Compl´ ements de Math´ ematiques G´ en´ erales (Math2014 ) 2020-2021
Compl´ements de calcul matriciel
Soit une matrice r´eelle sym´etrique
A =
a c c b
On a les r´esultats suivants Propri´et´es
1. Les valeurs propresλ1, λ2 deA sont r´eelles.
2. La matriceAest toujours diagonalisable par une matriceS telle queSSe =I (I d´esigne la matrice identit´e).
3. Les deux valeurs propres sont strictement positives (resp. n´egatives) si et seulement si XAX >e 0 (resp. XAX <e 0) pour tout vecteur colonne non nul X.
Si λ1λ2<0 alorsXAXe peut changer de signe en fonction deX.
4. Les deux valeurs propres sont strictement positives (resp. n´egatives) si et seulement si le d´eterminant deA est strictement positif eta >0 (resp.a <0).
On a λ1λ2<0 si et seulement si le d´eterminant deA est strictement n´egatif.
PreuvePour (1), (3) et (4) : voir cours.
(2) Soit
X1 = x1
y1
un vecteur propre r´eel de valeur propreλ1. Quitte `a le multiplier par une constante non nulle, on peut supposer que
x21+y21 = Xf1X1 = 1.
Cela ´etant, d´efinissonsS par
S =
x1 −y1 y1 x1
. On obtient imm´ediatement
SSe =
x1 y1
−y1 x1
x1 −y1
y1 x1
=
1 0 0 1
= I.
Montrons alors que
S−1AS = SASe
est une matrice diagonale. La premi`ere colonne deSest le vecteur propreX1; notonsZla seconde colonne de S et remarquons queX1et Z sont des vecteurs colonnes orthogonaux, c’est-`a-dire Xf1Z = 0 =ZXe 1. Cela ´etant, les colonnes de la matriceAS sont les vecteursAX1 etAZ; on peut donc ´ecrire
AS = AX1AZ .
On obtient ainsi
SASe = Xf1
Ze
!
AX1AZ
= Xf1AX1 Xf1AZ ZAXe 1 ZAZe
! .
CommeX1est vecteur propre deA de valeur propreλ1 et tel queXf1X1= 1, on aAX1=λ1X1et
SASe = λ1 Xf1AZ λ1ZXe 1 ZAZe
! .
Mais ZXe 1= 0 donc
SASe = λ1 Xf1AZ 0 ZAZe
! .
On sait aussi queAest sym´etrique, c’est-`a-direAe=A. Ainsi, ]e
SAS = SeASe = SAS.e La matrice
SASe = λ1 Xf1AZ 0 ZAZe
!
est donc sym´etrique, c’est-`a-dire que ses ´el´ements situ´es de part et d’autre de la diagonale principale sont
´
egaux. Il s’ensuit que Xf1AZ = 0 donc queSASe est une matrice diagonale.
Remarque :
une matrice S telle que SSe =I est appel´ee matrice orthogonale. On a alors S−1 = Seet SSe =I. Les
´
egalit´esSSe =I et SSe=I signifient que les colonnes deS ont des vecteurs orthonorm´es, de mˆeme que les lignes.
F. Bastin, 29 septembre 2020 (V1 : 290920)
