L1 2019-2020, compl´ements de math´ematiques 2 : espaces vectoriels euclidiens

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L1 2019-2020, compl´ements de math´ematiques 2 : espaces vectoriels euclidiens

Antoine Douai March 9, 2020

Le programme et le cours officiel sont ceux traités en amphi. Ces notes seront modifiées au fur et à mesure.

1 Espaces vectoriels euclidiens

Prérequis : le cours d’algèbre (espace vectoriel, base, dimension, application linéaire et matrices...

Pour des raisons de typographie, je ne mets pas toujours de flèches sur les vecteurs, le cadre ne prêtera jamais à confusion : les vecteurs sont les habitants d’un espace vectoriel, point).

1.1 Produit scalaire

Dans ce chapitre,E est un espace vectoriel surR, pas n´ecessairement de dimension finie.

D´efinition 1.1 Un produit scalaire sur E est une application

< , >:E×E −→R (1)

telle que :

1. < , > est bilin´eaire,

2. < , > est symétrique, c’est à dire < u, v >=< v, u >por tout u, v∈E, 3. < , > est positive, c’est à dire < u, u >≥0 pour tout u∈E,

4. < , > est d´efinie, c’est `a dire si < u, u >= 0 alorsu= 0E.

On dit qu’un produit scalaire est une forme bilinéaire, symétrique, définie positive.

Exemple(s) 1.2 1. Rⁿ (avec le produit scalaire canonique),

2. E=C⁰([0,1]) (espace vectoriel des fonctions continues sur [0,1]), 3. E=R[X](espace vectoriel des polynˆomes).

Jusqu’`a la fin de ce paragraphe, E est un espace vectoriel sur R muni d’un produit scalaire

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Théorème 1.3 (Inégalité de Cauchy-Schwarz) On a

< u, v >²≤< u, u >< v, v >: (2) pour tout u, v∈E avec égalité si et seulement si u et v sont colinéaires.

D´efinition 1.4 On appelle norme euclidienne d’un vecteur u∈E le nombre r´eel

||u||=√

< u, u >. (3)

Exemple(s) 1.5 Si E=Rⁿ avec son produit scalaire canonique alors

||u||= q

x²₁+· · ·+x²_n si u= (x1,· · ·, xn)∈E.

Th´eor`eme 1.6 On a, pour tout u, v∈E et toutλ∈R, 1. ||u|| ≥0,

2. ||λu||=|λ|||u||,

3. ||u||= 0 si et seulement si u= 0_E, 4. ||u+v|| ≤ ||u||+||v||.

Proposition 1.7 (Identit´es remarquables) On a, pour tout u, v∈E,

1. ||u+v||² =||u||²+ 2< u, v >+||v||², 2. ||u−v||² =||u||²−2< u, v >+||v||²,

3. ||u+v||²+||u−v||² = 2(||u||²+||v||²) (identit´e du parall´elogramme), 4. ||u+v||²− ||u−v||² = 4< u, v >.

En particulier, ||u+v||² =||u||²+||v||² si et seulement si < u, v >= 0.

D´efinition 1.8 On appelle distance euclidienne entre les vecteurs u et v le nombre r´eel

d(u, v) =||u−v||. (4)

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1.2 Orthogonalit´e

Dans ce chapitre,Eest un espace vectoriel surR, pas n´ecessairement de dimension finie, muni d’un produit scalaire< , >.

D´efinition 1.9 1. Deux vecteurs u, v∈E sont orthogonaux si< u, v >= 0.

2. Une famille(e₁,· · ·, e_p)est dite orthogonale si les vecteurs qui la composent sont orthogonaux deux `a deux c’est `a dire < e_i, e_j >= 0 pour tout i6=j.

3. Un vecteur u∈E est unitaire si ||u||= 1.

4. Une famille (e1,· · · , ep) est dite orthonormée si les vecteurs qui la composent sont unitaires et orthogonaux deux à deux c’est à dire < ei, ej >=δij pour tout i, j.

Définition 1.10 On appelle orthogonal d’une partie F de E l’ensemble, noté F^⊥, des vecteurs orthogonaux à tous les vecteurs de F :

F^⊥={u∈E, < u, v >= 0 ∀v∈F} (5)

Proposition 1.11 L’orthogonalF^⊥ d’une partie F de E est un sous espace vectoriel de E.

D´efinition 1.12 Deux sousespaces vectoriels F et G deE sont orthogonaux si< u, v >= 0pour tout u∈F et tout v∈G.

Exemple(s) 1.13 Si F est un sous espace vectoriel de E alors F et F^⊥ sont orthogonaux. Re- marquons que F ∩F^⊥ ={0_E} (parce que le produit scalaire est une forme bilin´eaire d´efinie) : ces deux espaces sont en somme directe.

1.3 Espaces vectoriels euclidiens

D´efinition 1.14 Un espace euclidien E est un espace vectoriel de dimension finie muni d’un produit scalaire.

Exemple(s) 1.15 Rⁿ avec sa base et son produit scalaire canonique(s). Dans les exercices, on aura souvent n= 2 ou n= 3.

1.4 Bases orthonorm´ees

D´efinition 1.16 (Bases orthonorm´ees)

SoitE un espace euclidien. On dit qu’une base(f1,· · · , fn) est orthonorm´ee si< fi, fj >=δij pour tout i, j= 1,· · ·n.

Exemple(s) 1.17 La base canonique deRⁿmuni de son produit scalaire canonique est orthonorm´ee.

Th´eor`eme 1.18 (Gram-Schmidt)

Soit E un espace euclidien et (e1,· · ·, en) une base de E. Alors il existe une base orthonorm´ee (f₁,· · ·, f_n) de E telle que

V ect(f1,· · ·, fk) =V ect(e1,· · ·ek)

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Preuve. Par r´ecurrence : on posef₁ = _||e^e¹

1||. Pour trouverf₂on le cherche sous la formef₂ =e₂+af₁ où a est un nombre réel qui donne l’orthogonalité : en écrivant < f1, f2 >= 0 on trouve que a=−^<e_||f²^,f¹^>

1||² et on normalise. Puis f_k+1=e_k+1−P_k

i=1

<ek+1,fi>

||f_i||² f_i, et on normalise.

Corollaire 1.19 Un espace vectoriel euclidien admet (au moins) une base orthonormale.

Pourquoi travailler en base orthonorm´ee? Parce que cela simplifie l’existence (disons que cela devient aussi facile que dansRⁿ muni de son produit scalaire et de sa base canonique)!

Théorème 1.20 (Composantes d’un vecteur en base orthonormée)

Soit E un espace vectoriel euclidien muni d’une base orthonorm´ee (f1,· · · , fn). Alors, pour tout u∈E,

u=

n

X

i=1

< u, fi > fi. (6)

Preuve. Ecrireu=Pn

j=1a_jf_j et calculer< u, f_i>.

Le corollaire suivant est important (il nous permettra par exemple de d´efinir les projections orthogonales) :

Corollaire 1.21 Soit F un sous-espace vectoriel de E. Alors F^⊥ est un suppl´ementaire de F dansE : E=F⊕F^⊥.

Preuve. Nous avons déjà vu queF∩F^⊥={0_E}. L’espace vectorielF est euclidien. Il admet donc une base orthonormée (f1,· · · , fp). Siu∈E, on vérifie queu=v+woùv=Pp

i=1< u, fi > fi ∈F etw=u−v∈F^⊥. Ainsi, E =F+F^⊥.

1.5 Projections et sym´etries orthogonales

Soit E un espace euclidien et (e1,· · · , en) une base de E. Soit F un sous-espace vectoriel de E:

l’orthogonalF^⊥ est un suppl´ementaire de F.

D´efinition 1.22 Soit E un espace vectoriel euuclidien et F un sous-espace vectoriel de E.

1. On appelle projection orthogonale sur F l’application lin´eairep_F :E=F⊕F^⊥−→E d´efinie par p_F(u+v) =u, u∈F et v∈F^⊥.

2. On appelle symétrie orthogonale par rapport àF l’application linéaires_F :E =F⊕F^⊥−→E définie par s_F(u+v) =u−v, u∈F etv ∈F^⊥.

Remarque(s) 1.23 On a sF = 2pF −IdE.

Il est facile d’exprimer les projections (et donc les symétries) dans les bases orthonormées, et c’est ce qui explique entre autre leur utilité :

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Théorème 1.24 Soit (f₁,· · · , f_p) une base orthonormée de F. Alors p_F(u) =

p

X

j=1

< u, f_j > f_j (7)

pour tout u∈E.

Preuve. On compl`ete (f₁,· · ·, f_p) en une base orthonorm´ee (f₁,· · · , f_n) de E. Alors, pour tout vecteur u de E on a u = Pn

i=1 < u, f_i > f_i et donc, par lin´earit´e, p(u) = Pn

i=1 < u, f_i > p(f_i).

Mais, par d´efinition d’une projection, p(fi) =fi si fi∈F etp(fi) = 0 sifi ∈/F. Corollaire 1.25 (Projection sur une droite vectorielle)

Soit F =V ect(a) aveca vecteur non nul. Alors

p_F(u) =< u, a > a

||a||² (8)

pour tout u∈E.

Preuve. Une base orthonorm´ee de F est _||a||^a .

Corollaire 1.26 (Projection sur un hyperplan vectoriel) Soit F =V ect(a^⊥) avec a6= 0. Alors

pF(u) =u−< u, a > a

||a||² (9)

pour tout u∈E.

Preuve. En effet,Id_E−p_F est la projection orthogonale sur la droiteF^⊥=V ect(a) et on applique le corollaire pr´ec´edent.

On peut ainsi projeter surF ouF^⊥: les calculs pr´ec´edents montrent qu’il est souvent plus judicieux de projeter sur le plus petit...

1.6 Distances dans un espace vectoriel

Un produit scalaire sert à calculer des distances. Dans ce paragraphe,Edésigne un espace vectoriel euclidien. Rappelons que la distance entre deux vecteurs u et v est alors définie par d(u, v) :=

||u−v||.

Définition 1.27 On appelle distance d’un vecteur u de E à un sous-espace vectoriel F de E le nombre réel d(u, F) = infv∈F d(u, v).

Théorème 1.28 On a d(u, F) =||u−P_F(u)|| oùp_F(u) désigne la projection orthogonale sur F.

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Preuve. Remarquons tout d’abord que ||u−v|| ≥ ||u−P_F(u)|| pour toutv∈F : en effet,

||u−v||=||u−p_F(u) +p_F(u)−v||

oùu−pF(u)∈F^⊥(c’est la définition de la projection) etpF(u)−v∈F (parce quepF(u)∈F etF est un espace vectoriel). En utilisant le théorème de Pythagore (les vecteursu−p_F(u) etp_F(u)−v sont orthogonaux), on obtient donc

||u−v||²=||u−pF(u)||²+||p_F(u)−v||²≥ ||u−pF(u)||²

et on a égalité si et seulement sip_F(u) =v. On en déduit que infv∈Fd(u, v) =||u−p_F(u)||.

Corollaire 1.29 (Distance `a une droite vectorielle) Soit D=vect(w), w6= 0. Alors

d(u, D) =||x−< x, w > w

||w||²||

pour tout u∈E.

Preuve. On a en effetp_F(u) =< u, w > _||w||^w2 pour toutu∈E.

Corollaire 1.30 (Distance `a un hyperplan vectoriel) Soit H=vect(w)^⊥, w6= 0. Alors

d(u, H) =|< u, w >| 1

||w||

pour tout u∈E.

Preuve. On a en effetpF(u) =u−< u, w > _||w||^w2 pour tout u∈E.

Exemple(s) 1.31 On supposeE muni d’une base orthonormée. Si l’équation deH s’écrit a₁x₁+

· · ·a_nx_n= 0 et siu= (u₁,· · · , u_n) dans la base consid´er´ee alors d(u, H) = |a₁u₁+· · ·+a_nu_n|

pa²₁+· · ·+a²_n . (10)

En effet, H=vect(w)^⊥ avec w= (a₁,· · · , a_n).

1.7 Automorphismes orthogonaux. Matrices orthogonales Ce chapitre est à laisser de côté en première lecture.

D´efinition 1.32 Soit E un espace vectoriel euclidien. On appelle endomorphisme orthogonal de E tout endomorphisme de E qui conserve le produit scalaire, c’est `a dire tel que

< f(x), f(y)>=< x, y > (11)

pour tout x∈E et touty∈E.

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Exemple(s) 1.33 Sisest une sym´etrie orthogonale, on a< s(x), s(y)>=< x, y >: une sym´etrie orthogonale est donc un endomorphisme orthogonal. Une projection orthogonale n’est pas un endomorphisme orthogonal.

Dans ce texte, A^> d´esignera la transpos´ee de la matriceA.

D´efinition 1.34 Une matrice A∈Mn(R) est dite orthogonale si

AA^>=I (12)

En d’autres termes, A est orthogonale siA est inversible et siA^>=A⁻¹. Le lien entre les deux notions est précisé par le théorème suivant :

Théorème 1.35 Dans Rⁿ, muni du produit scalaire et de la base canoniques, il y a équivalence entre :

1. l’endomorphismef est orthogonal, 2. la matrice de f est orthogonale.

Preuve. La base canonique deRⁿest orthonormale.