Universit´e Paris Diderot L3 Maths Appliqu´ees
M2303 Analyse de Hilbert et de Fourier Ann´ee 08/09
Feuille d’exercices 4
1. Soit E un K-espace vectoriel muni d’un produit scalaire. Soit x, y deux vecteurs de E.
Montrer que l’´egalit´ede Cauchy-Schwarz |hx, yi|=kxk kyk a lieu si et seulement si x ety sont colin´eaires. (On traitera successivement les casK= lR et K=C.)
2. Dans un espace vectoriel r´eel muni d’un semi-produit scalaire, rappeler comment le semi-produit scalaire s’exprime `a l’aide de la semi-norme associ´ee.
Montrer que, dans un espace vectoriel complexe, muni d’un semi-produit scalaire, on dispose de l’identit´e
hx, yi= 1 4
kx+yk2− kx−yk2+ikx+iyk2−ikx−iyk2 .
3. Soit E un C-espace vectoriel muni d’une semi-norme k k qui v´erifie l’identit´e du pa- rall´elogramme (ou de la m´ediane):
kx+yk2+kx−yk2= 2 kxk2+kyk2
(x, y∈E).
On d´efinit l’application ϕ:E2 →Cpar ϕ(x, y) = 1
4
kx+yk2− kx−yk2+ikx+iyk2−ikx−iyk2 .
On se propose d’´etablir que l’application ϕ est un semi-produit scalaire sur E, de semi-norme associ´eek k. Montrer pour cela les identit´es suivantes, o`u x, y, z∈E etλ∈C:
a)ϕ(x, x) =kxk2. b) ϕ(y, x) =ϕ(x, y).
c)ϕ(x+y, z) = 2ϕ(x, z/2) + 2ϕ(y, z/2).
d) ϕ(x, y) = 2ϕ(x, y/2).
e)ϕ(x+y, z) =ϕ(x, z) +ϕ(y, z).
f)ϕ(λx, y) =λϕ(x, y)
(on commencera par λ∈lN puis on ´etendra successivement `aλ∈Z,Q,lR puis C).
4. Soit E un lR-espace vectoriel muni d’un produit scalaire et C une partie deE.
a) Montrer que si C est convexe, alorsC poss`ede la propri´et´e (?) suivante:
(?) Pour toutx∈E\C, il existeau plus un´el´ementydeCtel quekx−yk= min{kx−zk, z∈C}.
Indication: On supposera que deux ´el´ements y1 ety2 de C ont cette propri´et´e, et on calculera
x−y1+y2 2
2
`
a l’aide de l’identit´e du parall´elogramme.
b) Donner un exemple de partie ferm´ee (non convexe!) de lR2n’ayant pas la propri´et´e (?).
1
5. Pour p∈[1,+∞], on d´efinit la normek kp sur C2 par
k(x, y)kp= (|x|p+|y|p)1/p sip <+∞, k(x, y)k∞= max (|x|,|y|) . Montrer que la normek kp est issue d’un produit scalaire si et seulement sip= 2.
Indication: tester l’identit´e du parall´elogramme sur les vecteurs de la base canonique.
6. Soit p∈[1,+∞]. Montrer que la norme de Lp([0,1]) est issue d’un produit scalaire si et seulement sip= 2.
Indication: tester l’identit´e du parall´elogramme sur deux fonctions indicatrices.
7. L’espace C([0,1]) des fonctions continues sur [0,1], muni du produit scalaire induit par L2(lR): hf, gi=
Z 1 0
f(x)g(x)dx, est-il un espace de Hilbert?
8. Soit E un espace vectoriel norm´e.
a) Montrer que la boule unit´e ferm´ee B = {x ∈ H /kxk ≤ 1} est un sous-ensemble convexe ferm´e de H.
b) Pourkxk>1, montrer l’existence d’uny∈B tel quekx−yk= min{kx−zk, z∈B}.
Montrer que y n’est pas n´ecessairement unique en examinant le cas de E=C2 muni de k k1 ou k k∞(cf exercice 5).
9. a)H ´etant un espace de Hilbert eta6= 0 un ´el´ement de H, montrer que:
∀x∈H d(x,{a}⊥) = |hx, ai|
kak . b) SoitF le sous-espace vectoriel deH=L2([0,1]) d´efini par
F ={f ∈H / Z 1
0
f(x)dx= 0}.
Montrer que F est ferm´e et calculer la distance `a F de f :x7→ex.
10. SoitH un espace de Hilbert admettant une suite orthonorm´ee infinie (en)n∈N.
a) Soit x∈H. Montrer que limn→∞hx, eni= 0. En d´eduire la limite de ken−xk quand ntend vers l’infini.
b) Calculerken−emk pour n6=m.
Montrer que le sous-ensemble F ={en, n∈N} de H est ferm´e, born´e mais non compact.
c) Montrer queG={(1 + 1/n)en, n∈N∗} est lui aussi ferm´e, mais qu’il n’existe aucun
´
el´ementy deG tel que
kyk= min{kzk, z∈G}.
.
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