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THÉORÈME DE GAUSS - exercices
A. EXERCICES DE BASE
I. Interprétation du flux dans le cas d'un écoulement
• Un fluide est en mouvement dans un tuyau cylindrique de rayon R.
1.
• En supposant que les particules du fluide ont une même vitesse€
v, dirigée suivant l'axe du tuyau, montrer que le débit volumique du tuyau (volume d'eau qui s'écoule par unité de temps) est : D = πR2v.
2.
• On suppose maintenant que la vitesse€
v des particules du fluide est toujours selon l'axe du tuyau, mais que sa norme dépend de la distance à l'axe et de la position angulaire autour de l'axe. Montrer que le débit volumique est égal au flux de
€
v à travers la section du tuyau. Calculer le débit pour v = a.(R2 - r2) où a est une constante et où r ∈ [0, R] désigne la distance à l'axe.
II. Vecteur surface d'un contour orienté
• Soit un contour fermé orienté C, on considère l'intégrale :
€
A =
€
1
2 OM
×
dOM∫
C où O est un point fixe et où M est un point décrivant le contour C.1.
• Montrer que cette intégrale ne dépend pas du choix du point fixe O.2.
• On suppose que le contour C est plan. Soit€
n le vecteur unitaire normal au plan, et dont le sens correspond au sens positif adopté pour l'orientation de C. Montrer que
€
A = S
€
n =
€
S où S désigne l'aire de la portion de plan délimitée par C.
3.
• En déduire que, Σ étant une surface quelconque s'appuyant sur C :€
A =
€
dS
∫∫
Σ =€
S où
€
dS est le vecteur surfacique infinitésimal de Σ.
III. Extremums du potentiel
• À l’aide du théorème de Gauss, montrer que le potentiel n’a pas d’extremum en dehors des charges.
IV. Limites de validité du théorème de Gauss
• On considère un milieu caractérisé par une répartition de charge de densité volumique ρ uniforme dans tout l'espace.
1.
• D'après les symétries, déterminer le champ électrostatique en un point quelconque.2.
• En raisonnant avec seulement la symétrie sphérique, montrer que le calcul du champ par application du théorème de Gauss peut suggérer un résultat faux. Commenter.2
V. Mouvement circulaire et champ électrostatique
• On considère un milieu caractérisé par une répartition de charge, de symétrie sphérique, de densité volumique : ρ = ρ0 e-αr pour r < R, où α est une constante positive et r la distance à l'origine O. Une particule de masse m et de charge Q (telle que Q ρ0 < 0) peut se mouvoir sans frottement dans ce milieu.
1.
• Déterminer le champ électrostatique à la distance a du centre O.2.
• Montrer que le mouvement circulaire uniforme de rayon a < R est une solution possible des équations du mouvement. Calculer dans ce cas la période de révolution de la particule.VI. Détermination d'une répartition de charges
• On considère une répartition volumique de charge électriques, de symétrie sphérique, contenue à l'intérieur d'une sphère de centre O et de rayon R. Soit M un point intérieur à la sphère, on pose r = OM ≤ R.
Déterminer la densité volumique ρ(r) correspondante pour que le champ électrostatique ait une norme uniforme à l'intérieur de la sphère, c'est-à-dire que le champ à l'intérieur soit de la forme :
€
E = E0
€
OM r . Calculer la charge totale Q portée par la sphère et caractériser le champ à l'extérieur de la sphère.
VII. Potentiel de Yukawa
• On considère une distribution de charge ayant la symétrie sphérique autour d'un point fixe O. Le potentiel est donné, en fonction de la distance r de O, par la relation : V(r) = e-r/a
€
q
4πε0r où q et a sont des constantes positives.
1.
• Calculer le champ€
E à une distance r de O. Examiner les cas particuliers r ≪ a et r ≫ a ; quelle est la signification de a ?
2.
• Calculer le flux Φ(r) sortant d'une sphère de rayon r et en déduire la répartition volumique de charge ρ(r). Quelles sont les caractéristiques de cette répartition ?VIII. Champ dans une cavité
• Une sphère de rayon R porte une charge volumique ρ uniforme dans tout le volume qu'elle délimite sauf dans une cavité sphérique de rayon a, creusée dans la sphère, et dont le centre est à une distance d de celui de la sphère. La cavité est vide de charge. Calculer le champ à l'intérieur de la cavité (qu'a-t-il de remarquable ?).
IX. Potentiel d'une couche chargée
• Soit ρ une densité volumique de charge constante en tout point de l'espace compris entre deux sphères de même centre O, de rayons R1 et R2 > R1. Calculer le champ et le potentiel électrostatiques en tout point de l'espace (on note r la distance à l'origine O). Tracer les graphes représentatifs de E et V en fonction de r dans le cas où ρ > 0. Le champ est-il continu ? Le potentiel est-il continu ?
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X. Champ créé par une couche chargée
• Deux sphères de même rayon R sont uniformément chargées en volume : l'une porte la densité de charge -ρ, et l'autre la densité +ρ. Leurs centres sont aux abscisses -a et +a sur l'axe Ox, avec a ≪ R.
1.
• Montrer qu'on peut considérer que ce système équivaut approximativement à une couche sphérique de rayon R, chargée en surface d'une densité surfacique σ = 2aρ cos(θ) où θ est l'angle de€
OM avec Ox pour le point M où on considère σ.
2.
• En déduire le champ électrostatique à l'intérieur d'une sphère chargée en surface d'une densité surfacique σ = σ0 cos(θ) où σ0 est une constante.XI. Champ créé par un fil rectiligne “infini”
• Soit λ une densité linéique de charge constante en tout point d'un fil rectiligne “infini”. Calculer le champ et le potentiel électrostatiques en tout point de l'espace (on note r la distance au fil en coordonnées cylindriques). Tracer les graphes représentatifs de E et V en fonction de r dans le cas où λ > 0. Le champ est-il continu ? Le potentiel est-il continu ?
B. EXERCICE D’APPROFONDISSEMENT XII. Ion dans un plasma
• Dans un plasma (gaz ionisé) électriquement neutre en équilibre, il y a en moyenne, autour de chaque particule chargée, un plus grand nombre de particules dont la charge est de signe contraire que de particules dont la charge est de même signe. Cela provient des attractions et répulsions exercées par la particule considérés sur les particules de son voisinage. Ainsi, autour d'uns particule, "l'atmosphère électrique"
(formée de particules positives et de particules négatives) est de signe opposé à la charge de la particule considérée. La neutralité n'est donc respectée qu'en moyenne sur une assez grande échelle ; c'est la non neutralité locale qui est étudiée ici.
• On suppose que le plasma ne contient que des électrons (de charge -q) et des ions positifs (de charge +q) ; on étudie la répartition des charges et des potentiels au voisinage d'un ion positif donné.
• On désigne par ne(r) et ni(r) les densités particulaires des électrons et des ions à la distance r du centre de l'ion positif pris comme origine, et on admet que ces densités obéissent à la loi statistique associée au facteur de Boltzmann : ne = n0 eqV/kT et ni = n0 e-qV/kT où n0 est une constante, V le potentiel électrostatique au point considéré, k =
€
R
N
Ala constante de Boltzmann, et T la température du plasma.
