des polynômes A etB?

d)En déduire :

p

k=1

tan2θk=p(2p+ 1) et

p

k=1

cot2θk= p(2p−1)

3 .

3) Montrer que :

∀x∈ 0,π

2 sinx≤x≤tanx.

En déduire :

∀x∈ 0,π

2 cot2x≤ 1

x2 ≤1 + cot2x.

4) Déduire des questions précédentes la valeur de

k=1

1 k2.

Problème B : polynômes trigonométriques

Notations et objectifs

Dans tout le problème, on confondra polynôme et fonction polynomiale.

PourP ∈C[X], on note

P = sup |P(x)|, x∈[−1,1] et M(P) = sup P e , θ∈R .

Pourn∈N,Undésigne l’ensemble des polynômes deC[X]de degrénet unitaires (i.e. dont le coefficient dominant vaut 1).

(2)

PSI* — 2020/2021 — D.S. 1 (4 heures) Page 2/4 On appelle polynôme trigonométrique toute application f :R→C telle qu’il existe N dans N et une famille de complexes (cN, cN+1, . . . , cN) dans C2N+1 vérifiant :

∀θ∈R f(θ) =

N

k=−N

ckeikθ.

On définit alors la famille (ck)k∈Z à support fini (i.e. comportant un nombre fini de termes non nuls) en posant : ∀k∈Z\[−N, N] ck = 0et l’on écrit :

∀θ∈R f(θ) =

+∞

k=−∞

ckeikθ. Le problème comporte deux parties.

Dans la première, on caractérise les polynômes trigonométriques à valeurs dans R+.

Dans la seconde, on détermine min{ P , P ∈Un} et l’unique polynôme réalisant ce minimum.

Partie I

Soient f un polynôme trigonométrique, N ∈N et(cN, cN+1, . . . , cN)∈C2N+1 tels que :

∀θ∈R f(θ) =

N

k=−N

ckeikθ.

1) Calculer, pour m∈Z, les intégrales : 1 2π

π

π

eimθdθet 1 2π

π

π

f(θ)eimθdθ.

2) En déduire l’unicité de la famille (ck)k∈Z à support fini telle que : ∀θ∈R f(θ) =

+∞

k=−∞

ckeikθ. Montrer qu’une condition nécessaire et suffisante pour quef soit à valeurs réelles est :

∀k∈ {0, . . . , N} ck=ck. 3) Montrer qu’il existe un unique polynômeP dansC[X]tel que :

∀θ∈R f(θ) =eiN θ·P e . Calculer les coefficientsu0, u1, . . . deP (tels queP =

j∈N

ujXj) en fonction desck. Quel est le degré deP lorsquecN = 0?

Pour la fin du I, on suppose f à valeurs réelles et cN = 0.

4) Montrer que P(0) = 0 et vérifier que∀j ∈ {0, . . . ,2N} u2Nj =uj.

En déduire que, siz0 est une racine deP de multiplicitém∈N, alors1 /z0 est aussi une racine de P de multiplicitém(on pourra exprimer, pour z∈C, P(1 /z)en fonction de P(z)).

5) Soit θ0 réel tel quee0 soit une racine de P de multiplicitém∈N. a)Établir : ∀θ∈R f(θ) = sin θ−θ0

2

m

·g(θ), oùgest une fonction continue telle queg(θ0) = 0.

b)Montrer que, si f est de plus à valeurs dans R+, alorsmest pair.

Toujours pour la fin du I, on suppose f à valeurs dans R+ et cN = 0.

(3)

PSI* — 2020/2021 — D.S. 1 (4 heures) Page 3/4

6) a)Montrer que l’on peut factoriser P sous la forme : P(X) =c·A(X)·B(X), où :

∗ cest une constante complexe non nulle ;

∗ A(X) =

p

j=1

X−ej 2αj, avec p ∈N (A = 1 si p = 0), les θj étant dans R, deux à deux non congrus modulo2π et lesαj dans N ;

∗ B(X) =

q

k=1

[(X−zk) (X−1 /zk)]βk, avec q ∈ N (B = 1 si q = 0), les zk étant dans C, deux à deux distincts, non nuls, de module strictement inférieur à 1 et lesβk dans N.

Que vaut la somme

p

j=1

αj+

q

k=1

βk ?

b)En déduire qu’il existe un polynômeQ de C[X], de degré N, tel que : ∀θ∈R f(θ) = Q e 2. On pourra justifier, puis utiliser les égalités suivantes :

e−ej

2

=−e·ej · e−ej

2 et e−zk e−1 /zk =−e

zk · e−zk 2

.

Partie II Soit (Tn)n∈N la suite de polynômes de R[X] définie par :

T0= 1, T1 =X et ∀n∈N Tn+1= 2X·Tn−Tn−1

(polynômes de Tchebychev de première espèce).

1) Montrer que, pour tout ndans N,Tn est un polynôme de degrén; préciser son coefficient dominant.

Établir :

∀n∈N ∀θ∈R Tn(cosθ) = cosnθ.

En déduire la valeur de 1

2n−1 ·Tn , pourn∈N.

2) Soit n∈N et, pour k∈ {0, . . . , n},xk= cos (kπ/n) ; on notera que :

−1 =xn< xn−1 <· · ·< x0 = 1.

a)Soit P ∈R[X], de degrén, unitaire et tel que : P < 1 2n−1. Montrer que le polynôme Q= 1

2n−1 ·Tn−P s’annule sur chaque intervalle]xk+1, xk[,0≤k≤n−1.

En déduire une contradiction.

b)Montrer que, si P ∈Un, alors P ≥ 1

2n−1 (on traitera d’abord le cas où P est à coefficients réels, puis le cas général en écrivant P =A+iB, avec A et B dans R[X]).

3) Soient f un polynôme trigonométrique à valeurs dans R+, N dans N et (cN, cN+1, . . . , cN) dans C2N+1 tels que :

∀θ∈R f(θ) =

N

k=−N

ckeikθ, aveccN = 0.

a)Montrer qu’il existe une unique famille (a0, a1, b1, . . . , aN, bN) dans R2N+1 telle que :

∀θ∈R f(θ) =a0+

N

k=1

(akcoskθ+bksinkθ).

(4)

PSI* — 2020/2021 — D.S. 1 (4 heures) Page 4/4

b)D’après I-6)b), il existe un polynômeQ de degréN dansC[X]tel que :

∀θ∈R f(θ) = Q e

2

. Soit Q(X) =

N

j=0

λjXj un tel polynôme. Montrer que :

aN −ibN = 2·λ0·λN et a0=

N

j=0

j|2. En déduire que :

a2N+b2N ≤a20. 4) Étude d’un cas particulier

Soit N ∈N et Q∈C[X]tel que Q(X) =

N

j=0

λjXj , avecλ0N = 1.

Soient f :R→Ret(a0, a1, b1, . . . , aN, bN)∈R2N+1 tels que :

∀θ∈R f(θ) = Q e

2

=a0+

N

k=1

(akcoskθ+bksinkθ). a)Que deviennent les relations établies au II-3)b) ?

b)Montrer, en utilisant une intégration, que :

[M(Q)]2 ≥a0.

c)En réutilisantII-3)b), pour la fonction g:θ→[M(Q)]2−f(θ), montrer que : M(Q)≥2 , avec égalité si et seulement si : ∀j∈ {1, . . . , N−1} λj = 0.

5) Soit n∈N etA∈Un tels que A = 1 2n−1.

a)Montrer que l’on définit bien un polynôme de C[X]en posant : Q(X) = 2n·Xn·A 1

2 X+ 1 X (attention ! Il ne s’agit pas du produit de A par 1

2 X+ 1

X mais de la composition opérée en remplaçant Y par 1

2 X+ 1

X dans l’expression A(Y)).

Quels sont le degré, le coefficient dominant et le coefficient constant de Q ? b)CalculerM(Q). En déduire que Q(X) =X2n+ 1.

c)Montrer que A= 1

2n−1 ·Tn. Conclusion ?

⋆ ⋆

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