PROBLÈME : séries trigonométriques

SESSION 2017

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE (ENSI) FILIERE MP

MATHEMATIQUES 1

EXERCICE 1

Q1 La fonction f₁ : (x, y)7→x²−y² est de classe C¹ sur R² en tant que polynôme, à valeurs dansRet la fonction f2 : t 7→ sint est de classe C^∞ sur R. Donc, la fonction f = f2◦f1 est de classe C¹ sur R² et en particulier, f est différentiable en tout point deR².

De même, la fonctiongest de classeC¹ surR²car ses composantes le sont et en particulier,gest différentiable en tout point deR².

Soit(x₀, y0)∈R².

Jac(x0,y0)(f) = ∂f

∂x(x₀, y0) ∂f

∂y(x₀, y0)

= 2x0cos x²₀−y²₀

−2y₀cos x²₀−y²₀

=2cos x²₀−y²₀

x₀ −y₀ , et en posantg= (g₁, g₂)

Jac_(x0,y0)(g) =







∂g1

∂x (x0, y0) ∂g1

∂y (x0, y0)

∂g2

∂x (x₀, y0) ∂g2

∂y (x₀, y0)





=

1 1 1 −1

.

Q2 Pour (x, y)∈R²,f◦g(x, y) =sin (x+y)²− (x−y)²

=sin(4xy).

Posonsh=f◦g. Soit(x₀, y₀)∈R². dh_(x0,y0)= ∂h

∂x (x0, y0)dx+∂h

∂y(x0, y0)dy=4y0cos(4x0y0)dx+4x0cos(4x0y0)dy ou encore

∀(u, v)∈R², dh_(x0,y0)(u, v) =4cos(4x₀y0) (y₀u+x0v).

∀(x, y)∈R²,∀(u, v)∈R²,d(f◦g)_(x,y)(u, v) =4cos(4xy) (yu+xv).

Retrouvons ce résultat à partir des matrices jacobiennes defet g. Soit(x, y)∈R².

Jac(x,y)(f◦g) =Jacg(x,y)(f)×Jac(x,y)(g)

=2cos (x+y)²− (x−y)²

x+y −(x−y)

1 1 1 −1

=2cos(4xy) x+y−x+y x+y+x−y

=4cos(xy) y x et on retrouve ∂f◦g

∂x (x, y) =4ycos(4xy)et ∂f◦g

∂y (x, y) =4xcos(4xy).

EXERCICE 2

Q3 Pour (p, q)∈(N^∗)², posonsu_p,q= 1 p²q².

• Pour tout(p, q)∈(N^∗)²,up,q∈R⁺.

• Pour toutp∈N^∗, la série de terme généralup,q, q>1, converge et

+∞

X

q=1

up,q = 1 p²

+∞

X

q=1

1 q² = π²

6p².

• La série de terme général

+∞

X

q=1

up,q= π²

6p²,p∈N^∗, converge et a pour somme π⁴ 36. On sait alors que la suite(up,q)_(p,q)∈N∗ est sommable et que X

(p,q)∈N^∗

1

p²q² = π⁴ 36.

Q4 Pour (p, q)∈(N^∗)², posonsvp,q= 1

p²+q². Pour tout(p, q)∈(N^∗)²,vp,q∈R⁺. Soitp∈N^∗. La série de terme général 1

p²+q²,q>1, converge et

+∞

X

q=1

1 p²+q² >

+∞

X

q=1

1

p²+2pq+q² =

+∞

X

q=1

1 (p+q)² =

+∞

X

k=p+1

1 k²

>

+∞

X

k=p+1

1 k(k+1) =

+∞

X

k=p+1

1 k − 1

k+1

= 1

p+1 (série télescopique).

La série de terme général 1

p+1,p>1, est divergente. Il en est de même de la série de terme général

+∞

X

q=1

1

p²+q²,p>1.

On en déduit que la suite(vp,q)_(p,q)∈N∗ n’est pas sommable.

PROBLÈME : séries trigonométriques

Partie I - Exemples Q6 Pour n∈N, on pose :∀x∈R,f_n(x) = 1

2ⁿ cos(nx) + 1

3ⁿ sin(nx).

Soitn∈N. Pour toutx∈R,

|f_n(x)|6 1

2ⁿ|cos(nx)|+ 1

3ⁿ|sin(nx)|6 1 2ⁿ + 1

3ⁿ 62× 1 2ⁿ, puiskfnk∞62× 1

2ⁿ. Puisque la série géométrique de terme général2× 1

2ⁿ, n∈ N, converge, la série de fonctions de terme généralfn,n∈N, converge normalement sur R.

Soitp>2 fixé. Soitx∈R.

e^ix p

= 1

p < 1. Donc, la série géométrique de terme général e^ix

p ⁿ

,n∈N, converge et

+∞

X

n=0

e^ix p

n

= 1

1−e^ix p

=pp−e^−ix

|p−e^ix|² =p p−cosx+isinx

(p−cosx)²+sin²x =pp−cosx+isinx p²+1−2pcosx. On en déduit que

+∞

X

n=0

1

2ⁿ cos(nx) =Re

+∞

X

n=0

1 2ⁿe^inx

!

=Re

+∞

X

n=0

e^ix 2

ⁿ!

=2 2−cosx 5−4cosx et

+∞

X

n=0

1

3ⁿ sin(nx) =Im

+∞

X

n=0

1 3ⁿe^inx

!

=Im

+∞

X

n=0

e^ix 3

n!

=3 sinx 10−6cosx Finalement,

∀x∈R,

+∞

X

n=0

1

2ⁿcos(nx) + 1

3ⁿsin(nx)

= 4−2cosx

5−4cosx+ 3sinx 10−6cosx.

Q6 Pour x∈R,

ϕ(x) =exp(cosx)cos(sinx) =Re exp(cosx)e^isinx

=Re e(e^ix)

=Re

+∞

X

n=0

e^ixn

n!

!

=Re

+∞

X

n=0

e^inx n!

!

=

+∞

X

n=0

cos(nx) n! .

Q7 Pour n ∈ N, posons a_n = 1

n+1. La suite (a_n) est de limite nulle mais la série numérique de terme général ancos(n×0) = 1

n+1, n∈N, diverge. Donc, la série de fonctions de terme généralx7→ancos(nx),n∈N, ne converge pas simplement surR.

Q8 Pour n∈N^∗et x∈R, posonsfn(x) = sin(nx)

√n . Pour toutn∈N^∗, en posantxn= π 2n, kfnk^∞=sup

|sin(nx)|

√n , x∈R

> |sin(x_n)|

√n = 1

√n,

qui est le terme général d’une série divergente. Donc, la série de fonctions de terme général x 7→ sin(nx)

√n , n ∈ N^∗, ne converge pas normalement surR.

Partie II - Propriétés

Q9 Pour n∈Netx∈R, posonsfn(x) =ancos(nx) +bnsin(nx). Pourn∈Net pour tout réelx,

|f_n(x)|6|a_n| |cos(nx)|+|b_n| |sin(nx)|6|a_n|+|b_n|.

Donc, pour toutn∈N,kfnk∞6|a_n|+|b_n|qui est, par hypothèse, le terme général d’une série numérique convergente.

Donc, la série de fonctions de terme général fn, n ∈ N, converge normalement (et en particulier, uniformément et simplement) surR.

Q10 Le résultat est clair sia=b=0. Sinon, pour toutxréel,

|acosx+bsinx|=p

a²+b²

√ a

a²+b²cosx+ b

√a²+b²sinx

=p

a²+b²|cos(x−α)|

oùα est un réel tel que cos(α) = a

√a²+b² et sin(α) = b

√a²+b² (α existe car

a

√a²+b² 2

+

b

√a²+b² 2

= 1).

Mais alors, pour tout réelx

|acosx+bsinx|=p

a²+b²|cos(x−α)|6p

a²+b²

avec égalité effectivement obtenue six=α. Donc, le maximum surRde la fonctionx7→|acosx+bsinx|existe et est égal à√

a²+b².

Q11 Par hypothèse, la série de fonctions de terme généralx7→ancos(nx) +bnsin(nx), n∈N, converge normalement surR. D’après la question précédente, on en déduit que la série numérique de terme généralp

a²_n+b²_n,n∈N, converge.

Puisque pour toutn∈N,

|a_n|= q

a²_n6 q

a²_n+b²_n,

la série numérique de terme général |a_n|, n ∈ N, converge ou encore la série numérique de terme général a_n, n ∈ N, converge absolument. De même, puisque pour tout n ∈ N, |b_n| 6 p

a²_n+b²_n, la série numérique de terme général b_n, n∈N, converge absolument. En particulier, les suites(an)et(bn)convergent vers0.

Q12 Chaque fonctionfn : x7→ancos(nx) +bnsin(nx),n ∈N, est continue sur Ret la série de fonctions de terme général f_n, n ∈ N, converge normalement et en particulier uniformément sur R vers la fonction f =

+∞

X

n=0

f_n. Donc la fonctionf est continue surR.

Pourx∈R,

f(x+2π) =

+∞

X

n=0

(ancos(nx+2nπ) +bnsin(nx+2nπ)) =

+∞

X

n=0

(ancos(nx) +bnsin(nx)) =f(x) et doncfest 2π-périodique. Finalement,f∈ C^2π.

Q13 Soitn∈N^∗. Zπ

−π

cos²(nx)dx= 1 2

Zπ

−π

(1+cos(2nx))dx=π+ 1 2

sin(2nx) 2n

−π

π=π.

On note que pourn=0, Zπ

−π

cos²(nx)dx=2π.

Soient k et n deux entiers naturels pas nécessairement distincts (erreur d’énoncé). La fonction x7→ sin(kx)cos(nx) est impaire et donc

Zπ

−π

sin(kx)cos(nx)dx=0.

Q14 Soit n ∈ N^∗. Par hypothèse, la série de fonctions de terme général x 7→ f_k(x)cos(nx) = a_kcos(kx)cos(nx) + b_ksin(kx)cos(nx), converge normalement surRet donc uniformément sur le segment [−π, π]. On peut intégrer terme à terme et on obtient

αn(f) = 1 π

Zπ

−π

f(x)cos(nx)dx= 1 π

Zπ

−π +∞

X

k=0

(a_kcos(kx) +bksin(kx))

!

cos(nx)dx

= 1 π

+∞

X

k=0

Zπ

−π

cos(kx)cos(nx)dx+ Zπ

−π

sin(kx)cos(nx)dx

= 1 π ×πa_n

=a_n. De même,

α0(f) = 1 π

+∞

X

k=0

Zπ

−π

cos(kx)dx+ Zπ

−π

sin(kx)dx

= 1

π×2πa0

=2a0.

Q15 Puisque la série de fonctions de terme généralun,n∈N, converge normalement surRvers la fonctiong, la question précédente, appliquée à la fonctiong, montre immédiatement que pour toutn∈N,αn(g) =αn(f)etβn(g) =βn(f).

Q16 Soitf ∈ C2π telle que la série de fonctions trigonométriques de l’énoncé converge normalement sur R. D’après la question précédente, pour toutn∈N,α_n(g) =α_n(f)etβ_n(g) =β_n(f)ou encoreα_n(f−g) =0etβ_n(f−g)(la linéarité des applicationsα_n etβ_n étant claire). D’après le résultat admis par l’énoncé,f−g=0et doncf=g.

Q17 Supposonsf paire. Pour toutn∈N, la fonctionx7→ f(x)sin(nx)est impaire et donc pour tout n∈N, β_n(f) = 1

π Zπ

−π

f(x)sin(nx)dx=0. De même, pour toutn∈N, la fonctionx7→f(x)cos(nx)est impaire et donc pour toutn∈N, α_n(f) = 2

π Zπ

0

f(x)cos(nx)dx.

Q18 Graphe de f.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

−9

−10

π 2π 3π

−2π −π

−3π

fest dansC2π et est paire. Donc, pour toutxréel,

f(x) = α₀(f) 2 +

+∞

X

n=1

(α_n(f)cos(nx) +β_n(f)sin(nx)) = α₀(f) 2 +

+∞

X

n=1

α_n(f)cos(nx).

α0(f) = 2 π

Zπ 0

f(x)dx= 2 π

Zπ 0

x²dx= 2 π×π³

3 = 2π²

3 puis, pourn∈N^∗, une double intégration par parties, licite, fournit αn(f) = 2

π Zπ

0

x²cos(nx)dx= 2 π

x²sin(nx) n

π 0

− Zπ

0

2xsin(nx) n dx

= 4 nπ

Zπ 0

x(−sin(nx))dx= 4 nπ

xcos(nx) n

π 0

− Zπ

0

cos(nx) n dx

4 πcos(nπ) 4(−1)ⁿ

Finalement, pour tout réelx,

f(x) = α0(f) 2 +

+∞

X

n=1

αn(f)cos(nx) = π² 3 +4

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ

n² cos(nx).

De plus, puisque la série numérique de terme général 1

n², n > 1, converge, la série de fonctions ci-dessus converge normalement surR.

Q19 Pourx=0, on obtient0= π² 3 +4

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ

n² et donc

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ

n² = −π² 12. Ensuite,

+∞

X

n=1

1 n²+

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ n² =

+∞

X

n=1

1+ (−1)ⁿ n²

=

+∞

X

n=1

2 (2p)² = 1

2

+∞

X

n=1

1 n²

et donc 1 2

+∞

X

n=1

1 n² = −

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ n² = π²

12 puis

+∞

X

n=1

1 n² = π²

6 . On en déduit encore

+∞

X

n=1

1 (2n+1)² =

+∞

X

n=1

1 n² −

+∞

X

n=1

1 (2n)² =

1−1

4 π²

6 = π² 8 .

Q20 La fonctionf : x7→ ln(1+x)

x est continue sur ]0, 1] et prolongeable par continuité en0 (ln(1+x)

x ∼

x→01). Donc, la fonctionfest intégrable sur]0, 1]et en particulier sur]0, 1[.

Pour tout réelxde]0, 1[,

f(x) = 1 x

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹xⁿ

n =

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹xⁿ⁻¹

n .

Pourn∈N^∗ etx∈]0, 1[, posonsf_n(x) = (−1)ⁿ⁻¹xⁿ⁻¹

n de sorte que f=

+∞

X

n=1

f_n.

• Chaque fonctionfn,n∈N^∗, est continue par morceaux sur]0, 1[.

• La série de fonctions de terme généralfn, n∈N^∗, converge simplement sur ]0, 1[ vers la fonctionfet de plus, la fonction fest continue par morceaux sur]0, 1[.

• Enfin,

+∞

X

n=1

Z1 0

|f_n(x)| dx=

+∞

X

n=1

Z1 0

xⁿ⁻¹ n dx=

+∞

X

n=1

1

n² <+∞ D’après un théorème d’intégration terme à terme et d’après la question précédente„

Z1 0

f(x)dx=

+∞

X

n=1

Z1 0

f_n(x)dx=

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ Z1

0

xⁿ⁻¹ n dx=

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ n²

= −

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ n² = π²

12

Q21 La question 18 fournit un exemple de série trigonométrique qui converge normalement surR vers une fonctionf, continue surRet2π-périodique mais non dérivable surRcar non dérivable en les(2k+1)π,k∈Z. Donc, la somme d’une série trigonométrique qui converge normalement surRn’est pas nécessairement dérivable surR.

Supposons de plus que les séries numériques de termes généraux respectifsnan et nbn soient absolument convergentes.

En particulier, les séries numériques de termes générauxan et bn sont absolument convergentes (car pour tout n∈N,

|a_n|6|na_n|et|b_n|6|nb_n|).

• La série de fonctions de terme généralfn : x7→ancos(nx) +bnsin(nx), n∈N, est converge normalement et en particulier simplement surRvers la fonctionf=

+∞

X

n=0

f_n.

• Chaque fonctionfn,n∈N, est dérivable surR.

• La série des dérivéesf_n^′ : x7→nbncos(nx) −nansin(nx),n∈N, est normalement et en particulier uniformément convergente surR(car les séries numériques de termes généraux respectifsnbnet−na_nsont absolument convergentes).

D’après le théorème de dérivation terme à terme,f est dérivable surRet pour tout réelx,

f^′(x) =

+∞

X

n=1

(nb_ncos(nx) −nansin(nx)).

Q22 La série numérique de terme général n

3ⁿ,n∈N, est absolument convergente. Donc, la fonctionf : x7→

+∞

X

n=0

sin(nx) 3ⁿ est dérivable surRet pour tout réelx,

f^′(x) =

+∞

X

n=0

n

3ⁿcos(nx).

Donc, pour tout réelx,

+∞

X

n=0

n

3ⁿ cos(nx) =

3sinx 10−6cosx

^′

= 3 2

sinx 5−3cosx

^′

= 3

2 ×cosx(5−3cosx) −sinx(3sinx) (5−3cosx)²

= 3

2 × 5cosx−3 (5−3cosx)².