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Math´ematiques g´en´erales (B)

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

bloc1 chimie,

& bloc 2 biologie, g´eographie, g´eologie

2020-2021

(2)

Table des mati`eres (second quadrimestre) CHAPITRE 1. Calcul matriciel

CHAPITRE 2. Fonctions de plusieurs variables r´eelles CHAPITRE 3. Approximations polynomiales et s´eries (s´eries pas pour les biologistes)

Remarque : nombre d’heure di↵´erent selon les sections (donc . . . )

(3)

D´efinitions g´en´erales, notations, exemples

Fonctions de plusieurs variables, domaine de d´efinition, exemples

Notion de courbe, de surface ; repr´esentation graphique des fonctions de plusieurs variables r´eelles

Notion de courbe de niveau, de surface de niveau ; exemples

(4)

-1 -0.5 0 0.5 1 -1

-0.5 0 0.5 1

(5)

Surfaces quadriques (surfaces de niveau pour des fonctions polynomiales du second degr´e de 3 variables r´eelles) Ellipso¨ıde

(6)

polynomiales du second degr´e de 3 variables r´eelles) Hyperbolo¨ıde `a une nappe

(7)

Surfaces quadriques (surfaces de niveau pour des fonctions polynomiales du second degr´e de 3 variables r´eelles) Hyperbolo¨ıde `a deux nappes

(8)

Cˆone

(9)

Surfaces quadriques (surfaces de niveau pour des fonctions polynomiales du second degr´e de 3 variables r´eelles) Parabolo¨ıde elliptique

(10)

Parabolo¨ıde hyperbolique

(11)

Surfaces quadriques (surfaces de niveau pour des fonctions polynomiales du second degr´e de 3 variables r´eelles) Cylindre elliptique

(12)

Cylindre hyperbolique

(13)

Surfaces quadriques (surfaces de niveau pour des fonctions polynomiales du second degr´e de 3 variables r´eelles) Cylindre parabolique

(14)

Cf cas des fonctions d’une variable r´eelle D´efinitions g´en´erales, notations, exemples

Somme, produit, quotient Fonctions compos´ees Limites et continuit´e

(15)

On travaille encore dans des ensembles ouverts (car . . . ) D´efinitions g´en´erales, notations, exemples

D´efinitions (d´erivabilit´e et d´eriv´ees partielles) Notations

Premi`eres propri´et´es

Combinaisons lin´eaires, produits, quotients : cf une variable r´eelle

D´erivation des fonctions compos´ees

(16)

On travaille encore dans des ensembles ouverts (car . . . ) Lien entr´ee d´erivabilit´e et continuit´e

Attention : la situation nest plus celle du cas des fonctions d’une variable r´eelle

D´eriv´ees multiples

Attention `a lapermutation des d´eriv´ees partielles

(17)

Op´erateurs de d´erivation particuliers Pourquoi particuliers ?

D´efinion des op´erateurs gradient, divergence et rotationnel Interpr´etation

(18)

Int´egration sur des ensembles born´es ferm´es

-

X Y 6

a b

c d

x1 x2

y1

•(r1,s1) •(r2,s2) •(r3,s3)

•(r4,s4)

•(r5,s5) •(r6,s6)

(19)

Interpr´etation dans le cas d’une fonction continue `a valeurs positives

Int´egration sur des ensembles born´es ferm´es

Z

X

Y

(20)

On se place dans le cadre de l’int´egration des fonctions continues.

Int´egration sur des ensembles born´es ferm´es

Int´egration sur des rectangles born´es ferm´es : d´efinition R´esultat permettant de calculer l’int´egrale en passant par des int´egrales de fonctions d’une variable

Int´egration sur d’autres ensembles born´es ferm´es

R´esultat permettant de calculer l’int´egrale en passant par des int´egrales de fonctions d’une variable

(21)

On se place dans le cadre de l’int´egration des fonctions continues.

Int´egration sur des ensembles born´es ferm´es

En bref, avec repr´esentations graphique et analytique ad´equates de l’ensemble d’int´egration (born´e et ferm´e)A, on a

ZZ

A

f(x,y) dxdy = Z b

a

Z f2(x) f1(x)

f(x,y)dy

! dx

= Z d

c

Z g2(y) g1(y)

f(x,y) dx

! dy Ne pas oublier le cas particulier desrectangles !

(22)

On se place encore dans le cadre de l’int´egration desfonctions continues.

Int´egration sur des ensembles non born´es ferm´es Ici, attention ! ! ! (cf d´ej`a cas d’une variable ! ! !)

On utilise encore des ensemblesparall`eles aux axes .

Soitf 2C0(A). Par d´efinition, la fonction f est dite int´egrable sur Alorsque on peut int´egrer successivement sonmoduledans un certain ordre, c’est-`a-dire . . .

(23)

Int´egration sur des ensembles non born´es ferm´es . . . c’est-`a-dire, dans le cas

A= (x,y)2R2 : x 2]a,b[etf1(x)y <f2(x) , 8x 2]a,b[, la fonction y2Ix = [f1(x),f2(x)[7!|f(x,y)|est int´egrable surIx

et la fonction x 2]a,b[7!

Z f2(x)

f1(x) |f(x,y)|dy est int´egrable sur ]a,b[.

(24)

Int´egration sur des ensembles non born´es ferm´es . . . et dans le cas

A= (x,y)2R2 : y 2[c,d[ etg1(y)<xg2(y) cela veut dire que

8y 2[c,d[, la fonction x 2Iy =]g1(y),g2(y)]7!|f(x,y)|est int´egrable surIy

et la fonction y 2[c,d[7!

Z g2(y)

g1(y) |f(x,y)|dx est int´egrable sur [c,d[.

(25)

Int´egration sur des ensembles non born´es ferm´es

On d´emontre que siA est `a la fois parall`ele `aX et `aY alors l’existence des int´egrales successives du module def dans un certain ordre implique l’existence des int´egrales successives du module dans l’autre ordre et l’existence des int´egrales successives de la fonctionf elle-mˆeme.

Dans ce cas, int´egrer successivementf dans un ordre ou dans l’autre donne la mˆeme valeur. L’int´egrale def sur A, encore not´ee ZZ

A

f(x,y) dxdy est cette valeur :

(26)

Int´egration sur des ensembles non born´es ferm´es L’int´egrale def sur A, encore not´ee

ZZ

A

f(x,y) dxdy est cette valeur :

ZZ

A

f(x,y) dx dy = Z b

a

Z f2(x) f1(x)

f(x,y) dy

!

dx (⇤)

= Z d

c

Z g2(y) g1(y)

f(x,y) dx

!

dy.(⇤⇤)

Passer de (*) `a (**) s’appellepermuter l’ordre d’int´egration ; on trouve la mˆeme chose car la fonction est int´egrable.

(27)

Int´egration sur des ensembles non born´es ferm´es

Exemples de v´erification d’int´egrabilit´e et de calcul d’int´egrales Cas o`u la fonction est `a variables s´epar´ees et o`u l’ensemble d’int´egration est un rectangle

Exemples explicites (cf syllabus)

(28)

Int´egration sur des ensembles non born´es ferm´es

Importance de regarder les int´egrales successives dumodule de f pour avoir l’int´egrabilit´e (et donc la permutation de l’orde d’int´egration sans changer la valeur).

Exemple... (sur un carr´e ! ! ! !)

(29)

Int´egration par changement de variables Cas g´en´eral

Cas du changement de variables polaires : on passe des coordonn´ees cart´esiennes aux coordonn´ees polaires. On trouve, apr`es calculs,

ZZ

A0

f(x,y) dxdy = ZZ

A

f(rcos(✓),rsin(✓)) r drd✓

o`u A0,Asont . . .

(30)

Application

Pour touta>0, on a Z +1

0

e ax2dx = 1 2

r⇡ a.

Cette int´egrale s’appelle l’l’int´egrale de Poisson et la fonction int´egr´ee s’appelle unegaussienne (tr`es utilis´ee notamment en statistiques).

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