Produit scalaire dans l’espace
Table des mati` eres
1 Introduction : 2
2 Rappel du produit scalaire dans le plan 3
2.1 D´efinitions . . . . 3
2.2 Orthogonalit´e . . . . 4
3 D´ efinition et propri´ et´ es du produit scalaire dans l’espace 5 3.1 Projection orthogonale dans l’espace . . . . 5
3.2 D´efinition du produit scalaire dans l’espace . . . . 6
3.3 Plusieurs expressions de produit scalaire . . . . 6
3.4 Orthogonalit´e dans l’espace . . . . 7
3.4.1 Orthogonalit´e de droites . . . . 7
3.4.2 Orthogonalit´e de plans . . . . 7
4 Applications 11 4.1 Equation cart´esienne d’un plan . . . . ´ 11
4.2 Equation d’une sph`ere . . . . ´ 12
4.3 Distance `a un plan . . . . 12
Section 1
Introduction :
Le produit scalaire de deux vecteurs ≪ corrige ≫ l’´eventuel d´efaut d’orthogonalit´e. En g´en´eral, les rep`eres g´eom´etriques utilis´es sont orthonormaux ce qui permet l’utilisation de formules simples pour le calcul de longueur par exemple. Si le rep`ere n’est mˆeme pas orthogonal, il faut corriger le calcul fait en compensant avec la valeur du produit scalaire comme l’illustre la figure suivante :
−
→ u
−
→ v
−
→ w
Le calcul de la norme de − → w = − → u + − → v est facile si les vecteurs sont orthogonaux : k− → w k 2 = k− → u k 2 + k− → v k 2
−
→ u
−
→ v
−
→ w
Dans ce cas le calcul de la norme de − → w est moins
´evident : k− → w k 2 = k− → u k 2 + k− → v k 2 − α o` u la valeur de α
d´epend de l’angle entre les deux vecteurs − → u et − → v .
Section 2
Rappel du produit scalaire dans le plan
Le plan P est muni d’un rep`ere orthonormal ( O, − → i , − → j ). On rappelle dans un premier temps les principaux r´esultats de la classe de premi`ere.
2.1 D´ efinitions
Soit − → u et − → v deux vecteurs non nuls. On consid`ere les deux points A et B du plan tels que : − → u = −→ OA et − → v = −−→ OB.
Le produit scalaire de − → u · − → v est ´egal `a :
— OA × OB si − → u et − → v sont colin´eaires de mˆeme sens
— − OA × OB si − → u et − → v sont colin´eaires de sens contraire
— OA × OB ′ ou OA ′ × OB , o` u A ′ et B ′ d´esignent les projet´es orthogonaux de A et B respecti- vement sur (OB) et sur (OA).
D´ efinition
b
O
b
A
b
B
b
B ′
b
A ′
Dans le cas o` u l’un des vecteurs est nul, le produit scalaire est nul. Les propri´et´es suivantes d´ecoulent de la d´efinition ci-dessus.
1. Si − → u et − → v sont non nuls alors − → u · − → v = OA × OB × cos( −→ OA; −−→ OB)
2. Lorsque les coordonn´ees de − → u et de − → v sont (x; y) et (x ′ ; y ′ ) dans un rep`ere orthonormal alors :
−
→ u · − → v = xx ′ + yy ′ 3. − → u · − → v = 1
2 ( k− → u k 2 + k− → v k 2 − k− → u − − → v k 2 ) = 1
2 (OA 2 + OB 2 − AB 2 )
Calculs dans le plan
Remarques :
— On rappelle que l’´ecriture k− → u k d´esigne la norme du vecteur − → u . On a alors dans un rep`ere ortho- normal du plan : k− → u k = OA = p
x 2 + y 2
— cos( −→ OA; −−→ OB) = cos( −−→ OB; −→ OA) donc en particulier − → u · − → v = − → v · − → u
Pour tous vecteurs − → u , − → v , − → w et pour tout r´eel k, on a : 1. − → u · − → v = − → v · − → u
2. ( k × − → u ) · − → v = − → u · ( k × − → v ) = k × ( − → u · − → v ) 3. − → u · ( − → v + − → w ) = − → u · − → v + − → u · − → w
Propri´ et´ es op´ eratoires du produit scalaire
Ces propri´et´es permettent de conduire des calculs avec des produits scalaires.
2.2 Orthogonalit´ e
Deux vecteurs − → u et − → v sont orthogonaux si et seulement si l’un au moins est nul ou s’ils indiquent des directions perpendiculaires.
Le symbole d’orthogonalit´e des vecteurs est donc le mˆeme que la perpendicularit´e des droites ( ⊥ )
Deux vecteurs − → u et − → v sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
Caract´ erisation de l’orthogonalit´ e
Remarque : Que devient l’expression − → u · − → v = 1
2 ( k− → u k 2 + k− → v k 2 − k− → u − − → v k 2 ) = 1
2 (OA 2 + OB 2 − AB 2 ) lorsque les deux vecteurs − → u et − → v sont orthogonaux ?
Le triangle AOB devient alors rectangle en O et on retrouve l’expression du th´eor`eme de Pythagore :OA 2 + OB 2 − AB 2 = 0.
ABC est un triangle quelconque et I est le milieu de [ AB ]
Th´ eor` eme d’AL-KASHI Dans le triangle ABC ,on a : a 2 = b 2 + c 2 − 2bccos A b Th´ eor` eme de la m´ ediane Pour tout point M du plan, on a :
M A 2 + M B 2 = 2M I 2 + 1 2 AB 2
Relation m´ etriques et trigonom´ etriques dans un triangle
A
B C b a
c A b b B
C b
b
A
b
B
b
I
b
M
Remarque :
— D’autres formules se d´eduisent par permutation circulaire(A → B, B → C, C → A).
— Le th´eor`eme d’AL-KASHI est l’extension du th´eor`eme de Pythagore `a n’importe quel triangle.
Section 3
D´ efinition et propri´ et´ es du produit scalaire dans l’espace
3.1 Projection orthogonale dans l’espace
D est une droite et M un point de l’espace. Le plan P M passant par M et perpendiculaire `a D coupe D en un point M ′ appel´e projet´ e orthogonal de M sur la droite D .
D´ efinition
DroiteD
bb bb
b
M
b
M ′
De la mˆeme fa¸con, on peut d´efinir le projet´e orthogonal d’un point sur un plan.
3.2 D´ efinition du produit scalaire dans l’espace
−
→ u et − → v sont deux vecteurs de l’espace et A, B et C sont trois points tels que − → u = −→ AB et − → v = −→ AC . Il existe au moins un plan P contenant les points A, B et C.
Le produit scalaire des vecteurs − → u et − → v , est le produit scalaire des vecteurs −→ AB et −→ AC dans le plan P .
D´ efinition
Remarques :
— Le plan P est unique si les points A, B et C ne sont pas align´es.
— Dans le cas du produit scalaire dans l’espace, on se ram`ene donc au produit scalaire dans le plan en recherchant ce plan P contenant des repr´esentants des vecteurs − → u et − → v .
3.3 Plusieurs expressions de produit scalaire
D`es lors que l’on se ram`ene `a ´etudier le produit scalaire de deux vecteurs dans un mˆeme plan, les r`egles
´enonc´ees dans le plan s’appliquent `a l’espace.
Avec les notations usuelles, on a : 1. − → u · − → v = AB × AC cos ( −→ AB ; −→ AC )
2. − → u · − → v = −→ AB · −→ AC = −→ AB · −−→ AH o` u H d´esigne le projet´e orthogonal de C sur la droite ( AB ).
3. Lorsque les coordonn´ees de − → u et de − → v sont ( x ; y ; z ) et ( x ′ ; y ′ ; z ′ ) dans un rep`ere orthonormal alors − → u · − → v = xx ′ + yy ′ + zz ′
Calculs de produit scalaire
b
C
b
H
b
A
b
B
Enfin les r`egles de calculs (lin´earit´e, commutativit´e et distributivit´e) s’appliquent au produit scalaire de
l’espace.
On consid`ere le prisme ci-dessous constitu´es de rectangles et de trap`ezes rectangles. On donne IJ = 14, IQ = 6, LP = P R = 8 et P O = 10.
1. Calculer − LI → · −→ P O , −→ IQ · −→ QJ , −−→ IM · −−→ KO , − LI → · −→ JK puis −−→ RK · −→ P O . 2. Calculer −→ IN · −→ LO puis −→ QR · −−→ M N .
Exercice 1
b I
b J
b
K
b L
b M
b N
b
O
b P
b
Q
b R
3.4 Orthogonalit´ e dans l’espace
3.4.1 Orthogonalit´ e de droites
De la mˆeme fa¸con, on peut caract´eriser l’orthogonalit´e de l’espace par le produit scalaire.
Soit D et D ′ deux droites de vecteurs directeurs − → u et − → v . Alors les droites D et D ′ sont orthogonales si et seulement si − → u · − → v = 0.
Caract´ erisation de l’orthogonalit´ e
Deux droites peuvent ˆetre orthogonales sans ˆetre s´ecantes !
3.4.2 Orthogonalit´ e de plans
Soit D une droite de l’espace de vecteur directeur − → u et P un plan. Alors la droite D est orthogonale `a P si et seulement si il existe deux vecteurs − → k et − → l non colin´eaires du plan P tels que − → u · − → k = − → u · − → l = 0.
D
b
A
−
→ k − → l
En d’autres termes, il faut que le vecteur directeur de la droite soit normal `a une base du plan !
Un vecteur − → n est normal `a un plan P lorsque toute droite de vecteur directeur − → n est orthogonale `a P .
D´ efinition
Remarquons l’avantage du vecteur normal par rapport aux vecteurs directeurs, du moins dans l’espace :
Il suffit d’ un vecteur normal pour diriger un plan alors qu’il faudrait deux vecteurs directeurs pour le diriger !
Soit A(1, 0, 5), B( − 1, 2, 2) et C(0, 0, 1).
1. Prouver que ces trois points d´efinissent un plan.
2. D´eterminer les coordonn´ees d’un vecteur normal au plan (ABC ).
Exercice 2
On en d´eduit naturellement la propri´et´e suivante :
Soit P et P ′ deux plans de vecteurs normaux − → n et − → n ′ . Alors les plans P et P ′ sont perpendiculaires si et seulement si − → n · − →
n ′ = 0.
Perpendicularit´ e de plans
P lan P ′
P lan P
b
A
b
B
−
→ n
−
→ n ′
On a repr´esent´e le cube ABCDEFGH d’arˆete 1.
On a plac´e :
les points I et J tels que − BI = → 2 3
−→ BC et − EJ = → 2 3
−→ EH.
le milieu K de [IJ].
On appelle P le projet´e orthogonal de G sur le plan (FIJ).
A
B C
D E
F
G H
I J
K +
Partie A
1. D´emontrer que le triangle FIJ est isoc`ele en F.
En d´eduire que les droites (FK) et (IJ) sont orthogonales.
On admet que les droites (GK) et (IJ) sont orthogonales.
2. D´emontrer que la droite (IJ) est orthogonale au plan (FGK).
Partie B
L’espace est rapport´e au rep`ere orthonormal
A ; −→
AB , −→
AD , −→
AE .
On appelle N le point d’intersection de la droite (GP) et du plan (ADB).
On note (x ; y ; 0) les coordonn´ees du point N .
1. Donner les coordonn´ees des points F, G, I et J.
2. (a) Montrer que la droite (GN ) est orthogonale aux droites (FI) et (FJ).
(b) Exprimer les produits scalaires −−→ GN · − → FI et −−→ GN · − FJ en fonction de → x et y.
(c) D´eterminer les coordonn´ees du point N.
3. Placer alors le point P sur la figure en annexe.
Exercice 3
Section 4
Applications
4.1 Equation cart´ ´ esienne d’un plan
Le vecteur normal − → n d’un plan P , permet de caract´eriser le plan P comme l’ensemble des points M de l’espace tels que : −−→ AM · − → n = 0, o` u A est un point de P .
La propri´et´e suivante d´efinit l’´equation cart´esienne d’un plan.
Dans un rep`ere orthonormal de l’espace,
1. Un plan P de vecteur normal − → n de coordonn´ees ( a ; b ; c ) a une ´equation de la forme : ax + by + cz + d = 0
2. R´eciproquement, l’ensemble des points M(x; y; z) de l’espace tels que : ax + by + cz + d = 0 o` u (a; b; c) 6 = (0; 0; 0) est un plan de vecteur normal − → n de coordonn´ees (a; b; c).
Equation cart´ ´ esienne de plan
Remarques :
1. La d´emonstration repose sur la relation −−→ AM · − → n = 0 ´enonc´ee ci-dessus.
2. Un plan a une infinit´e d’´equation ; en effet si ( P ) : ax+by+cz+d = 0 alors ( P ) : kax+kby+kcz+kd = 0, o` u k est un r´eel non nul, est aussi une ´equation de P
On consid`ere l’ensemble E des points M de l’espace dont les coordonn´ees ( x, y, z ) v´erifient la rela- tion : 6x − y + 2z = 2.
1. Justifier que E est un plan de l’espace
2. D´eterminer les coordonn´ees de trois autres points du plan E . 3. D´eterminer les coordonn´ees de trois vecteurs normaux `a ce plan.
4. D´eterminer l’´equation cart´esienne d’un plan perpendiculaire `a E.
5. Que dire du plan P d’´equation − 12x + 2y − 4z = − 4 ? 6. Que dire du plan P ′ d’´equation 6x − y + 2z = 0 ?
Exercice 4
On consid`ere les points A(1, 0, 2), B( − 2, 1, 5) et C(2, − 2, 0).
1. (a) Justifier que les points A, B et C d´efinissent un plan de l’espace.
(b) Justifier que le vecteur − → n de coordonn´ees (4, − 3, 5) est un vecteur normal du plan (ABC ).
(c) En d´eduire une ´equation cart´esienne du plan (ABC ).
2. Soit D le point de coordonn´ees (3, 3, − 3). D´eterminer l’´equation du plan (P 1 ) passant par D et parall`ele ( ABC ).
3. Soit ( P 2 ) le plan d’´equation x + y + z − 1 = 0.
(a) Justifier que les plans (ABC) et (P 2 ) sont s´ecants en une droite D.
(b) D´eterminer une ´equation param´etrique de la droite D.
Exercice 5
On consid`ere la droite D dont la repr´esentation param´etrique est
x = − 2 + t y = 10 − t z = 20 + 2t
o` u t ∈ R et le plan P d’´equation cart´esienne 3 x − y − z = 1.
1. Justifier que la droite D coupe le plan P . On appelle N le point d’intersection.
2. D´eterminer les coordonn´ees de N .
Exercice 6
4.2 Equation d’une sph` ´ ere
C’est aussi une cons´equence d’un produit scalaire dans l’espace. On consid`ere la sph`ere S de centre Ω(x Ω , y Ω , z Ω ) et de rayon R > 0. Alors :
Un point M (x, y, z) appartient `a la sph`ere S si et seulement si (x − x Ω ) 2 + (y − y Ω ) 2 + (z − z Ω ) 2 = R 2
4.3 Distance ` a un plan
Dans un rep`ere orthonormal, on consid`ere le plan P d’´equation ax + by + cz + d = 0. Soit A le point de l’espace de coordonn´ees (x A ; y A ; z A ). Alors la distance d du point A au plan P est :
d = AH = | ax A + by A + cz A + d |
→ = | ax A + by A + cz A + d |
√
Distance dans l’espace
−
→ n
P : ax + by + cz + d = 0
b
A
b
