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Polynômes irréductibles et décomposition: def d'un polynôme irréductible, cas de [X] et de [X], théorème de d'Alembert-Gauss, décomposition pratique dans et

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Academic year: 2022

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Programme de colle PCSI 2 semaine 19-20

I. Courbes en coordonnées polaires

en restant modeste, vérifier les connaissances des formules de trigo.

II. Polynômes

• Définition: suites nulles APCR, degré, structures de lK[X] et de lKn[X], base canonique et dim de lKn[X]. Ecriture formelle.

• Division euclidienne: th d'existence et unicité, calcul pratique.

• Dérivation: dérivée de Xk, formule de Leibniz, dérivée pième de Xk, formule de Taylor

Application: famille échelonnée en degrés: 1(X-a) (X-a)²...(X-a)n base de lKn[X], calcul du reste de P par (X-a)k.

• Racines d'un polynôme: définition, théorème de factorisation, P de degré n ayant n+1 racines est nul, isomorphisme entre lK[X] et les fonctions polynômiales, ordre de multiplicité,

caractérisation à l'aide des dérivées successives.

• Polynômes irréductibles et décomposition: def d'un polynôme irréductible, cas de [X] et de [X], théorème de d'Alembert-Gauss, décomposition pratique dans et .

• Relation entre les racines et les coeff: polynôme scindé dans lK, fonctions symétriques élémentaires, relation coeff racines.

Références

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