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Problème Partie A : Étude d'une suite de fonctions polynômes

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Academic year: 2022

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(1)

Problème

Partie A : Étude d'une suite de fonctions polynômes

On considère la suite

 

Pn de fonctions polynômes ainsi définie :

 quel que soitx P x0

 

x ;

 quel que soit n et quel que soitx Pn1

 

x

1x2

P xn

 

.

1°) Calculer P x1

 

, P x2

 

, P x3

 

et P x4

 

.

2°) Déterminer : - le degré de P xn

 

;

- le coefficient dominant de P xn

 

; - la parité de Pn.

Indication : on pourra utiliser un raisonnement par récurrence.

Partie B : Application

On considère la fonction f x

 

tanx définie sur \ ,

D 2 k k

     

 

  .

1°) Démontrer que quelque soit xD, on a f '

 

x  1 tan2 x.

2°) Calculer f ''

 

x et f 3

 

x en fonction de tanx.

3°) Démontrer que pour tout entier naturel n, on a f n

 

xPn

tanx

quel que soit xD.

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