Feuille d’exercices 3-Variables continues 1 Variables r´eelles

Magist`ere Probabilit´es 2008-2009

Feuille d’exercices 3-Variables continues

1 Variables r´ eelles

1) SoitX une variable al´eatoire de loi uniforme sur [0,1]. D´eterminer la loi deX² par sa fonction de r´epartition. Calculer la densit´e de cette loi.

2) Des r´esistances sont fabriqu´ees en s´erie. La r´esistance d’un ´el´ement choisi au hasard dans la fabrication est une variable al´eatoire R de distribution uniforme entre 9 et 11 ohms. D´eterminer la densit´e de probabilit´e de la conductance C = 1/R.

3) SoitXune variable al´eatoire de loi uniforme sur [−^π₂,^π₂]. Quelle est la loi de tanX? 4) Soit X une v.a. r´eelle ´equir´epartie sur [0,1]. Elle d´etermine deux intervalles [0, X]

et [X,1].

i) Quelle est la probabilit´e pour que le plus grand ait une longueur sup´erieur `a ³₄? ii) D´eterminer les lois de Y = max{X,1−X} et de Z = min{X,1−X}. Montrer

qu’elles admettent des densit´es et calculer ces densit´es.

5) Soient X une variable al´eatoire r´eelle etF sa fonction de r´epartition.

i) Exprimer en fonction de F les fonctions de r´epartition de – aX+b (o`ua et b d´esignent des constantes r´eelles), – Xⁿ,

– [X] (partie enti`ere de X), – X−[X],

– exp(X).

ii) On suppose que X admet une densit´ef. D´eterminer lesquelles des v.a. ci-dessus admettent une densit´e et exprimer ces densit´es en fonction de f etF.

6) Soit X une variable al´eatoire r´eelle suivant la loi de Cauchy, de densit´e ¹_{π 1+x}¹2. D´eterminer la loi de la v.a. Y = 1/X (calculer sa densit´e si elle en admet une).

7) Soit X une variable de loi normale centr´ee r´eduite, c’est-`a-dire de densit´e

f(x) = 1

√2π e^−x2/2 (x∈R).

Calculer les densit´e de probabilit´e des variables Y =aX+b et Z = exp(X).

8) La loi exponentielle E(λ) de param`etre λ > 0 est la loi de probabilit´e sur R de densit´e

f(x) = λe^−λx1{x>0}

i) Calculer la fonction de r´epartition de la loi E(λ).

ii) X une variable al´eatoire de loi exponentielle E(λ), d´eterminer les fonctions de r´epartition et les densit´es des v.a. X², exp(X), exp(−X) et 1/X.

iii) Soit T une variable al´eatoire positive telle que P[T > t]>0 pour tout t≥0 et P[T > s+t |T > t] =P[T > s] pour touss, t ≥0.

Interpr´eter cette propri´et´e et montrer queT suit une loi exponentielle.

9) SoientX une variable al´eatoire ´equir´epartie sur ]0,1[ et f une fonction r´eelle conti- nue et strictement croissante sur cet intervalle.

i) D´eterminer la fonction de r´epartition de la variable al´eatoireY =f(X) (on notera a etb les limites, ´eventuellement infinies, de f en 0 et en 1).

ii) Comment choisir la fonctionf pour queY =f(X) soit une variable al´eatoire de loi exponentielle E(1).

10) Soit X une variable al´eatoire r´eelle de fonction de r´epartition F continue. Quelle est la loi de la variable al´eatoireY =F(X) ?

11) Soit X une v.a. r´eelle. Montrer qu’il existe un nombre m (appel´e une m´ediane de X) tel que :

P[X < m]≤ 1

2 ≤P[X ≤m].

Quand ce nombre est-il unique ?

12) Soit X etY deux variables al´eatoires ind´ependantes uniform´ement distribu´ees sur [0,1].

i) Calculer la probabilit´e de l’´ev´enement [Y ≤X²].

ii) D´eterminer la loi de la variable al´eatoire Z =X−Y.

2 Changements de variable

a) Soit X une v.a. uniforme sur ]− ^π₂,^π₂[. Quelle est la loi de tanX? b) SoitX une v.a. de densit´ef(x) = 1_[0,1](x)

log 2(1 +x) montrer que 1 X −

1

X

a mˆeme loi que X.