II — Étude d’une suite de polynômes

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Pour le Vendredi 13 mars 2020 Problème 1 : obligatoire et très important

Dans ce problème, toutes les fonctions sont définies sur un intervalleI deRet à valeurs réelles.

Partie I : Partie préliminaire

Dans cette partie, les questions sont indépendantes les unes des autres et leurs résultats peuvent être admis dans la suite du problème.

1. Justifier, pour tout réelx∈]−1,1[, l’existence deX^+∞

n=1

nxⁿ⁻¹ et donner sa valeur.

2. On rappelle que la fonction Γ est définie pour tout réelx∈]0,+∞[ par : Γ(x) = Z +∞

0

t^x−1e^−tdt.

Démontrer que pour tout réelx∈]0,+∞[,Γ(x+ 1) =xΓ(x)et en déduire, pour tout entier naturel nnon nul la valeur de Γ(n).

3. Démontrer la formule de Taylor avec reste intégral : si I est un intervalle contenant le réela, sif est une fonction de I dansRde classe C^∞ sur I, alors pour tout réel x∈I et tout entier naturel n, on a :

f(x) =

n

X

k=0

(x−a)^k

k! f^(k)(a) + Z x

a

(x−t)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)dt.

Partie II : théorème d’unicité du développement en série entière

On rappelle le théorème suivant :Si une fonctionf admet un développement en série entière sur]−a, a[, alors :

— la fonctionf est de classeC^∞ sur]−a, a[,

— son développement en série entière est unique et est donné par la série de Taylor de la fonction f à l’origine :∀x∈]−a, a[, f(x) =

+∞

X

n=0

f⁽ⁿ⁾(0) n! xⁿ.

4. On considère la fonction f définie sur R par : f(0) = 1et pour tout réel x 6= 0, f(x) = sinx x . Démontrer que la fonctionf est de classeC^∞ surR.

5. Expliciter une fonction f de classe C^∞ sur un voisinage de 0 et vérifiant pour tout entier n∈ N l’égalitéf⁽ⁿ⁾(0) =n·n!.

6. Un théorème des moments

Soitf une fonction développable en série entière sur]−R, R[ avecR >1:

∀x∈]−R, R[, f(x) =

+∞

X

n=0

f⁽ⁿ⁾(0) n! xⁿ.

On suppose que pour tout entier naturel n, Z 1 0

xⁿf(x)dx= 0.

L’objectif de cette question est de montrer quef est identiquement nulle sur]−R, R[.

a. Démontrer que la sérieX

n>0

f(x)f⁽ⁿ⁾(0)

n! xⁿ converge normalement sur l’intervalle[0,1]. b. À l’aide du calcul deZ 1

0

(f(x))²dx, démontrer que la fonctionf est nulle sur l’intervalle[0,1].

c. Démontrer quef est la fonction nulle sur l’intervalle]−R, R[. Contre-exemples

7. Donner un exemple de fonctionf à la fois de classeC^∞sur]− ∞,1[et développable en série entière au voisinage de l’origine, mais qui ne coïncide pas avec sa série de Taylor en 0 sur ]− ∞,1[tout entier.

8. Un exemple de fonction ne coïncidant avec sa série de Taylor en 0 sur aucun voisinage de 0.

On considère la fonctionf définie sur Rpar : pour tout réelx6= 0, f(x) = exp

Å

− 1 x²

ãetf(0) = 0.

a. Rappeler l’allure de la courbe de la fonctionf au voisinage de 0.

b. Par des théorèmes généraux, la fonctionf est de classeC^∞sur]0,+∞[. Démontrer que pour tout entier natureln, il existe un polynômePn tel que :

pour toutx∈]0,+∞[, f⁽ⁿ⁾(x) = Pn(x) x³ⁿ exp

Å

−1 x²

ã.

c. Démontrer que la fonction f est de classe C^∞ sur [0,+∞[ avec pour tout entier naturel n, f⁽ⁿ⁾(0) = 0.

Par parité, la fonctionf ainsi définie est de classeC^∞surR.

d. La fonctionf est elle développable en série entière sur un intervalle]−r, r[pour unr >0? 9. Un exemple où la série de Taylor de la fonctionf en 0 a un rayon nul.

Pour toutxréel, on posef(x) = Z +∞

0

e^−t 1 +tx².

a. Justifier que pour tout réel x la fonction t 7→ e^−t

1 +tx² est bien intégrable sur [0,+∞[, puis démontrer que la fonction est de classeC¹ surR.

On admettra que la fonctionf est de classeC^∞surRet que l’on obtient les dérivées successives en dérivant sous le signe intégrale.

b. Pour t ∈]0,+∞[, calculer au moyen de la série entière de x7→ 1

1 +tx², dont on précisera le rayon de convergence, les dérivées successives en 0 de la fonctionx7→ e^−t

1 +tx² pour en déduire l’expression def⁽ⁿ⁾(0)pour tout entier natureln.

c. Quel est le rayon de la série entière X

n>0

f⁽ⁿ⁾(0) n! xⁿ? Condition suffisante

On se propose dans cette partie d’étudier une condition suffisante pour qu’une fonction de classe C^∞ sur un intervalle centré en 0 soit développable en série entière au voisinage de 0.

10. Soient a un réel strictement positif et f une fonction de classe C^∞ sur l’intervalle ]−a, a[. On suppose qu’il existe un réelM >0tel que pour tout réelx∈]−a, a[et pour tout entier natureln,

|f⁽ⁿ⁾(x)|6M.

a. Démontrer que la fonctionf est développable en série entière au voisinage de l’origine.

b. Donner un exemple simple de fonction non polynomiale pour laquelle ce résultat s’applique.

Problème 2

Rappels et notations

Pour tout entier naturel non nuln, on note :

— [[1, n]]l’ensemble des entiers naturelsktels que16k6n;

— Mn(R)(respectivement Mn,1(R)) l’espace vectoriel des matrices carrées à n lignes etncolonnes (respectivement l’espace vectoriel des matrices colonnes ànlignes) à coefficients dansR;

— Sn(R)le sous-espace vectoriel deMn(R)constitué des matrices symétriques.

Soitn∈N^∗ etA∈ Sn(R); on dit queAest positive (respectivement définie positive) si :

∀X∈ Mn,1(R), ^tXAX >0 (respectivement^tXAX >0siX 6= 0).

L’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels est noté R[X], et, pour tout entier naturel p, le sous-espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal àpest notéRp[X].

Objectifs

La première partie a pour but de démontrer une caractérisation des matrices symétriques réelles définies positives, à l’aide des déterminants de certaines matrices extraites.

La deuxième partie aborde l’étude d’une suite de polynômes orthogonaux pour un produit scalaire défini à l’aide d’une intégrale.

La troisième partie introduit les matrices de Hilbert et leur inverse, dont certaines propriétés sont étudiées dans la partie IV.

I — Caractérisation des matrices symétriques définies positives

1. a. Soitn∈N^∗ etA∈ Sn(R).

i. Montrer queAest positive si et seulement si toutes ses valeurs propres sont positives.

ii. Montrer queAest définie positive si et seulement si toutes ses valeurs propres sont stric- tement positives.

b. Pour n∈N^∗, A∈ S_n(R)et i∈[[1, n]], on noteA⁽ⁱ⁾la matrice carrée d’ordre i extraite deA, constituée par lesipremières lignes et lesipremières colonnes de A.

Le but de cette question est de démontrer l’équivalence suivante :

A est définie positive ⇐⇒ ∀i∈[[1, n]],det(A⁽ⁱ⁾)>0.

i. SoitA∈ Sn(R). On suppose queAest définie positive.

Pour tout i ∈ [[1, n]], montrer que la matriceA⁽ⁱ⁾ est définie positive et en déduire que det(A⁽ⁱ⁾)>0.

Pour toutn∈N^∗, on dira qu’une matriceAdeSn(R)vérifie la propriétéPnsi det(A⁽ⁱ⁾)>0 pour touti∈[[1, n]].

ii. Dans les cas particuliersn= 1etn= 2, montrer directement que toute matriceA∈ S_n(R) vérifiant la propriétéPn est définie positive.

iii. Soitn∈N^∗. On suppose que toute matrice deSn(R)vérifiant la propriétéPn est définie positive. On considère une matriceAdeSn+1(R)vérifiant la propriétéPn+1et on suppose par l’absurde queAn’est pas définie positive.

A. Montrer alors queAadmet deux vecteurs propres linéairement indépendants associés à des valeurs propres (non nécessairement distinctes) strictement négatives.

B. En déduire qu’il existe X ∈ Mn+1,1(R) dont la dernière composante est nulle et tel que^tXAX <0.

C. Conclure.

c. SoitAune matrice deSn(R). A-t-on l’équivalence suivante :

Aest positive ⇐⇒ ∀i∈[[1, n]],det(A⁽ⁱ⁾)>0 ?

d. Écrire une fonction en langage Python qui prend en entrée une matrice M ∈ Sn(R)et qui, en utilisant la caractérisation du 1.b, renvoie « True » si la matrice M est définie positive et

« False » dans le cas contraire.

On pourra utiliser la commandenp.linalg.det(a)qui renvoie le déterminant dea.

II — Étude d’une suite de polynômes

2. On définit la suite de polynômes(P_n)_n∈Npar :

® P0= 1

∀n∈N^∗, Pn= [X(X−1)]ⁿ De plus, on pose :

∀(P, Q)∈(R[X])², hP, Qi= Z 1

0

P(t)Q(t)dt.

a. Montrer que l’application(P, Q)7−→ hP, Qiest un produit scalaire surR[X]. b. On notePn⁽ⁿ⁾le polynôme dérivénfois dePn.

Déterminer le degré de Pn⁽ⁿ⁾ et calculerPn⁽ⁿ⁾(1). On définit la suite de polynômes(Ln)n∈N par :

( L0= 1

∀n∈N^∗, Ln= ¹

P_n⁽ⁿ⁾(1)Pn⁽ⁿ⁾

c. Soitn∈N^∗. Montrer que, pour toutQ∈Rn−1[X],hQ, Lni= 0. Indication : on pourra intégrer par parties.

d.

i. Pour toutn∈N, on pose :I_n = Z 1

0

P_n(u)du. Calculer, pour toutn∈N, la valeur deI_n. ii. En déduire, pour tout n∈N, la relation :hLn, Lni= 1

2n+ 1.

e. Déterminer une famille de polynômes (Kn)_n∈Nvérifiant les deux conditions suivantes : i. pour toutn∈N, le degré deKnvautnet son coefficient dominant est strictement positif ; ii. pour toutN ∈N,(K_n)_06n6N est une base orthonormale deRN[X]pour le produit scalaire

h·,·i.

Justifier l’unicité d’une telle famille.

f. CalculerK0, K1 etK2.

III — Matrices de Hilbert

Pour toutn∈N^∗, on définit la matriceHn par :

∀(i, j)∈[[1, n]]²,(H_n)_i,j = 1 i+j−1

où(Hn)i,j désigne le coefficient de place(i, j)de la matriceHn. On note de plus∆n=det(Hn). 3. a. Étude de quelques propriétés de Hn

i. CalculerH₂etH₃. Montrer que ce sont des matrices inversibles et déterminer leur inverse.

Dans les questions suivantes de III.A, on désigne parnun entier naturel non nul.

ii. Montrer la relation :

∆_n+1= (n!)⁴

(2n)!(2n+ 1)!∆_n.

Indication : on pourra commencer par soustraire la dernière colonne de∆_n+1 à toutes les autres.

iii. En déduire l’expression de∆_nen fonction den(on fera intervenir les quantitésc_m=

m−1

Y

i=1

i!

pour des entiersmadéquats).

iv. Prouver queHn est inversible, puis que det(H_n⁻¹)est un entier.

v. Démontrer queHn admetnvaleurs propres réelles (comptées avec leur ordre de multipli- cité) strictement positives.

b. Approximation au sens des moindres carrés

On note C⁰([0,1],R) l’espace vectoriel des fonctions continues de [0,1] dans R. On convient d’identifier l’espaceR[X]au sous-espace vectoriel deC⁰([0,1],R)constitué des fonctions poly- nomiales de [0,1]dansR; ainsi, pour tout entier natureli, le polynômeXⁱ est confondu avec la fonction polynomiale définie par :Xⁱ(t) =tⁱ pour toutt∈[0,1].

On étend àC⁰([0,1],R)le produit scalaireh., .ide la partie II en posant :

∀(f, g)∈(C⁰([0,1],R))²,hf, gi= Z 1

0

f(t)g(t)dt.

(On ne demande pas de vérifier qu’il s’agit d’un produit scalaire surC⁰([0,1],R).)

On notek·kla norme associée à ce produit scalaire : pour tout fonctionf ∈ C⁰([0,1],R), on a donc :

kfk=» hf, fi

i. Soitn∈N. Montrer qu’il existe un unique polynômeΠn ∈Rn[X] tel que : kΠn−fk= min

Q∈Rn[X]

kQ−fk.

ii. Montrer que la suite (kΠn−fk)_n∈Nest décroissante et converge vers 0.

iii. Montrer queH_n est la matrice du produit scalaireh., .irestreint àRn−1[X], dans la base canonique deRn−1[X].

iv. Calculer les coefficients deΠn à l’aide de la matriceH_n+1⁻¹ et des réels hf, Xⁱi.

v. Déterminer explicitement Π₂ lorsque f est la fonction définie pour tout t ∈ [0,1] par : f(t) = 1

t²+ 1.

IV — Propriétés des coefficients de H

4. a. Somme des coefficients de H_n⁻¹

Pour n∈N^∗ et (i, j)∈[[1, n]]², on note h^(−1,n)_i,j le coefficient de place(i, j)de la matriceH_n⁻¹ et on désigne parsn la somme des coefficients de la matriceH_n⁻¹, c’est-à-dire :

s_n = X

16i,j6n

h^(−1,n)_i,j

i. Calculers₁, s₂et s₃. Conjecturer de manière générale la valeur des_n en fonction den. ii. Soitn∈N^∗.

A. Montrer qu’il existe un unique n-uplet de nombres réels (a⁽ⁿ⁾p )06p6n−1 vérifiant le système denéquations linéaires àninconnues suivant :























a⁽ⁿ⁾₀ + ^a

(n) 1

2 + · · · + ^a

(n) n−1

n = 1

a⁽ⁿ⁾₀

2 + ^a

(n) 1

3 + · · · + ^a

(n) n−1

n+1 = 1

... ... ... ...

a⁽ⁿ⁾₀

n + ^a

(n) 1

n+1 + · · · + ^a

(n) n−1

2n−1 = 1

B. Montrer que sn=

n−1

X

p=0

a⁽ⁿ⁾_p .

On définit, pour toutn∈N^∗, le polynômeSn parSn =a⁽ⁿ⁾₀ +a⁽ⁿ⁾₁ X+. . .+a⁽ⁿ⁾_n−1Xⁿ⁻¹. Dans les question suivantes de IV.A, on désigne parnun entier naturel non nul.

iii. Montrer que :

∀Q=α₀+α₁X+. . .+α_n−1Xⁿ⁻¹∈Rn−1[X],hSn, Qi=

n−1

X

p=0

α_p

iv. Exprimersn à l’aide de la suite de polynômes(Kp)_p∈Ndéfinie à la question II.E.

v. Pour toutp∈[[0, n−1 ]], calculerK_p(1). vi. Déterminer la valeur desn.

b. Les coefficients de H_n⁻¹ sont des entiers Pour n∈N, on note

Çn k å

le coefficient binomial Çn

k å

= n!

k!(n−k)!. i. Soitp∈N^∗. Montrer que

Ç2p p

å

est un entier pair.

En déduire que, sin∈N^∗ etp∈[[1, n]], alors

Çn+p p

åÇn p å

est un entier pair.

ii. Pour toutn∈N, montrer que l’on peut écrire :Kn=√

2n+ 1Λn oùΛn est un polynôme à coefficients entiers que l’on explicitera. Parmi les coefficients deΛn, lesquels sont pairs ? iii. Soitn∈N^∗.

A. Calculer h^(−1,n)_i,i pour tout i ∈ [[1, n]]; on donnera en particulier une expression très simple deh^(−1,n)_1,1 eth^(−1,n)n,n en fonction den.

B. Calculer h^(−1,n)_i,j pour tout couple (i, j) ∈ [[1, n]]²; en déduire que les coefficients de H_n⁻¹sont des entiers.

C. Montrer que h^(−1,n)_i,j est divisible par4 pour tout couple(i, j)∈[[2, n]]².