Fonctions r´eelles

Chapitre 4

Fonctions r´ eelles

4.1 Exercices

1. Propri´et´es g´en´erales des fonctions.Soitf :R→Rla fonction d´efinie par

f(x) = 2x x²+ 25

Trouver l’imagef[R] (Im(f)). La fonctionf est-elle injective ?

2. Calcul des fonctions r´eciproques. Montrer que la fonction f :]− 1,0[→]0,1[ d´efinie parf(x) = √

1−x² est bijective. Calculer sa fonction r`eciproque f⁻¹.

3. Calcul des fonctions r´eciproques. Montrer que la fonctionf : R → ]0,∞[ d´efinie par

f(x) = exp(x) + 2

exp(−x) =e^x+ 2 e^−x

est bijective. Calculer sa fonction r´eciproque f⁻¹.

4. Calcul des fonctions r´eciproques.Montrer que la fonctionf : [0,+∞[→

[1,+∞[ d´efinie par

f(x) = 2 exp(2x)

1 + exp(x) = 2e^2x 1 +e^x est bijective. Calculer sa fonction r´eciproque f⁻¹.

5. Calcul des fonctions r´eciproques.Soitf, g:R→Rles deux fonctions d´efinies respectivement par

f(x) = [x] + (x−[x])² et g(x) = [x] +p x−[x]

Montrer queg=f⁻¹.

6. Propri´et´es g´en´erales des fonctions. Soit f : R → R une fonction bijective et impaire. Montrer que sa fonction r`eciproquef⁻¹:R→Rest aussi impaire.

39

7. Calcul des fonctions compos´ees.Pour les deux fonctionsf, g:R→R d´efinies respectivement par

f(x) =

(x+ 3 six≥0, x² six <0 et

g(x) =

(2x+ 1 six≥3, x six <3, calculerg◦f et f◦g.

8. Fonctions compos´ees.Soientf, g:R→Rdeux fonctions d´ecroissante.

Montrer que la fonction compos´eeg◦f :R→Rest croissante.

9. Fonctions sp´eciales.Montrer que pour toutx∈[−1,1] : arcsinx+ arccosx=π

2. 10. Fonctions sp´eciales.Montrer que pour toutx∈R:

cosh²x−sinh²x= 1,

11. Fonctions sp´eciales.Montrer que pour toutx, y∈R: sinh(x+y) = sinhxcoshy+ coshxsinhy

tanh(x+y) = tanhx+ tanhy 1 + tanhxtanhy 12. Fonctions sp´eciales.Montrer que pour toutx∈R:

arcsinhx= ln(x+p

x²+ 1).

13. Fonctions sp´eciales.Montrer que pour toutx∈]−1,1[ : arctanhx= 1

2ln1 +x 1−x.

14. Fonctions sp´eciales.Montrer que pour toutx∈Rles s´eries

∞

X

k=0

x^2k (2k)! et

∞

X

k=0

x^2k+1 (2k+ 1)!

sont absolument convergentes. De plus, montrer que coshx=

∞

X

k=0

x^2k

(2k)! et sinhx=

∞

X

k=0

x^2k+1 (2k+ 1)!. 15. Fonctions sp´eciales.Pourx∈Rcalculer

sinhx+isin(ix), coshx−cos(ix), sinh(x+iπ

2), cosh(x+iπ 2)

16. Fonctions sp´eciales.Soitz=x+iy etx, y∈R. Montrer que cosh(z) = coshxcosy+isinhxsiny

17. Fonctions des ensembles I.SoitA⊂Ret χ_Asa fonction d’indicatrice (voir cours). On noteA^c=R\Ale complementaire deA. V´erifier que

χ_Ac(x) = 1−χ_A(x).

SoientA, B⊂R. V´erifier que

χA(x)·χB(x) =χ_A∩B(x) et

χA(x) +χB(x) =χ_A∪B(x) +χ_A∩B(x).

Conclure que

1−χA(x)

1−χB(x)

= 1−χ_A∪B(x).

Interpreter cette identit´e.

18. Fonctions des ensembles II - principe d’exclusion-inclusion.Soient A1, . . . , An⊂R. Montrer par r´ecurrence que

1−χA₁∪...∪A_n(x) =

n

Y

k=1

1−χA_k(x)

19. Limite d’une fonction.Montrer `a l’aide de la d´efinition de la limite que

x→2lim 4x+ 5

= 13.

20. Limite d’une fonction.Montrer `a l’aide de la d´efinition de la limite que

x→−3lim |x| −x³

= 30.

21. Limite d’une fonction.Calculer

x→0lim

5x³+ 3x 6x

22. Limite d’une fonction.Soitn∈Z+. Calculer

x→1lim xⁿ−1

x−1 .

23. Limite d’une fonction.Soient α∈R\ {0} etn∈Z+. Calculer

x→0lim

(x+α)ⁿ−αⁿ

x .

24. Limite d’une fonction.Calculer

x→2+lim x−2

√x²−4.

25. Limite d’une fonction. Montrer que la fonction √

x est strictement croissante pour x ≥ 0. Ensuite montrer `a l’aide de la d´efinition de la limite `a droite que

x→0+lim

√x= 0.

26. Calcul des limites.Calculer (a)

x→0lim

√4 +x−2

x ,

(b)

x→−∞lim

√x²+ 2 2x+ 1 , (c)

x→+∞lim x p

x²+ 1−x ,

(d)

x→+∞lim

√2x+ 1−√ x+ 1

√x arctanx, (e)

x→1lim

√1 +x−√

√ 2x

1 + 2x−√ 3, (f)

x→2+lim

√x−√ 2 +√

x+ 2

√

x²−4 , (g)

x→+∞lim x r

1 + 2 x

1 + 3 x

−1

,

(h)

x→+∞lim q

x+p x+√

√ x

x+ 1 , (i)

x→1lim

x³−x²−x+ 1 x³−3x+ 2 , (j)

x→1lim

x⁴−x³+x²−x x²−1 , (k)

x→+∞lim

2x³+x²+ 1 x³+x , (l)

x→1lim 1

1−x− 3 1−x³

,

(m)

x→0lim[x], (n)

x→+∞lim x 1 + [x], (o)

x→0limx 1 [x], (p)

x→πlim sinx x−π, (q)

x→0lim tanx

x , (r)

x→+∞lim sinx

x , (s)

x→+∞lim xsin1 x, (t)

x→0limcos1 x, (u)

x→0+lim sinx

√x,

(v)

x→+∞lim x⁵e^−x2, (w)

x→+∞lim x²5^−x. 27. Limites des fonctions.

(a) Soit (xn)_n∈N la suite donne´e par xn = √

n+ 1−√

n. Soit f(x) = e^x(x+ cosx). Donner

n→+∞lim f(xn).

(b) Soit (xn)_n∈N la suite donne´e par xn = (1 +_n²)ⁿ. Soit f(x) = lnx).

Donner

n→+∞lim f(xn).

(c) Soient (ak)_k∈N la suite donne´e parak =e^−k et Sn=Pn

k=0ak. Pour f(x) = lnx²−ln(x−1)² donner

n→+∞lim f(S_n).

28. Prolongement par continuit´e.

(a) Existe-t-il une prolongement par continuit´e de la fonctionf(x) d´efinie par

f(x) =

(x² six >1 2x−1 six <1?

(b) Existe-t-il une prolongement par continuit´e de la fonctiongR\ {0} → Rd´efinie par

g(x) =x²+|x|

x ?

29. Fonctions continues.

(a) Soit f :]0,∞[→]0,∞[ d´efinie par f(x) =x^x. Montrer que f est une fonction continue et calculer

x→0lim+

f(x).

(b) Montrer que la fonctiong:]0,∞[→]0,∞[ d´efinie par g(x) = (x−[x])([x] + 1−x)

x est continue et calculer

x→0lim+

g(x).

(c) Soitf :]0,∞[→]0,∞[ d´efinie par

f(x) =e^−x12. Calculer

x→0lim+

f(x).

(Id´ee : Montrer d’abord quee^a≥1 +apour touta≥0 et en d´eduire une borne poure^−a pour a≥0). En d´eduire que la fonction

h(x) =

(e^−x12 six >0 0 six≤0. est une fonction continue.

30. Prolongements, asymptotes.

(a) SoitfR\ {1,3} →Rd´efinie par

f(x) = x³−x² x²−4x+ 3.

Etudier la fonction chez´ x= 1 etx= 3 et donner le prolongement par continuit´e (s’il existe). Donner les asymptotes def lorsquex→ −∞

et x→+∞.

(b) Donner les asymptotes obliques de f(x) =√

2x²+ 1−xen −∞et +∞.

(c) Donner les asymptotes obliques def(x) = _x2^x+1² +|x|en−∞et +∞.

(d) Donner les asymptotes def(x) =_x2^x+1³ +|x|en−∞et +∞.

(e) Donner les asymptotes def(x) =xtanhx+xen−∞et +∞.

31. Comportement asymptotique.Trouverh(x) =ax²+bx+c tel que

x→+∞lim (p

x⁴+x²+ 1−h(x)) = 0.

32. Propri´et´es des fonctions continues.*Soitc < a < b < detf : [a, b]→ [c, d] une fonction surjective et continue. Montrer quef poss`ede au moins un point fixe.

4.2 Corrig´ es

1. Propri´et´es g´en´erales des fonctions. Pour trouver l’image def il faut r´esoudre l’´equationy=f(x) enxpoury donn´e,i.e.

yx²−2x+ 25y= 0.

Si y = 0, alors x= 0. Pour y 6= 0 la discriminante de cette ´equation de degr´e 2 est donn´ee par 1−25y². Donc elle admet deux solutions r´eelles si 1−25y²≥0. Par cons´equentf[R] = [−1/5,1/5] etf n’est pas injective.

2. Calcul des fonctions r´√ eciproques. Pour tout y ∈]0,1[ l’´equation y = 1−x² admet une unique solutionxdonn´ee par

x=−p

1−y², i.e. f⁻¹(y) =−p 1−y² 3. Calcul des fonctions r´eciproques.Noter que

f(x) =e^2x+ 2e^x= (e^x+ 1)²−1>0.

Pour touty >0 l’´equationy=f(x) admet une unique solutionxdonn´ee par

x= ln −1 +p 1 +y

, i.e. f⁻¹(y) = ln −1 +p 1 +y

.

4. Calcul des fonctions r´eciproques. En utilisant exp(x) ≥1 si x ≥0 Noter que

f(x) = 2(e^x)²

1 +e^x ≥ 2e^x

1 +e^x ≥ 1 +e^x 1 +e^x = 1.

Pour touty≥1 l’´equationy=f(x) admet une unique solutionxdonn´ee par

x= ln y+p y²+ 8y 4

, i.e. f⁻¹(y) = ln y+p y²+ 8y 4

.

5. Calcul des fonctions r´eciproques.Rappel : [x] d´enote la partie enti`ere dexet satisfait

[x]≤x <[x] + 1

ou 0≤x−[x]<1. Par cons´equent,

0≤(x−[x])²<1 et 0≤p

x−[x]<1

et donc [f(x)] = [g(x)] = [x]. Pour enfin montrer que g = f⁻¹ on doit montrer queg(f(x)) =f(g(x)) =x. On a

g(f(x)) = [f(x)] +p

f(x)−[f(x)]

= [x] +p

[x] + (x−[x])²−[x]

= [x] +x−[x] =x et

f(g(x)) = [g(x)] + (g(x)−[g(x)])²

= [x] + ([x] +p

x−[x]−[x])²

= [x] +x−[x] =x.

6. Propri´et´es g´en´erales des fonctions. Soit y ∈ R et x tel que x = f⁻¹(−y). Par cons´equent,

y=−f(x) =f(−x) oux=−f⁻¹(y),i.e.f⁻¹(−y) =−f⁻¹(y).

7. Calcul des fonctions compos´ees.

g◦f(x) =g(f(x)) =







2x+ 7 six≥0, x² si−√

3< x <0 2x²+ 1 six≤ −√

3

car si x ≥ 0, alors f(x) = x+ 3 ≥ 3 et g(f(x)) = 2f(x) + 1, et si x∈]−√

3,0[, alors 0< f(x)<3 et g(f(x)) =f(x), et six≤ −√ 3, alors f(x) =x²≥3 etg(f(x)) = 2f(x) + 1.

f◦g(x) =f(g(x)) =







2x+ 4 six≥3, x+ 3 si 0≤x <3 x² six <0

car six≥3, alorsg(x) = 2x+ 1≥0 etf(g(x)) =g(x) + 3, et si 0≤x <3, alorsg(x) =x≥0 etf(g(x)) =g(x) + 3, et si x <0, alorsg(x) =x <0 etf(g(x)) =g(x)².

8. Fonctions compos´ees. Soitx₁ ≤x₂, alors f(x₁)≤f(x₂) etg(f(x₁)≤ g(f(x₂)).

9. Fonctions sp´eciales. Noter d’abord que la fonction arcsin est stricte- ment croissante et arcsin−1 = ^−π₂ et arcsin 1 = ^π₂, donc Im(arcsin) = [^−π₂ ,^π₂. La fonction arccos est strictement d´ecroissante et arccos−1 =π et arccos 1 = 0, doncIm(arccos) = [0, π]. Par cons´equent,

−π

2 ≤arcsinx+ arccosx≤ 3π 2

et (noter aussi que sint=√

1−cos²tsit∈[0, π] et cost=p

1−sin²tsi t∈[^−π₂ ,^π₂])

sin(arcsinx+ arccosx) = sin(arcsinx) cos(arccosx) + sin(arccosx) cos(arcsinx)

=x²+p

1−cos²(arccosx) q

1−sin²(arcsinx)

=x²+ 1−x²= 1.

L’unique solution de sinz= 1 pourz∈[^−π₂ ,^3π₂] est z= ^π₂. Donc arcsinx+ arccosx=π

2. 10. Fonctions sp´eciales.

cosh²x−sinh²x=

e^x+e^−x 2

2

−

e^x−e^−x 2

2

= 1.

11. Fonctions sp´eciales.

sinhxcoshy+ coshxsinhy= e^x−e^−x 2

e^y+e^−y

2 +e^x+e^−x 2

e^y−e^−y 2

= e^x+y+e^x−y−e^y−x−e^−x−y 4

+e^x+y−e^x−y+e^y−x−e^−x−y 4

= 2e^x+y−2e^−x−y

4 = sinh(x+y).

Noter que

tanhx= e^2x−1 e^2x+ 1. Donc

tanhx+ tanhy 1 + tanhxtanhy

=(e^2x−1)(e^2y+ 1) + (e^2x+ 1)(e^2y−1) (e^2x+ 1)(e^2y+ 1) + (e^2x−1)(e^2y−1)

=2e^2x+2y−2 2e^2x+2y+ 2

= tanh(x+y)

12. Fonctions sp´eciales.On doit r´esoudre l’´equation y= sinhx=e^x−e^−x

2

pourx. On obient alors l’´eqaution de degr´e 2 ene^x suivante : e^x2

−2ye^x−1 = 0 dont la racine positive est

e^x=y+p y²+ 1.

13. Fonctions sp´eciales.On doit r´esoudre l’´equation y= tanhx= e^2x−1

e^2x+ 1 pourx. Par cons´equent,

e^2x= 1 +y 1−y d’o`u le resultat.

14. Fonctions sp´eciales.Les deux s´eries sont absolument convergentes par le crit`ere de d’Alembert et

∞

X

k=0

x^2k

(2k)! =exp(x) + exp(−x) 2

∞

X

k=0

x^2k+1

(2k+ 1)! =exp(x)−exp(−x) 2

15. Fonctions sp´eciales.Par d´efinition sinhx+isin(ix) = exp(x)−exp(−x)

2 +iexp(i·ix)−exp(−i·ix)

2i = 0,

coshx−cos(ix) =exp(x) + exp(−x)

2 −exp(i·ix) + exp(−i·ix)

2 = 0,

sinh(x+iπ

2) =exp(x+iπ/2)−exp(−x−iπ/2)

2 =icoshx

et

sinh(x+iπ

2) =exp(x+iπ/2) + exp(−x−iπ/2)

2 =isinhx

16. Fonctions sp´eciales.

coshxcosy+isinhxsiny

=exp(x) + exp(−x) 2

exp(iy) + exp(−iy)

2 +iexp(x)−exp(−x) 2

exp(iy)−exp(−iy) 2

=exp(x+iy) + exp(−x−iy)

2 = cosh(x+iy)

17. Fonctions des ensembles. Les v´erifications ´etaient pr´esent´e au cours.

Le principe d’inculsion-exclusion

χA(x) +χB(x) =χ_A∪B(x) +χ_A∩B(x).

s-´ecrit on utilisant χA(x)·χB(x) =χ_A∩B(x) comme suit : χA(x) +χB(x) =χA∪B(x) +χA(x)·χB(x).

ou

1−χ_A(x)

1−χ_B(x)

= 1−χ_A∪B(x).

C’est la loi de de Morgan :

A^c∩B^c= A∪Bc

.

18. Fonctions des ensembles II - principe d’exclusion-inclusion.L’iden- tit´e est vraie pour n= 1 (evident) etn= 2 (par l’exercice precedent). La conclusion ”n→n+ 1” : en utilisantl’identit´e pourn= 2 on a

1−χ_{A1∪...∪An∪An+1}(x) = 1−χ_{A1∪...∪An}

1−χ_An+1(x)

=

n

Y

k=1

1−χ_Ak(x)

1−χ_An+1(x)

=

n+1

Y

k=1

1−χA_k(x) .

19. Limite d’une fonction.Soit >0. On doit trouverδ >0 tel que

|(4x+ 5)−13|= 4|x−2|<

si|x−2|< δ. Un bon choix est alors δ=/4.

20. Limite d’une fonction.Soit >0. On doit trouverδ >0 tel que |x| −x³−30

<

si|x+ 3|< δ. Noter que |x| −x³−30

=

|x| −3−(x³+ 27)

≤

|x| −3 +

x³+ 27)

par l’in´egalit´e triangulaire

=

|x| −3

+|x+ 3||x²−3x+ 9|

≤ |x+ 3|(1 +|x²−3x+ 9|) par l’in´egalit´e triangulaire

=|x+ 3|(1 +|(x+ 3)²−9x|)

≤ |x+ 3|(1 + (x+ 3)²+ 9|x|) par l’in´egalit´e triangulaire Siδ <1 alors

|x| −x³−30

≤ |x+ 3|(1 + (x+ 3)²+ 9|x|)≤38|x+ 3|

Si, de plusδ < /38, alors

|x| −x³−30 <

On choisit doncδ= min{1, /38}.

21. Limite d’une fonction.

x→0lim

5x³+ 3x 6x = lim

x→0

5x²+ 3

6 = 1

2 22. Limite d’une fonction.Soitn∈Z⁺. Alors

x→1lim xⁿ−1

x−1 = lim

x→1 n−1

X

k=0

x^k =n.

23. Limite d’une fonction.Soient α∈R\ {0}. Alors

x→0lim

(x+α)ⁿ−αⁿ

x =αⁿ⁻¹lim

x→0

(^x_α+ 1)ⁿ−1

x α

=αⁿ⁻¹lim

y→0

(y+ 1)ⁿ−1 y

=αⁿ⁻¹lim

z→1

zⁿ−1

z−1 =nαⁿ⁻¹ 24. Limite d’une fonction.

x→2+lim x−2

√x²−4 = lim

x→2+

√x−2

√x+ 2 = 0.

25. Limite d’une fonction.Pour toutx, y >0 :

√x−√

y= x−y

√x+√ y

et par cons´equent, √

x est strictement croissante. Pour tout > 0 on choisitδ=². Alors 0< x < ²implique par la monotonie de la fonction

√xque 0<√

x < . Donc

x→0+lim

√x= 0.

26. Calcul des limites.

(a)

x→0lim

√4 +x−2

x = lim

x→0

√ 1

4 +x+ 2 = 1 4 (b)

x→−∞lim

√ x²+ 2 2x+ 1 =−1

2 (c)

x→+∞lim x p

x²+ 1−x

= lim

x→+∞

x x²+ 1−x²

√x²+ 1 +x = 1 2 (d)

x→+∞lim

√2x+ 1−√ x+ 1

√x arctanx= π(√ 2−1)

2 (e)

x→1lim

√1 +x−√

√ 2x

1 + 2x−√ 3 =−

√ 6 4 (f)

x→2+lim

√x−√ 2 +√

x+ 2

√

x²−4 = +∞

(g)

x→+∞lim x r

1 + 2 x

1 + 3 x

−1

=5 2

(h)

x→+∞lim q

x+p x+√

x

√x+ 1 = 1

x→1lim

x³−x²−x+ 1 x³−3x+ 2 = lim

x→1

(x−1)²(x+ 1) (x−1)²(x+ 2) = lim

x→1

x+ 1 x+ 2 = 2

3. (i)

x→1lim

x⁴−x³+x²−x x²−1 = lim

x→1

x³+x x+ 1 = 1 (j)

x→+∞lim

2x³+x²+ 1 x³+x = 2 (k)

x→1lim 1

1−x− 3 1−x³

= lim

x→1

−x−2

x²+x+ 1 =−1 (l)

x→0lim[x]

n’existe pas car [x] = 0 six >0 et [x] =−1 six <0.

(m)

x→+∞lim x 1 + [x] = 1 (n)

x→0limx 1 [x]

n’existe pas.

(o)

x→πlim sinx x−π = lim

x→π

−sin(x−π) x−π = lim

h→0

−sinh h =−1 (p)

x→0lim tanx

x = lim

x→0

sinx xcosx= 1 (q)

x→+∞lim sinx

x = 0 (r)

x→+∞lim xsin1 x lim

h→0+

sinh h = 1 (s)

x→0limcos1 x n’existe pas (voir notes de cours).

(t)

x→0+lim sinx

√x = 0

(u)

x→+∞lim x⁵e^−x2 = 0 (v)

x→+∞lim x²5^−x= 0 27. Limites des fonctions.

(a) Noter quexn=^√_n+1+^{1 √}_n. Donc lim

n→+∞xn= 0. En utilisant la conti- nuit´e def(x) =e^x(x+ cosx) on trouve

n→+∞lim f(xn) =f( lim

n→+∞xn) =f(0) = 1.

(b) Par l’exercice 1 q) du ch. 2 la suite (xn)_n∈N converge vers e². En utilisant la continuit´e def(x) = lnx) pourx >0 nous obtenons

n→+∞lim f(xn) =f( lim

n→+∞xn) =f(e²) = 2.

(c) La suite des sommes partiellesSn=Pn

k=0ak converge vers _e−1^e . Par la continuit´e def(x) = lnx²−ln(x−1)²sur ]0,1[ :

n→+∞lim f(S_n) = 2.

28. Prolongement par continuit´e.

(a) Noter que

x→1lim−

f(x) = lim

x→1−

2x−1 = 1.

x→1lim+

f(x) = lim

x→1+

x²= 1.

On obtient le prolongement par continuit´e ˜f en posantf(1) = 1 ou f˜(x) =

(x² six >1 2x−1 six≤1? (b) Il n’y a pas de prolongement par continuit´e car

x→0lim−

g(x) = lim

x→0−

x²−x x =−1.

x→0lim+

g(x) = lim

x→0+

x²+x x = 1.

29. Fonctions continues.

(a) Noter que f(x) = x^x = e^xlnx est une composition des fonctions continues et donc continue. Ensuite en posant y=_x¹ nous avons

x→0lim+

f(x) = lim

y→+∞

1 y^1y

= 1 en appliquant l’exemple 6 du ch. 4.5.

(b) Montrer que la fonctiong:]0,∞[→]0,∞[ d´efinie par g(x) = (x−[x])([x] + 1−x)

x

est continue : pour toutn∈Net x∈]n, n+ 1[ nous avons g(x) = (x−n)(n+ 1−x)

x .

Par cons´equent, g(x) est continue sur tout intervalle x∈]n, n+ 1[.

Pour toutnentier positifg(n) = 0 et

x→nlim₊g(x) = 0, lim

x→n−

g(x) = 0,

d’o`u la continuit´e deg. Pourx∈]0,1[ nous avons g(x) = x(1−x)

x = 1−x, donc

x→0lim+

g(x) = 1.

(c) L’in´egalit´ee^a≥1+apour touta≥0 est une cons´equence imm´ediate de la s´erie exponentielle (voir ch. 3.6). Par cons´equent,

e^−a≤ 1 1 +a pour touta≥0. Posonsa= _x¹₂. Alors

0≤e^−x12 ≤ 1

1 +_x¹₂ = x² x²+ 1 et par cons´equent

x→0lim+

f(x) = 0.

Il s’en suit que

h(x) =

(e^−x12 six >0 0 six≤0.

est une fonction continue care^−x12 est une composition des fonctions continues six >0.

30. Prolongements, asymptotes.

(a) La fonctionfR\ {1,3} →Rest donn´ee par f(x) = x³−x²

x²−4x+ 3 = x²(x−1)

(x−1)(x−3) = x² x−3. Donc

x→1limf(x) = lim

x→1

x²

x−3 =−1 2.

En posant f(1) =−¹₂ on obtient le prolongement par continuit´e en ce point. Chezx= 3 on trouve

x→3lim−

f(x) =−∞, lim

x→3+

f(x) = +∞.

Les asymptotes sont des droites d’´equation h(x) =ax+b avec des coefficientsa, b`a d´eterminer. Pour calculer l’asymptote en−∞noter d’abord que

x→−∞lim f(x)

x = lim

x→−∞

x

x−3 = 1(=a).

Ensuite on calcul

x→−∞lim f(x)−ax= lim

x→−∞

x²−x(x−3)

x−3 = lim

x→−∞

3x

x−3 = 3(=b).

L’asymptote en −∞ est la droite d’´equation h(x) = x+ 3. Les li- mites en +∞sont les mˆemes et par cons´equent,h(x) =x+ 3 donne

´egalement l’asymptote en +∞.

(b) Les asymptotes sont des droites d’´equation h(x) =ax+b avec des coefficients a, b `a d´eterminer. Comme dans l’exercice pr´ec´edent on calcul

x→−∞lim f(x)

x = lim

x→−∞

√2x²+ 1−x

x =−√

2−1(=a).

x→−∞lim f(x)−ax= lim

x→−∞

p2x²+ 1+√

2·x= lim

x→−∞

2x²+ 1−2x²

√2x²+ 1−√

2·x= 0(=b).

L’asymptote en−∞est la droite d’´equationh_−∞(x) =−(√

2 + 1)x.

En +∞on trouve

x→+∞lim f(x)

x = lim

x→+∞

√2x²+ 1−x

x =√

2−1(=a).

et

x→−∞lim f(x)−ax= lim

x→+∞

p2x²+ 1−√

2·x= lim

x→+∞

2x²+ 1−2x²

√2x²+ 1 +√

2·x = 0(=b).

L’asymptote en +∞est la droite d’´equationh_+∞(x) = (√

2−1)x.

(c) Donner les asymptotes obliques def(x) =_x2^x+1² +|x|en−∞et +∞: h_−∞(x) =−x+ 1 eth_+∞(x) =x+ 1.

(d) Donner les asymptotes def(x) = _x^x2+1³ +|x|en−∞et +∞:h−∞(x) = 0 eth+∞(x) = 2x.

(e) Donner les asymptotes def(x) =xtanhx+xen−∞et +∞: Noter d’abord que

x→±∞lim tanhx=±1.

Par cons´equent,

x→−∞lim f(x)

x = 0, lim

x→∞

f(x) x = 2.

En−∞nous avons en utilisant lim

x→±∞

x

cosh²x= 0 (car 2 coshx≥e^|x|) que

x→−∞lim f(x)−0·x= lim

x→−∞

x(tanh²x−1)

tanhx−1 = lim

x→−∞

−x

cosh²x(tanhx−1) = 0.

Donch_−∞(x) = 0. En +∞noter que f(x)−2x=x(tanhx−1) = x(tanh²x−1)

tanhx+ 1 = −x

cosh²x(tanhx+ 1) et comme avant

x→+∞lim f(x)−2·x= 0, , d’o`u h_+∞(x) = 2x.

31. Comportement asymptotique. On calcul les coefficients de mani`ere r´ecurrente :

x→+∞lim

√x⁴+x²+ 1

x² = 1(=a).

Ensuite,

x→+∞lim

√

x⁴+x²+ 1−ax²

x = lim

x→+∞

x⁴+x²+ 1−x⁴ x(√

x⁴+x²+ 1 +x²) = 0(=b) et

x→+∞lim (p

x⁴+x²+ 1−ax²−bx) = lim

x→+∞

x⁴+x²+ 1−x⁴

√x⁴+x²+ 1 +x² = 1 2(=c) On obtienth(x) =x²+¹₂.

32. Propri´et´es des fonctions continues. Il suffit de montrer que g(x) :=

f(x)−xadmet au moins un z´ero. Puisque la fonctionf est surjective, il existes, t∈[a, b] tels quef(s) =cet f(t) =d. Alors,

g(s) =c−s≤c−a <0 et g(t) =d−t≥d−b >0.

Puisque la fonctiong est continue, il existe (par le th´eor`eme de la valeur interm´ediare) au moins un z´ero deg.