PSI* — 2020/2021 Le 12/09/2020.
D.S. 1
(4 heures)Problème A : calcul de
ζ(2) Le but du problème étant le calcul de ζ(2) =∞
k=1
1
k2, on fera comme si l’on ignorait sa valeur. . . 1) Soient n∈N∗,n >1, et x réel tel quecosx= 0 etcosnx= 0. À l’aide de la formule de M ,
démontrer que tannx peut s’écrire sous la forme P(tanx)
Q(tanx) où P etQ sont deux polynômes.
2) a)Si n= 2p+ 1(p∈N∗), montrer que l’on peut choisir au1) P(X) =
p
k=0
(−1)k n
2k+ 1 X2k+1 b)On pose θk= kπ
n , pour −p≤k≤p. Démontrer que : P(X) = (−1)p
p
k=−p
(X−tanθk) = (−1)pX
p
k=1
X2−tan2θk
c)On pose alors A(Y) =
p
k=0
(−1)k n
2k+ 1 Yk et B(Z) =
p
k=0
(−1)k n
2k+ 1 Zp−k. Quelles sont les racines des polynômes A etB?
d)En déduire :
p
k=1
tan2θk=p(2p+ 1) et
p
k=1
cot2θk= p(2p−1)
3 .
3) Montrer que :
∀x∈ 0,π
2 sinx≤x≤tanx.
En déduire :
∀x∈ 0,π
2 cot2x≤ 1
x2 ≤1 + cot2x.
4) Déduire des questions précédentes la valeur de
∞
k=1
1 k2.
Problème B : polynômes trigonométriques
Notations et objectifs
Dans tout le problème, on confondra polynôme et fonction polynomiale.
PourP ∈C[X], on note
P = sup |P(x)|, x∈[−1,1] et M(P) = sup P eiθ , θ∈R .
Pourn∈N,Undésigne l’ensemble des polynômes deC[X]de degrénet unitaires (i.e. dont le coefficient dominant vaut 1).
PSI* — 2020/2021 — D.S. 1 (4 heures) Page 2/4 On appelle polynôme trigonométrique toute application f :R→C telle qu’il existe N dans N et une famille de complexes (c−N, c−N+1, . . . , cN) dans C2N+1 vérifiant :
∀θ∈R f(θ) =
N
k=−N
ckeikθ.
On définit alors la famille (ck)k∈Z à support fini (i.e. comportant un nombre fini de termes non nuls) en posant : ∀k∈Z\[−N, N] ck = 0et l’on écrit :
∀θ∈R f(θ) =
+∞
k=−∞
ckeikθ. Le problème comporte deux parties.
Dans la première, on caractérise les polynômes trigonométriques à valeurs dans R+.
Dans la seconde, on détermine min{ P , P ∈Un} et l’unique polynôme réalisant ce minimum.
Partie I
Soient f un polynôme trigonométrique, N ∈N et(c−N, c−N+1, . . . , cN)∈C2N+1 tels que :
∀θ∈R f(θ) =
N
k=−N
ckeikθ.
1) Calculer, pour m∈Z, les intégrales : 1 2π
π
−π
eimθdθet 1 2π
π
−π
f(θ)e−imθdθ.
2) En déduire l’unicité de la famille (ck)k∈Z à support fini telle que : ∀θ∈R f(θ) =
+∞
k=−∞
ckeikθ. Montrer qu’une condition nécessaire et suffisante pour quef soit à valeurs réelles est :
∀k∈ {0, . . . , N} c−k=ck. 3) Montrer qu’il existe un unique polynômeP dansC[X]tel que :
∀θ∈R f(θ) =e−iN θ·P eiθ . Calculer les coefficientsu0, u1, . . . deP (tels queP =
j∈N
ujXj) en fonction desck. Quel est le degré deP lorsquecN = 0?
Pour la fin du I, on suppose f à valeurs réelles et cN = 0.
4) Montrer que P(0) = 0 et vérifier que∀j ∈ {0, . . . ,2N} u2N−j =uj.
En déduire que, siz0 est une racine deP de multiplicitém∈N∗, alors1 /z0 est aussi une racine de P de multiplicitém(on pourra exprimer, pour z∈C∗, P(1 /z)en fonction de P(z)).
5) Soit θ0 réel tel queeiθ0 soit une racine de P de multiplicitém∈N∗. a)Établir : ∀θ∈R f(θ) = sin θ−θ0
2
m
·g(θ), oùgest une fonction continue telle queg(θ0) = 0.
b)Montrer que, si f est de plus à valeurs dans R+, alorsmest pair.
Toujours pour la fin du I, on suppose f à valeurs dans R+ et cN = 0.
PSI* — 2020/2021 — D.S. 1 (4 heures) Page 3/4
6) a)Montrer que l’on peut factoriser P sous la forme : P(X) =c·A(X)·B(X), où :
∗ cest une constante complexe non nulle ;
∗ A(X) =
p
j=1
X−eiθj 2αj, avec p ∈N (A = 1 si p = 0), les θj étant dans R, deux à deux non congrus modulo2π et lesαj dans N∗ ;
∗ B(X) =
q
k=1
[(X−zk) (X−1 /zk)]βk, avec q ∈ N (B = 1 si q = 0), les zk étant dans C, deux à deux distincts, non nuls, de module strictement inférieur à 1 et lesβk dans N∗.
Que vaut la somme
p
j=1
αj+
q
k=1
βk ?
b)En déduire qu’il existe un polynômeQ de C[X], de degré N, tel que : ∀θ∈R f(θ) = Q eiθ 2. On pourra justifier, puis utiliser les égalités suivantes :
eiθ−eiθj
2
=−eiθ·eiθj · eiθ−eiθj
2 et eiθ−zk eiθ−1 /zk =−eiθ
zk · eiθ−zk 2
.
Partie II Soit (Tn)n∈N la suite de polynômes de R[X] définie par :
T0= 1, T1 =X et ∀n∈N∗ Tn+1= 2X·Tn−Tn−1
(polynômes de Tchebychev de première espèce).
1) Montrer que, pour tout ndans N,Tn est un polynôme de degrén; préciser son coefficient dominant.
Établir :
∀n∈N ∀θ∈R Tn(cosθ) = cosnθ.
En déduire la valeur de 1
2n−1 ·Tn , pourn∈N.
2) Soit n∈N∗ et, pour k∈ {0, . . . , n},xk= cos (kπ/n) ; on notera que :
−1 =xn< xn−1 <· · ·< x0 = 1.
a)Soit P ∈R[X], de degrén, unitaire et tel que : P < 1 2n−1. Montrer que le polynôme Q= 1
2n−1 ·Tn−P s’annule sur chaque intervalle]xk+1, xk[,0≤k≤n−1.
En déduire une contradiction.
b)Montrer que, si P ∈Un, alors P ≥ 1
2n−1 (on traitera d’abord le cas où P est à coefficients réels, puis le cas général en écrivant P =A+iB, avec A et B dans R[X]).
3) Soient f un polynôme trigonométrique à valeurs dans R+, N dans N et (c−N, c−N+1, . . . , cN) dans C2N+1 tels que :
∀θ∈R f(θ) =
N
k=−N
ckeikθ, aveccN = 0.
a)Montrer qu’il existe une unique famille (a0, a1, b1, . . . , aN, bN) dans R2N+1 telle que :
∀θ∈R f(θ) =a0+
N
k=1
(akcoskθ+bksinkθ).
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b)D’après I-6)b), il existe un polynômeQ de degréN dansC[X]tel que :
∀θ∈R f(θ) = Q eiθ
2
. Soit Q(X) =
N
j=0
λjXj un tel polynôme. Montrer que :
aN −ibN = 2·λ0·λN et a0=
N
j=0
|λj|2. En déduire que :
a2N+b2N ≤a20. 4) Étude d’un cas particulier
Soit N ∈N∗ et Q∈C[X]tel que Q(X) =
N
j=0
λjXj , avecλ0 =λN = 1.
Soient f :R→Ret(a0, a1, b1, . . . , aN, bN)∈R2N+1 tels que :
∀θ∈R f(θ) = Q eiθ
2
=a0+
N
k=1
(akcoskθ+bksinkθ). a)Que deviennent les relations établies au II-3)b) ?
b)Montrer, en utilisant une intégration, que :
[M(Q)]2 ≥a0.
c)En réutilisantII-3)b), pour la fonction g:θ→[M(Q)]2−f(θ), montrer que : M(Q)≥2 , avec égalité si et seulement si : ∀j∈ {1, . . . , N−1} λj = 0.
5) Soit n∈N∗ etA∈Un tels que A = 1 2n−1.
a)Montrer que l’on définit bien un polynôme de C[X]en posant : Q(X) = 2n·Xn·A 1
2 X+ 1 X (attention ! Il ne s’agit pas du produit de A par 1
2 X+ 1
X mais de la composition opérée en remplaçant Y par 1
2 X+ 1
X dans l’expression A(Y)).
Quels sont le degré, le coefficient dominant et le coefficient constant de Q ? b)CalculerM(Q). En déduire que Q(X) =X2n+ 1.
c)Montrer que A= 1
2n−1 ·Tn. Conclusion ?
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