Problème A : polynômes d’Hermite

PSI* — 2019/2020 Le 18/01/2020.

D.S. 4

Le sujet se compose de deux problèmes indépendants.

Problème A : polynômes d’Hermite

On désigne par E l’ensemble des applications f continues de R dans R telles que la fonction t→[f(t)]²e^−t2 soit intégrable surR. On admettra que ^+∞

−∞

e^−t2dt=√π.

Première partie 1) Montrer que E contient les fonctions polynomiales.

2) Montrer que E est un R-espace vectoriel et que l’on définit un produit scalaire surE en posant :

∀(f, g)∈E² (f|g) =

+∞

−∞

f(t)g(t)e^−t2dt.

On notera · la norme associée.

Deuxième partie

1) Soitn∈Netφ_nl’endomorphisme deR[X]qui à tout polynômeP associeP^′′−2XP^′+2nP. Déterminer le degré de φ_n(X^k), pour k ∈ N et en déduire que le noyau de φ_n est une droite vectorielle de R[X], engendrée par un polynôme de degré n.

On désigne par H_n celui des polynômes de Kerφ_n dont le terme dominant est2ⁿXⁿ.

Calculer les coefficients de H_n ; préciser en particulier H₀, H₁, H₂, H₃ et montrer que H_n est de la même parité que n.

2) On définit l’application ψ deRdansRen posant : ∀t∈R ψ(t) =e^−t2. Établir une relation linéaire entre les dérivées d’ordre n+ 2, n+ 1etn deψ.

3) Pourn∈N, vérifier que la fonctiony_n:t→e^t2ψ⁽ⁿ⁾(t) est polynomiale et appartient à Kerφ_n. En déduire que les polynômesH_n définis dans le 1)sont donnés par :

∀t∈R H_n(t) = (−1)ⁿe^t2 dⁿ

dtⁿ e^−t2 .

4) Montrer que H_n,H_n+1 etH_n+2 sont liés par une relation linéaire que l’on déterminera.

5) Pourn∈N^∗ etP ∈R[X], établir : (H_n|P) = (H_n−1|P^′).

6) Pour(n, p)∈N², tel que p≤n, calculer (Hn|X^p).

En déduire que la famille (Hn)n∈N est orthogonale. Préciser la valeur de Hn 2. Troisième partie

Pourn∈Net f ∈E, on poseξ_n(f) = (Hn|f) =

+∞

−∞

Hn(t)f(t)e^−t2dt et αn(f) = ξ_n(f) H_n . Soient n∈Netf ∈E fixés. Pour(x0, x₁, . . . , xn)∈Rⁿ⁺¹ on pose : fn=

n k=0

x_kH_k.

Calculer f_n−f ² et montrer que cette quantité admet un minimum pour une famille (x0, x₁, . . . , x_n) que l’on précisera. Établir l’inégalité :

n k=0

αk(f) ² ≤ f ²

et conclure quant à la convergence de la série de terme général α_k(f) ².

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Problème B

Dans tout le problème :

•E est un espace euclidien de dimension p ≥ 1 dans lequel le produit scalaire sera noté (·|·) et la norme associée · .

• S(E)désigne le sous-espace vectoriel de L(E) constitué des endomorphismes symétriques deE.

•T(E) désigne l’ensemble des élémentsu de S(E) de rang inférieur ou égal à 1 et qui vérifient

∀x∈E, (u(x)|x)≥0

Préliminaires

1) Justifier queT(E) n’est pas un sous-espace vectoriel deL(E).

2) Montrer que l’application

(f, g)∈ S(E)² → f, g = Tr (f◦g) est un produit scalaire sur S(E) (oùTrdésigne la trace).

On notera pour la suite N la norme associée à ce produit scalaire.

3) Soit A=



−5 1 1

1 −5 1

1 1 −5



 etf_A l’endomorphisme de R³ qui lui est canoniquement associé.

Donner les éléments propres de A et calculerN(fA).

Partie 1 Soit a∈E etua l’endomorphisme deE défini par

∀x∈E, u_a(x) = (a|x).a 1) Montrer que ua∈T(E).

2) On suppose dans cette question que a= 0.

a)Écrire la matrice de u_a dans une baseB deE constituée du vecteuraet d’une base de Vect(a)^⊥. b)Déterminer alorsTr (ua) etTr (ua◦ua) en fonction de a.

c)Soit f un endomorphisme deE. Déterminer les éléments diagonaux de la matrice de f◦ua dans la base B définie précédemment.

d)En déduire alors que Tr (f◦u_a) = (f(a)|a).

3) Soit u∈T(E),u non nul etbun vecteur non nul deIm (u).

a)Montrer que b est un vecteur propre deuassocié à une valeur propre µpositive ou nulle.

b)Prouver que

∀x∈E, u(x) = µ

b ²(b|x).b c)En déduire que µ >0.

d)Montrer qu’il existe au moins un vecteuradeE tel queu=u_a.

4) L’application ϕ:a∈E→ϕ(a) =ua∈T(E) est-elle injective ? Surjective ?

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Partie 2

Pour cette partie du problème, f est un endomorphisme deS(E) qui estfixé.

Pour tout vecteurx∈E, on pose

Φ(x) = N(f−u_x) ² et m(f) = inf

x∈EΦ(x) Pour tout vecteurx deE et tout vecteury deE tel que y = 1, soit

h_x:t∈R→h_x(t) = Φ (x+t.y) 1) Justifier l’existence de m(f).

2) Prouver que∀x∈E, Φ(x) = [N(f)]²−2 (x|f(x)) + x ⁴.

3) Montrer que h_x est une fonction polynomiale dont on précisera les coefficients.

4) Justifier l’existence d’une base orthonormaleC = (e₁, . . . , e_p) deE et de réels (λ_i)i∈[[1,p]] vérifiant

∀i∈[[1, p]], f(ei) =λiei et λ₁ ≤λ₂≤ · · · ≤λp

5) Calculer alorsN(f)à l’aide des réels λ_i, i∈[[1, p]].

6) Exprimerα= sup

z∈E, z =1

(z|f(z))à l’aide des réels λ_i, i∈[[1, p]].

Déterminer l’ensemble des vecteursz deE unitaires tels que(z|f(z)) =α.

7) On suppose que m(f)est atteint ena∈E.

a)On fixe pour cette question un vecteur y deE de norme 1 et l’on considère la fonctionha définie au début de la partie 2. Déterminer h^′_a(0).

b)Prouver que f(a) = a ².a.

c)Prouver que pour tout réel t et tout vecteury deE de norme 1 :

Φ (a+t.y)−Φ (a) =t² t+ 2 (a|y) ²+ 2 a ²−(y|f(y)) d)Prouver que

m(f) = Φ(a) ⇐⇒ f(a) = a ².a

∀y∈E tel que y = 1, (y|f(y))≤ a ² 8) a)On suppose que λp ≤0. Prouver quem(f) = Φ(a)si et seulement si a= 0.

b)Déterminer m(fA) où fA est l’endomorphisme défini à la question3) des préliminaires.

9) On suppose que λ_p>0.

a)Démontrer que m(f) =

p−1 i=1

λ²_i.

b)Prouver que m(f) = Φ(x) ⇐⇒ x∈Ker (f−λ_pIdE) x = λp

.

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Partie 3 Dans cette partie, on prend E=R^p euclidien usuel.

1) Soit M = (m_i,j)∈ M^p(R) symétrique et telle que







∀(i, j)∈[[1, p]]², mi,j ≥0

∀i∈[[1, p]],

p j=1

m_i,j = 1

On note f_M l’endomorphisme deR^p canoniquement associé à la matriceM. a)Prouver queλ= 1est valeur propre de M et donner un vecteur propre associé.

b)Soit λune valeur propre deM et X=



 x₁

...

x_p



 un vecteur propre associé.

Soit k∈[[1, p]] tel que |x_k|= max |xj|, j∈[[1, p]] .

En considérant la k-ième ligne du systèmeM X =λX, prouver que |λ| ≤1.

c)Déterminer alors un vecteuradeR^p tel que Φ(a) =m(fM)(on ne cherchera pas à calculer la valeur dem(fM)).

d)En déduire l’existence d’un endomorphisme v de T(E) tel que N(fM −v) ²=m(fM).

e)Reconnaître la nature géométrique de l’endomorphisme v et donner ses éléments remarquables.

2) Soit B∈ M^p(R) la matrice dont tous les coefficients valent 1 etf_B l’endomorphisme deR^p qui lui est canoniquement associé.

Calculer m(fB).

Trouver un vecteurb∈R^p tel que N(f_B−u_b) ² =m(f_B).

3) On prend dans cette questionp >1.

Soit C=









0 1 · · · 1 1 0 1 · · · 1 ... 1 ... ... ...

... ... ... 1 1 · · · 1 0









∈ M^p(R) etfC l’endomorphisme de R^p canoniquement associé.

a)Déterminer les éléments propres de la matrice C.

b)Calculerm(fC).

c)Trouver un vecteur cde R^p tel que Φ(c) =m(fC)et un endomorphisme w∈T(E) tel que N(f_C −w) ² =m(f_C).

d)Cet endomorphismew est-il unique ?

Fin de l’énoncé.

La chance existe.

Sans cela, comment expliquerait-on la réussite des autres ?

(Marcel A )