PROBLÈME : RÉSULTANT DE DEUX POLYNÔMES
I. Définition et propriétés
1. Étude de la bijectivité deu
a. Soit(A, B)dansE. deg(P) =pet deg(A)≤q−1donc deg(P A)≤p+q−1.
De même, deg(QB)≤p+q−1donc par somme, deg(P A+QB)≤p+q−1.
La fonctionuest effectivement une application deE dansF.
b. Soit(A, B),(C, D)deux éléments deE etλ, µdeux nombres complexes. Alors, vu queC[X]est une algèbre,
u λ(A, B) +µ(C, D)
= u (λA+µC, λB+µD)
= P(λA+µC) +Q(λB+µD)
= λ(P A+QB) +µ(P C+QD)
= λu(A, B) +µu(C, D) donc u∈ L(E, F).
c. Si uest bijective, le polynôme constant égal à 1 possède un antécédent pourui.e.il existe(A, B)∈ E⊂C[X]×C[X] tel que1 =P A+QB.
D’après le théorème de Bézout, on en déduit que P et Qsont premiers entre eux.
d. SupposonsP et Qpremiers entre eux et soit(A, B)appartenant à Keru. AlorsAP =−BQdoncP divise BQet comme P et Qsont premiers entre eux, P divise B d’après le théorème de Gauss ; or degB ≤ p−1 < degP donc nécessairement B = 0. De même,Q divise A et degA <degQ donc A= 0. Le noyau deuest donc réduit au vecteur nul deE, et comme dimE=p+q=dimF, on en déduit que l’application linéaire uest bijective.
2. Soient(λ0, . . . , λq−1, µ0, . . . , µp−1)complexes tels queP
i,jλi(Xi,0) +µj(0, Xj) = (0,0). Alors en parti- culier,P
i,jλiXi= 0 etP
i,jµjXj = 0. Donc∀(i, j), λi=µj= 0.
La famille est donc libre dansE.
Elle est de cardinalp+qqui est la dimension deE. Donc c’est aussi une base deE. 3. C’est du cours.
4. a. Notons M la matrice de upar rapport aux basesB et B0 et montrons queM =MP,Q (définie par l’énoncé). Remarquons que ces deux matrices sont carrées d’ordrep+q.
b. Soit j ∈ [[1, q]], alors u(Xj−1,0) = Xj−1P =
p
P
k=0
akXj−1+k : donc la colonne numéro j de M est
t(0,· · ·,0, a0, a1,· · ·, ap,0,· · · ,0) (colonne commençant par j −1 zéros et se terminant par q−j zéros) qui est également la colonne numéroj deMP,Q.
De même, si j ∈[[1, p]], alors u(0, Xj−1) =Xj−1Q =
q
P
k=0
bkXj−1+k : donc la colonne numéroj+q deM estt(0,· · ·,0, b0, b1,· · · , bq,0,· · · ,0) (colonne commençant parj−1 zéros et se terminant par p−j zéros) qui est également la colonne numéroj+q deMP,Q.
c. D’après a), Res(P, Q) =detMP,Q =detu, donc Res(P, Q)6= 0si et seulement si uest bijective ce qui, d’après 1. équivaut au fait queP etQsoient premiers entre eux.
d. Si P et Qne sont pas premiers entre eux, il existe un polynômeD non constant qui diviseP et Q. D’après le théorème de d’Alembert-Gauss, ce polynôme admet un racine complexe α. Alors X −α diviseD et diviseP et Q.
Finalement, siP∧Q6= 1,P et Qadmettent une racine commune complexe.
Remarquons que si P et Q ne sont pas premiers entre eux dans IR[X], P et Q n’admettent pas forcément une racine réelle commune !
Réciproquement, siP et Qadmettent un racine communeα, alors(X−αdivise P etQdoncP et Qne sont pas premiers entre eux.
5. Racine multiple
a. Rappelons qu’un nombre complexe a est racine multiple deP si et seulement siP(a) =P0(a) = 0. On en déduit queP admet une racine multiple si et seulement si les polynômesP et P0 admettent une racine complexe commune c’est-à-dire ne sont pas premiers entre eux ce qui équivaut d’après la question précédente à Res(P, P0) = 0.
1
b. Si P =X3+aX+b,P0(X) = 3X2+ad’où Res(P, P0) =
b 0 a 0 0 a b 0 a 0 0 a 3 0 a 1 0 0 3 0 0 1 0 0 3
= 27b2+ 4a3
(on se ramène par exemple au calcul du déterminant d’une matrice triangulaire par blocs pour le partage 3-2 en effectuant les opérations élémentaires L2←L2−a3L4 etL3←L3−a3L5)
Donc X3+aX+badmet une racine multiple si et seulement si 4a3+ 27b2= 0. 6. Équation d’une courbe
Si M de coordonnées (x, y) appartient à la courbe de représentation paramétrique
x(t) =P(t) y(t) =Q(t) , il existet∈IR tel que x=P(t)ety =Q(t), donc en notant A(X) =P(X)−xet B(X) =Q(X)−y, les polynômesAetB ont une racine commune t.
7. Les polynômesAetB ont donc un résultant nul.
En particulier, siP(t) =t2+tet Q(t) =t2−t+ 1, Res(A, B) =
−x 0 1−y 0 1 −x −1 1−y
1 1 1 −1
0 1 0 1
=
−x+y−1 2y−2 1−y 0 2 −x+ 1 +y −1 1−y
0 0 1 −1
0 0 0 1
soit Res(A, B) = (−x+y−1)(−x+y+ 1)−2(2y−2) =x2+y2−2xy−4y+ 3donc un pointM de coordonnées(x, y)appartenant àΓvérifie :x2+y2−2xy−4y+ 3 = 0.
8. Nombre algébrique
SiP(X) =X3−3etQy(X) = (y−X)2−7, Res(P, Qy) =
−3 0 y2−7 0 0 −3 −2y y2−7
1 0 1 −2y
0 1 0 1
=y4−20y2+ 16
OrP admet pour racines√
3et−√
3etQyadmet pour racinesy+√
7ety−√
7, doncP etQyadmettent une racine commune si et seulement si[√
3 =y+√
7ou−√
3 =y+√ 7ou√
3 =y−√
7ou−√
3 =y−√ i.e.si et seulement siy∈ {√ 7]
3 +√ 7,√
3−√ 7,−√
3 +√ 7,−√
3−√
Comme on sait que les polynômesP etQyadmettent une racine commune si et seulement si leur résultant7}.
est nul, on en déduit que le polynôme R(X) =X4−20X2+ 16 admet pour racines √ 3 +√
7,√ 3−
√7,−√ 3 +√
7,−√ 3−√
7. Il est bien de degré 4 et à coefficients dansZ.
2
