Fonctions r´eelles

Fonctions r´ eelles

4.1 Exercices

1. Propri´et´es g´en´erales des fonctions.Soitf :R→Rla fonction d´efinie par

f(x) = 2x x²+ 25

Trouver l’imagef[R] (Im(f)). La fonctionf est-elle injective ?

2. Calcul des fonctions r´eciproques. Montrer que la fonction f :]− 1,0[→]0,1[ d´efinie parf(x) = √

1−x² est bijective. Calculer sa fonction r`eciproque f⁻¹.

3. Calcul des fonctions r´eciproques. Montrer que la fonctionf : R → ]0,∞[ d´efinie par

f(x) = exp(x) + 2

exp(−x) =e^x+ 2 e^−x

est bijective. Calculer sa fonction r´eciproque f⁻¹.

4. Calcul des fonctions r´eciproques.Montrer que la fonctionf : [0,+∞[→

[1,+∞[ d´efinie par

f(x) = 2 exp(2x)

1 + exp(x) = 2e^2x 1 +e^x est bijective. Calculer sa fonction r´eciproque f⁻¹.

5. Calcul des fonctions r´eciproques.Soitf, g:R→Rles deux fonctions d´efinies respectivement par

f(x) = [x] + (x−[x])² et g(x) = [x] +p x−[x]

Montrer queg=f⁻¹.

6. Propri´et´es g´en´erales des fonctions. Soit f : R → R une fonction bijective et impaire. Montrer que sa fonction r`eciproquef⁻¹:R→Rest aussi impaire.

39

7. Calcul des fonctions compos´ees.Pour les deux fonctionsf, g:R→R d´efinies respectivement par

f(x) =

(x+ 3 six≥0, x² six <0 et

g(x) =

(2x+ 1 six≥3, x six <3, calculerg◦f et f◦g.

8. Fonctions compos´ees.Soientf, g:R→Rdeux fonctions d´ecroissante.

Montrer que la fonction compos´eeg◦f :R→Rest croissante.

9. Fonctions sp´eciales.Montrer que pour toutx∈[−1,1] : arcsinx+ arccosx=π

2. 10. Fonctions sp´eciales.Montrer que pour toutx∈R:

cosh²x−sinh²x= 1,

11. Fonctions sp´eciales.Montrer que pour toutx, y∈R: sinh(x+y) = sinhxcoshy+ coshxsinhy

tanh(x+y) = tanhx+ tanhy 1 + tanhxtanhy 12. Fonctions sp´eciales.Montrer que pour toutx∈R:

arcsinhx= ln(x+p

x²+ 1).

13. Fonctions sp´eciales.Montrer que pour toutx∈]−1,1[ : arctanhx= 1

2ln1 +x 1−x.

14. Fonctions sp´eciales.Montrer que pour toutx∈Rles s´eries

∞

X

k=0

x^2k (2k)! et

∞

X

k=0

x^2k+1 (2k+ 1)!

sont absolument convergentes. De plus, montrer que coshx=

∞

X

k=0

x^2k

(2k)! et sinhx=

∞

X

k=0

x^2k+1 (2k+ 1)!. 15. Fonctions sp´eciales.Pourx∈Rcalculer

sinhx+isin(ix), coshx−cos(ix), sinh(x+iπ

2), cosh(x+iπ 2)

16. Fonctions sp´eciales.Soitz=x+iy etx, y∈R. Montrer que cosh(z) = coshxcosy+isinhxsiny

17. Fonctions des ensembles I.SoitA⊂Ret χ_Asa fonction d’indicatrice (voir cours). On noteA^c=R\Ale complementaire deA. V´erifier que

χ_Ac(x) = 1−χ_A(x).

SoientA, B⊂R. V´erifier que

χA(x)·χB(x) =χ_A∩B(x) et

χA(x) +χB(x) =χ_A∪B(x) +χ_A∩B(x).

Conclure que

1−χA(x)

1−χB(x)

= 1−χ_A∪B(x).

Interpreter cette identit´e.

18. Fonctions des ensembles II - principe d’exclusion-inclusion.Soient A1, . . . , An⊂R. Montrer par r´ecurrence que

1−χA₁∪...∪A_n(x) =

n

Y

k=1

1−χA_k(x)

19. Limite d’une fonction.Montrer `a l’aide de la d´efinition de la limite que

x→2lim 4x+ 5

= 13.

20. Limite d’une fonction.Montrer `a l’aide de la d´efinition de la limite que

x→−3lim |x| −x³

= 30.

21. Limite d’une fonction.Calculer

x→0lim

5x³+ 3x 6x

22. Limite d’une fonction.Soitn∈Z+. Calculer

x→1lim xⁿ−1

x−1 .

23. Limite d’une fonction.Soient α∈R\ {0} etn∈Z+. Calculer

x→0lim

(x+α)ⁿ−αⁿ

x .

24. Limite d’une fonction.Calculer

x→2+lim x−2

√x²−4.

25. Limite d’une fonction. Montrer que la fonction √

x est strictement croissante pour x ≥ 0. Ensuite montrer `a l’aide de la d´efinition de la limite `a droite que

x→0+lim

√x= 0.

26. Calcul des limites.Calculer (a)

x→0lim

√4 +x−2

x ,

(b)

x→−∞lim

√x²+ 2 2x+ 1 , (c)

x→+∞lim x p

x²+ 1−x ,

(d)

x→+∞lim

√2x+ 1−√ x+ 1

√x arctanx, (e)

x→1lim

√1 +x−√

√ 2x

1 + 2x−√ 3, (f)

x→2+lim

√x−√ 2 +√

x+ 2

√

x²−4 , (g)

x→+∞lim x r

1 + 2 x

1 + 3 x

−1

,

(h)

x→+∞lim q

x+p x+√

√ x

x+ 1 , (i)

x→1lim

x³−x²−x+ 1 x³−3x+ 2 , (j)

x→1lim

x⁴−x³+x²−x x²−1 , (k)

x→+∞lim

2x³+x²+ 1 x³+x , (l)

x→1lim 1

1−x− 3 1−x³

,

(m)

x→0lim[x], (n)

x→+∞lim x 1 + [x], (o)

x→0limx 1 [x], (p)

x→πlim sinx x−π, (q)

x→0lim tanx

x , (r)

x→+∞lim sinx

x , (s)

x→+∞lim xsin1 x, (t)

x→0limcos1 x, (u)

x→0+lim sinx

√x, (v)

x→+∞lim x⁵e^−x2, (w)

x→+∞lim x²5^−x. 27. Limites des fonctions.

(a) Soit (xn)_n∈N la suite donne´e par xn = √

n+ 1−√

n. Soit f(x) = e^x(x+ cosx). Donner

n→+∞lim f(xn).

(b) Soit (xn)_n∈N la suite donne´e par xn = (1 +_n²)ⁿ. Soit f(x) = lnx).

Donner

n→+∞lim f(xn).

(c) Soient (ak)_k∈N la suite donne´e parak =e^−k et Sn=Pn

k=0ak. Pour f(x) = lnx²−ln(x−1)² donner

n→+∞lim f(S_n).

28. Prolongement par continuit´e.

(a) Existe-t-il une prolongement par continuit´e de la fonctionf(x) d´efinie par

f(x) =

(x² six >1 2x−1 six <1?

(b) Existe-t-il une prolongement par continuit´e de la fonctiongR\ {0} → Rd´efinie par

g(x) =x²+|x|

x ?

29. Fonctions continues.

(a) Soit f :]0,∞[→]0,∞[ d´efinie par f(x) =x^x. Montrer que f est une fonction continue et calculer

x→0lim+

f(x).

(b) Montrer que la fonctiong:]0,∞[→]0,∞[ d´efinie par g(x) = (x−[x])([x] + 1−x)

x est continue et calculer

x→0lim+

g(x).

(c) Soitf :]0,∞[→]0,∞[ d´efinie par

f(x) =e^−x12. Calculer

x→0lim+

f(x).

(Id´ee : Montrer d’abord quee^a≥1 +apour touta≥0 et en d´eduire une borne poure^−a pour a≥0). En d´eduire que la fonction

h(x) =

(e^−x12 six >0 0 six≤0. est une fonction continue.

30. Prolongements, asymptotes.

(a) SoitfR\ {1,3} →Rd´efinie par

f(x) = x³−x² x²−4x+ 3.

Etudier la fonction chez´ x= 1 etx= 3 et donner le prolongement par continuit´e (s’il existe). Donner les asymptotes def lorsquex→ −∞

et x→+∞.

(b) Donner les asymptotes obliques de f(x) =√

2x²+ 1−xen −∞et +∞.

(c) Donner les asymptotes obliques def(x) = _x2^x+1² +|x|en−∞et +∞.

(d) Donner les asymptotes def(x) =_x2^x+1³ +|x|en−∞et +∞.

(e) Donner les asymptotes def(x) =xtanhx+xen−∞et +∞.

31. Comportement asymptotique.Trouverh(x) =ax²+bx+c tel que

x→+∞lim (p

x⁴+x²+ 1−h(x)) = 0.

32. Propri´et´es des fonctions continues.*Soitc < a < b < detf : [a, b]→ [c, d] une fonction surjective et continue. Montrer quef poss`ede au moins un point fixe.

4.2 Corrig´ es

1. Propri´et´es g´en´erales des fonctions. Pour trouver l’image def il faut r´esoudre l’´equationy=f(x) enxpoury donn´e,i.e.

yx²−2x+ 25y= 0.

Si y = 0, alors x= 0. Pour y 6= 0 la discriminante de cette ´equation de degr´e 2 est donn´ee par 1−25y². Donc elle admet deux solutions r´eelles si 1−25y²≥0. Par cons´equentf[R] = [−1/5,1/5] etf n’est pas injective.

2. Calcul des fonctions r´√ eciproques. Pour tout y ∈]0,1[ l’´equation y = 1−x² admet une unique solutionxdonn´ee par

x=−p

1−y², i.e. f⁻¹(y) =−p 1−y² 3. Calcul des fonctions r´eciproques.Noter que

f(x) =e^2x+ 2e^x= (e^x+ 1)²−1>0.

Pour touty >0 l’´equationy=f(x) admet une unique solutionxdonn´ee par

x= ln −1 +p 1 +y

, i.e. f⁻¹(y) = ln −1 +p 1 +y

.

4. Calcul des fonctions r´eciproques. En utilisant exp(x) ≥1 si x ≥0 Noter que

f(x) = 2(e^x)²

1 +e^x ≥ 2e^x

1 +e^x ≥ 1 +e^x 1 +e^x = 1.

Pour touty≥1 l’´equationy=f(x) admet une unique solutionxdonn´ee par

x= ln y+p y²+ 8y 4

, i.e. f⁻¹(y) = ln y+p y²+ 8y 4

.

5. Calcul des fonctions r´eciproques.Rappel : [x] d´enote la partie enti`ere dexet satisfait

[x]≤x <[x] + 1