Mines PSI 1
Somme de projecteurs orthogonaux Notations.
On noteNl’ensemble des entiers naturels,Rcelui des r´eels etMncelui des matricesn×n`a coefficients r´eels.
Dans tout le probl`eme, X est un espace vectoriel de dimensionn≥2 sur le corps de r´eels et T est un endomorphisme de X.
Si Best une base de X, on noteTB la matrice repr´esentantT dans cette base.
On note N(T) le noyau de T,R(T) son image, rg(T) son rang et σ(T) son spectre.
On appelle projecteur un endomorphisme P deX idempotent c’est `a dire tel que P2=P.
On note I l’endomorphisme identit´e de X,In la matrice identit´e de Mn etO la matrice nulle.
1 Trace.
Si A∈ Mn, on appelle trace deA le nombre r´eel suivant :
Tr(A) =
n
X
i=1
ai,i
Q.1. SoientA, B ∈ Mn. Montrer que Tr(AB) = Tr(BA).
Q.2. Soit T un endomorphisme de X. Montrer que la trace de la matrice TB associ´ee `a T est ind´ependante de la base B.
On appelle trace de T, not´ee Tr(T), la valeur commune des traces des matrices repr´esentant T. On dit que la trace est un invariant de similitide.
2 Projecteurs.
Q.3. SoitP un projecteur deX. Montrer queX=N(P)⊕R(P).
Q.4. En d´eduire que rg(P) = Tr(P).
Q.5. D´emontrer que la dimension de la somme de deux sous-espaces F etG de X est inf´erieure ou
´
egale `a la somme de leurs dimensions.
Q.6. Soit S un endomorphisme de X. Montrer que si S est une somme finie de projecteurs Pi, i= 1, . . . , m, alors Tr(S)∈Net Tr(S)≥rg(S).
3 D´ ecomposition en somme de projecteurs orthogonaux.
On consid`ere maitenant le cas o`u X est une space (pr´e)hilbertien. On dit que T est sym´etrique positif s’il estsym´etrique et si
∀x∈X, (T(x)|x)≥0
Q.7. Montrer queT, suppos´e sym´etrique, est positif si et seulement siσ(T)⊂R+. Q.8. Montrer qu’un projecteurP est un projecteur orthogonal si et seulement si il v´erifie
∀x∈X, ∀y∈R(P), (x−P(x)|y) = 0
Q.9. Montrer qu’un projecteur est un projecteur orthogonal si et seulement si il est sym´etrique.
Montrer ´egalement qu’un projecteur orthogonal est positif.
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On suppose d´esormais sur T est sym´etrique positif et v´erifie Tr(T)∈N et Tr(T)≥rg(T).
On noter le nombre de valeurs propres strictement positives deT, compt´ees avec leur multiplicit´e. On note ei les vecteurs d’une base propre deBde T orthonorm´ee, ordonn´es de telle fa¸con que les valeurs propres associ´ees soient strictement positives si et seulement si i ≤r. On note Y l’espace engendr´e par les ei,i= 1, . . . , retZ celui engendr´e par lesei,i=r+ 1, . . . , n.
Q.10. Montrer queY =R(T),Z =N(T) ainsi que rg(T) =r.
Q.11. Montrer queQi est un projecteur orthogonal de rang 1.
Q.12. On se place dans le cas particulier o`u Tr(T) > rg(T). Montrer qu’on peut choisir i tel que T−Qi soit sym´etrique positif et v´erifie rg(T−Qi) = rg(T). Quelle est la valeur de Tr(T−Qi) ? Q.13. On se place maintenant dans le cas g´en´eral o`u Tr(T)≥rg(T). D´eduire de la question12qu’il existe S sym´etrique positif tel que Y soit stable par S, Tr(S) = rg(S) = rg(T) et que T−S soit la somme de k= Tr(T)−r projecteurs orthogonaux de rang 1.
On note µi,i= 1, . . . , r, les valeurs propres strictement positives deS.
Q.14. Montrer queS|Y est inversible.
On poseU =S|Y et pourx, y∈Y,ξ(x, y) = (U−1(x)|y). On noteεi,i= 1, . . . , rune base de vecteurs propres de U associ´es aux valeurs propresµi.
Q.15. D´emontrer queξ constitue un produit scalaire surY.
Q.16. D´eterminerw∈Y tel quekwk= 1 et ξ(w, w) = 1. On pourra, si n´ecessaire, chercher wdans le sous-espace de dimension 2 engendr´e par deux vecteurs propresεi etεj bien choisis.
Q.17. Montrer que P est un projecteur orthogonal de rang 1 sur X si et seulement si il existe un vecteur z unitaire dansX tel que pour toutx∈X, P(x) = (x|z)z.
On consid`ere maintenant unwtel que d´efini `a la question16et l’endomorphismePw d´efini surX par la formule suivante :
Pw(x) = (x|w)w Q.18. D´emontrer queS−Pw est sym´etrique et positif.
Q.19. D´emontrer queN(S−Pw) =N(S)⊕Vect(U−1w), o`u Vect(U−1w) note l’ensemble des vecteurs colin´eaires `aU−1w. En d´eduire que rg(S−Pw) = rg(S)−1.
Q.20. D´eduire des question 17, 18 et 19 que S est la somme d’un nombre fini de projecteurs orthogonaux de rang 1.
Q.21. En d´eduire qu’un endomorphisme sym´etrique positif T est une somme finie de projecteurs orthogonaux si et seulement si Tr(T)∈Net Tr(T)≥rg(T).
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