bloc1 chimie,
& bloc 2 biologie, g´eographie, g´eologie
2020-2021
Table des mati`eres (second quadrimestre) CHAPITRE 1. Calcul matriciel
CHAPITRE 2. Fonctions de plusieurs variables r´eelles CHAPITRE 3. Approximations polynomiales et s´eries (s´eries pas pour les biologistes)
Remarque : nombre d’heure di↵´erent selon les sections (donc . . . )
D´efinitions g´en´erales, notations, exemples
Fonctions de plusieurs variables, domaine de d´efinition, exemples
Notion de courbe, de surface ; repr´esentation graphique des fonctions de plusieurs variables r´eelles
Notion de courbe de niveau, de surface de niveau ; exemples
-1 -0.5 0 0.5 1 -1
-0.5 0 0.5 1
Surfaces quadriques (surfaces de niveau pour des fonctions polynomiales du second degr´e de 3 variables r´eelles) Ellipso¨ıde
polynomiales du second degr´e de 3 variables r´eelles) Hyperbolo¨ıde `a une nappe
Surfaces quadriques (surfaces de niveau pour des fonctions polynomiales du second degr´e de 3 variables r´eelles) Hyperbolo¨ıde `a deux nappes
Cˆone
Surfaces quadriques (surfaces de niveau pour des fonctions polynomiales du second degr´e de 3 variables r´eelles) Parabolo¨ıde elliptique
Parabolo¨ıde hyperbolique
Surfaces quadriques (surfaces de niveau pour des fonctions polynomiales du second degr´e de 3 variables r´eelles) Cylindre elliptique
Cylindre hyperbolique
Surfaces quadriques (surfaces de niveau pour des fonctions polynomiales du second degr´e de 3 variables r´eelles) Cylindre parabolique
Cf cas des fonctions d’une variable r´eelle D´efinitions g´en´erales, notations, exemples
Somme, produit, quotient Fonctions compos´ees Limites et continuit´e
On travaille encore dans des ensembles ouverts (car . . . ) D´efinitions g´en´erales, notations, exemples
D´efinitions (d´erivabilit´e et d´eriv´ees partielles) Notations
Premi`eres propri´et´es
Combinaisons lin´eaires, produits, quotients : cf une variable r´eelle
D´erivation des fonctions compos´ees
On travaille encore dans des ensembles ouverts (car . . . ) Lien entr´ee d´erivabilit´e et continuit´e
Attention : la situation nest plus celle du cas des fonctions d’une variable r´eelle
D´eriv´ees multiples
Attention `a la⌧permutation des d´eriv´ees partielles
Op´erateurs de d´erivation particuliers Pourquoi ⌧particuliers ?
D´efinion des op´erateurs gradient, divergence et rotationnel Interpr´etation
Int´egration sur des ensembles born´es ferm´es
-
X Y 6
a b
c d
x1 x2
y1
•(r1,s1) •(r2,s2) •(r3,s3)
•(r4,s4)
•(r5,s5) •(r6,s6)
Interpr´etation dans le cas d’une fonction continue `a valeurs positives
Int´egration sur des ensembles born´es ferm´es
Z
X
Y
On se place dans le cadre de l’int´egration des fonctions continues.
Int´egration sur des ensembles born´es ferm´es
Int´egration sur des rectangles born´es ferm´es : d´efinition R´esultat permettant de calculer l’int´egrale en passant par des int´egrales de fonctions d’une variable
Int´egration sur d’autres ensembles born´es ferm´es
R´esultat permettant de calculer l’int´egrale en passant par des int´egrales de fonctions d’une variable
On se place dans le cadre de l’int´egration des fonctions continues.
Int´egration sur des ensembles born´es ferm´es
En bref, avec repr´esentations graphique et analytique ad´equates de l’ensemble d’int´egration (born´e et ferm´e)A, on a
ZZ
A
f(x,y) dxdy = Z b
a
Z f2(x) f1(x)
f(x,y)dy
! dx
= Z d
c
Z g2(y) g1(y)
f(x,y) dx
! dy Ne pas oublier le cas particulier des⌧rectangles !
On se place encore dans le cadre de l’int´egration desfonctions continues.
Int´egration sur des ensembles non born´es ferm´es Ici, attention ! ! ! (cf d´ej`a cas d’une variable ! ! !)
On utilise encore des ensembles⌧parall`eles aux axes .
Soitf 2C0(A). Par d´efinition, la fonction f est dite int´egrable sur Alorsque on peut int´egrer successivement sonmoduledans un certain ordre, c’est-`a-dire . . .
Int´egration sur des ensembles non born´es ferm´es . . . c’est-`a-dire, dans le cas
A= (x,y)2R2 : x 2]a,b[etf1(x)y <f2(x) , 8x 2]a,b[, la fonction y2Ix = [f1(x),f2(x)[7!|f(x,y)|est int´egrable surIx
et la fonction x 2]a,b[7!
Z f2(x)
f1(x) |f(x,y)|dy est int´egrable sur ]a,b[.
Int´egration sur des ensembles non born´es ferm´es . . . et dans le cas
A= (x,y)2R2 : y 2[c,d[ etg1(y)<xg2(y) cela veut dire que
8y 2[c,d[, la fonction x 2Iy =]g1(y),g2(y)]7!|f(x,y)|est int´egrable surIy
et la fonction y 2[c,d[7!
Z g2(y)
g1(y) |f(x,y)|dx est int´egrable sur [c,d[.
Int´egration sur des ensembles non born´es ferm´es
On d´emontre que siA est `a la fois parall`ele `aX et `aY alors l’existence des int´egrales successives du module def dans un certain ordre implique l’existence des int´egrales successives du module dans l’autre ordre et l’existence des int´egrales successives de la fonctionf elle-mˆeme.
Dans ce cas, int´egrer successivementf dans un ordre ou dans l’autre donne la mˆeme valeur. L’int´egrale def sur A, encore not´ee ZZ
A
f(x,y) dxdy est cette valeur :
Int´egration sur des ensembles non born´es ferm´es L’int´egrale def sur A, encore not´ee
ZZ
A
f(x,y) dxdy est cette valeur :
ZZ
A
f(x,y) dx dy = Z b
a
Z f2(x) f1(x)
f(x,y) dy
!
dx (⇤)
= Z d
c
Z g2(y) g1(y)
f(x,y) dx
!
dy.(⇤⇤)
Passer de (*) `a (**) s’appelle⌧permuter l’ordre d’int´egration ; on trouve la mˆeme chose car la fonction est int´egrable.
Int´egration sur des ensembles non born´es ferm´es
Exemples de v´erification d’int´egrabilit´e et de calcul d’int´egrales Cas o`u la fonction est ⌧`a variables s´epar´ees et o`u l’ensemble d’int´egration est un rectangle
Exemples explicites (cf syllabus)
Int´egration sur des ensembles non born´es ferm´es
Importance de regarder les int´egrales successives dumodule de f pour avoir l’int´egrabilit´e (et donc la permutation de l’orde d’int´egration sans changer la valeur).
Exemple... (sur un carr´e ! ! ! !)
Int´egration par changement de variables Cas g´en´eral
Cas du changement de variables ⌧polaires : on passe des coordonn´ees cart´esiennes aux coordonn´ees polaires. On trouve, apr`es calculs,
ZZ
A0
f(x,y) dxdy = ZZ
A
f(rcos(✓),rsin(✓)) r drd✓
o`u A0,Asont . . .
Application
Pour touta>0, on a Z +1
0
e ax2dx = 1 2
r⇡ a.
Cette int´egrale s’appelle l’⌧l’int´egrale de Poisson et la fonction int´egr´ee s’appelle une⌧gaussienne (tr`es utilis´ee notamment en statistiques).