Universit´e Joseph Fourier
MAT233 Fonction de plusieurs variables 2013-2014
Feuille d’exercices 4
Exercice 1 SoitAune matrice de tailled×dqui est sym´etrique. Montrer queAest d´efinie positive (resp. n´egative) si et seulement si toutes les valeurs propres deAsont strictement positives (resp. n´egative).
Exercice 2 Soit A =
a b
b c
une matrice sym´etrique. Montrer que A est d´efinie positive (resp. n´egative) si et seulement si a+c >0 (resp.a+c <0) etac−b2<0.
Exercice 3 Soientf et gdeux fonctions continues sur Rd. 1) Montrer que|f|est une fonction continue.
2) Montrer que max(f, g) est une fonction continue.
Exercice 4 Soitf :R2→Rla fonction d´efinie commef(x, y) =|x+y|.
1) Montrer que la fonctionf est continue.
2) D´eterminer l’ensembleU ⊂R2 des points o`uf est diff´erentiable.
3) Pour chaque pointP ∈U, d´eterminerDf(P).
Exercice 5 On consid`ere la fonctionf :R2→Rd´efinie comme
f(x, y) = 2(y−x2)2−1
7x7−y2.
1) Montrer que la fonction f est diff´erentiable sur R2. D´eterminer sa matrice jaco- bienne.
2) Montrer que la fonctionf est de classeC2surR2. D´eterminer sa matrice hessienne.
3) Montrer que (−2,8) est un minimum local de la fonctionf.
4) Montrer que (0,0) est un point critique de la fonctionf. Cependant il n’est ni un minimum local ni un maximum local de la fonctionf.
5) Montrer que, pour tout nombre r´eelk6= 0, la restriction de la fonctionf `a la droite y=kxposs`ede (0,0) comme un minimum local.
Exercice 6 On consid`ere la fonction f(x, y) = sin(x) sin(y) sin(x+y) d´efinie sur le domaine
D={(x, y)∈R2|x>0, y>0, x+y6π}
1) Montrer queD est un ferm´e deR2. D´eterminer son int´erieur D◦.
2) Montrer que la fonctionf est diff´erentiable surD◦et d´eterminer sa diff´erentielle en chaque point deD◦.
3) D´eterminer supf(D) et inff(D). Justifier votre r´eponse.
