APPROXIMATION D’UNE FONCTION PAR DES POLYNÔMES ET DES POLYNÔMES TRIGONOMÉTRIQUES. EXEMPLES ET APPLICATIONS.

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�� APPROXIMATION D’UNE FONCTION PAR DES POLYNÔMES ET DES POLYNÔMES TRIGONOMÉTRIQUES.

EXEMPLES ET APPLICATIONS.

I. Approximation par des polynômes

[Gou��, §�.�/�.�, p��/��–��]

I. A. Approximation locale de fonctions régulières

T��. [�� T��-Y��]

SoientnœNetfune fonction de classeCⁿdéfinie sur un intervalleIdeRet à valeurs dans unR-espace vectoriel norméE. Alors pouraœI:

f(a+h) =hæ0qn k=0h^k

k!f^(k)(a) +o(hⁿ)

E��. On a les développements limités suivants, pour toutnœ N: e^x=qn

k=0x^k

k! +o(xⁿ) et sin(x) =qn

k=0(≠1)^kx^2k+1

(2k+1)! +o(x²ⁿ⁺²)

T��. [�� T�� ]

SoientnœNetfune fonction de classeCⁿ⁺¹définie sur un intervalle[a, b]deRet à valeurs dans unR-espace deB��E. Alors :

f(b) =qn k=0h^k

k!f^(k)(a) +sb a

(b≠t)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)dt

T��. [�� B��]

Soita >0etf :]≠a, a[≠æ Rune fonctionC^Œtelle que pour tout entierk,f^(2k) Ø0sur ]≠a, a[. Alorsfadmet un développement en série entière sur]≠a, a[.

I. B. Densité dans l’espace des fonctions continues

[QZ��, §XIII.II.�, p��–��]

T��. [�� W��]

R[X]est dense dansC([a, b],C,Î.Î_Œ)poura < bœR.

R��. On a le théorème deS��-W��: soient(X, d)un compact non vide etHune sous-algèbre deC(X,R)séparante et unitaire. AlorsHest dense dansC(X,R).

On retrouve ce résultat mais aussi la densité des polynômes trigonométriques dansC(T).

A��. Soitf : [0,1]≠æ Ccontinue telle que pour toutnœ N,s1

0 f(t)tⁿdt = 0.

Alorsfest nulle.

A��. Soitf : R+ ≠æ Ccontinue telles

R+f(t)dtexiste et pour toutn œ N, s+Œ

0 f(t) e^≠ntdt= 0. Alorsfest nulle.

E��. Ce résultat n’est plus vrai si l’intervalle n’est pas borné! En e�et sif :R ≠æ R est limite uniforme d’une suite de polynômes alorsfest un polynôme.

I. C. Densité dans L

² [BMP��, §�.�.�, p��] [Dem��, §II.�, p��]

SoitIun intervalle deR.

D��. Soitﬂ:I≠æRune fonction mesurable, strictement positive et telle que pour toutnœN,s

I|x|ⁿﬂ(x)dx <+Œ. On dit alors queﬂest une fonction de poids.

D��. On définitL²(I,ﬂ) =Ó

f :I≠æCmesurable |s

I|f(x)|²ﬂ(x)dx <+ŒÔ .

P��. L²(I,ﬂ)est un espace deH��pour le produit du scalaireÈf |gÍ^ﬂ = s

If(x)g(x)ﬂ(x)dx.

P��. Il existe une unique famille(Pn)nœNde polynômes unitaires deux à deux orthogonaux pourÈ.|.Í^ﬂet tels quedeg(Pn) =npour toutn.

E��. Voir les dessins en annexe :

• PourI=Retﬂ:x‘≠æe^≠^x², les(Pn)nœNsont les polynômes deH��,

• PourI= [≠1,1]etﬂ:x‘≠æ1, les(Pn)nœNsont les polynômes deL��.

T��. [�� ]

S’il existe–>0tel ques

Ie^–^|^x^|ﬂ(x)dx <+Œ, alors la famille(Pn)nœNest une base hilbertienne deL²(I,ﬂ).

A��. SiIest borné, on a donc nécessairement une base hilbertienne.

La famille(Pnexp(≠.²/2))n, pour(Pn)nœNles polynômes deH��, est une base hilbertienne deL²(R).

E��. Contre-exemple si la condition du théorème n’est pas vérifiée : considérerI = R+,ﬂ:x≠æx^≠^ln(x)etf :x≠æsin(2ﬁln(x)).

ÉNS Paris-Saclay –��/�� AntoineB��–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page��sur��

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Agrégation – Leçons ��– Approximation d’une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.

II. Interpolation polynômiale

II. A. Interpolation de L�� et erreur d’interpolation

[Dem��, ChII, p��]

Soitf : [a, b] ≠æ Rune fonction continue. On se donne(xi)0ÆiÆndes points deux à deux distincts de[a, b].

T��. Il existe un unique polynômePn œRⁿ[X]tel quePn(xi) =f(xi)pour tout i œ J0, nK.Pnest appelé polynôme d’interpolation deL��associé àfet à(xi)i. On a Pn=qn

i=0f(xi)¸ioù¸i=r

j”=i X≠xj

xi≠xj.

T��. Supposonsf(n+ 1)fois dérivable. Alors pourxœ[a, b], il existe’x œ[a, b]

tel quef(x)≠Pn(x) = _(n+1)!¹ n+1(x)f⁽ⁿ⁺¹⁾(’x)où n+1(x) =rn

j=0X≠xj. Ainsi : Îf≠PnÎ_ŒÆ 1

(n+ 1)!Î n+1Î_Œ...f⁽ⁿ⁺¹⁾...

Œ

E�� ��. La précision des polynômes interpolateurs provient alors du contrôle de Î n+1Î_Œ, c’est-à-dire de la répartition des points. Dans le cas de points équidistants (xi = x0+ih), on a :

|f≠Pn|Æ hⁿ⁺¹ n+ 1 max

0ÆiÆn

--

-f⁽ⁿ⁺¹⁾(xi)--- et Î n+1Î_Œ=O31b≠a e

2n+14

A��. [�� R��]

Soit f : x ≠æ x²¹+1 sur [≠1,1]. C’est une fonction C^Œ mais dont les dérivées aug- mentent rapidement en norme infinie vers0. Il s’en suit dans le cas de points équidistants que

(n+1)!1 Î n+1Î_Œ..f⁽ⁿ⁺¹⁾..

Œ _n_æ+Œ9 0.

On observe alors (voir annexe) que les polynômes d’interpolation ne convergent pas uniformé- ment versf.

D��. [�� T��]

On définit par récurrence la suite(Tn)nœNde polynômes parT₀ = 1,T₁ = XetT_n+1 = 2XTn≠Tn≠1. On vérifie alors queTn(cos(◊)) = cos(n◊)pour tout◊œR.

P��. Les racines deTn+1sont les!cos!_2k+1

2n ﬁ""

0ÆkÆn, appelés points d’interpolation deT��.

E��. Prenant les points d’interpolation deT��(avec[a, b] = [0,1]), on a : Î n+1Î_Œ=O31b≠a

4

2n+14

Comme(e/4)ⁿ⁺¹ _n_æ+Œ≠æ 0, on obtient que les polynômes d’interpolation deT��sont beaucoup plus précis que ceux associés à des points équidistants.

A��. Le phénomène deR��n’est plus observé avec les polynômes d’interpolation deT��.

II. B. Application aux méthodes de quadrature

[Dem��, ChIII, p��]

Soitf : [a, b] ≠æRune fonction continue. On cherche des formules pour approcherI(f) = sb

af(t)dt. Fixonsa=x₀< x₁<· · ·< xn =bune subdivision de[a, b]. On posehi=x_i+1≠xi. D��. [�� ]

Une méthode de quadrature consiste, pour0 Æ i Æ n≠1à approcherIi = sx_i+1 xi f par Ai(f) = hiq¸j

j=0Êi jf(’i j)où les(’i j)jsont dans[xi, xi+1]et les(Êi j)0ÆjÆnsont des réels fixés tels queq

jÊi j = 1.

On note alorsE(f) =I(f)≠qn≠1

i=0 Ai(f)l’erreur de la méthode.

D��. [�� ]

On dit qu’une méthode de quadrature est d’ordreNsi elle est exacte (E(f) = 0) pour tout f œRN[X]et s’il existef œRN+1[X]telle qu’elle soit inexacte.

A��. Fixant(’j)jassociés à une subdivision de[xi, x_i+1], on peut prendre pour fonction de poidsÊj= _h¹_is

[xi,xi+1]¸joù¸j =r

k”=jX≠’k

’j≠’k: ce sont les méthodes par interpolation deL��.

(i) [M�� ]

On approximeI(f)parqn≠1

i=0 hif(zi)où(zi)i= (xi)iou(xi+1)i. Méthode d’ordre0.

(ii) [M�� ]

De même avec(zi)i= (^xⁱ⁺¹₂^≠^xⁱ)i. Méthode d’ordre1etE(f)Æ¹3Îf^ÕÕÎŒsifestC². (iii) [M�� ]

i=0 hif(xi+1)+f(xi)

2 . Méthode d’ordre1etE(f)Æ ²₃Îf^ÕÕÎ_Œsif estC².

(iv) [M�� S��]

i=0 hif(xi+1)+4f(^xi+1₂^≠xi)+f(xi)

6 . Méthode d’ordre3etE(f) = O(..f⁽⁴⁾..

Œ)sifestC⁴. E��. Approximation desﬁ

0 cos²(x)dx= ^ﬁ₄: (i) méthode des rectangles (à gauche ou à droite) :ﬁ, (ii) méthode des points milieux :0,

(iii) méthode des trapèzes :ﬁ, (iv) méthode deS��:^ﬁ₃.

(3)

III. Approximation de fonctions périodiques

[Gou��, Ch�.�, p��–��] [QZ��, Ch�, p��–��] [BMP��, §�.�.�/�.�.�, p��]

III. A. Polynômes trigonométriques et séries de F��

On noteT = R/2ﬁZ,en = e^in. pourn œ Z. On définit lorsque cela a un sensÈf | gÍ =

2ﬁ1 s2ﬁ

0 f(t)g(t)dtetÎfÎ1= Èf |fÍ.

D��. [��,�� ]

On appelle polynôme trigonométrique une combinaison linéaire finie des(en)nœZ. On appelle série trigonométrique une combinaison linéaire des(en)nœZ.

Une série trigonométrique converge-t-elle? Ponctuellement, uniformémement, dansL^p? ...

D��. [�� F��]

Pourf œ L¹(T), on définitcn(f) = _2ﬁ¹ sﬁ

≠ﬁf(t) e^≠^intdt =Èf | enÍlen-ième coe�icient deF��def, oùn œ Z. On définit la série deF��associée àf comme la série trigonométriqueS =q

nœZcn(f)en. E��.

• Pourf =1_]≠_a,a[où0< a <ﬁ, on acn(f) =;

a/ﬁ sin= 0

sin(na)/nﬁ sinon .

• Pourf :x≠æ1≠^xﬁ²², on acn(f) =^2(≠1)_ﬁ2n²ⁿsin”= 0,�sinon.

P��. Pourf œL¹(T), on a : (i) cn(f) =c_≠n(f),

(ii) cn(·af) = e^inacn(f),

(iii) fúen=cn(f)en,

(iv) sif œC(T)ﬂCpm¹ (T),cn(f^Õ) =incn(f).

L��. [�� R��-L��]

Sif œL¹(T), alorscn(f) _n_æ+Œ≠æ 0.

III. B. Convergences au sens de C��

D��. [�� F��,��F��]

On appelle somme partielle de F�� d’ordre N œ N la quantité SN(f) = qN

n=≠Ncn(f)en.

On appelle somme partielle deF��d’ordreN œNla quantité‡N(f) = _N¹ qN≠1 n=0 SN(f).

R��. On peut voirSN(f)comme la projection surP^N = Vect((en)_≠NÆnÆN).

D��. [�� D��,��F��]

Le noyau deD��d’ordreN œNest la fonctionDN =qN n=≠Nen. Le noyau deF��d’ordreNœNest la fonctionKN = _N¹ qN≠1

n=0 Dn=qN

n=≠N(1≠^|n|N)en.

P��. On a les propriétés suivantes : D�) SN(f) =fúDN,

D�) DNest pair etÎDNÎ1= 1, D�) ’xœT, DN(x) =^sin!_2N+1

2 x"

sin(x/2) ,

F�) ‡N(f) =fúKN, F�) ÎKNÎ1= 1,

F�) ’xœT, KN(x) = _N¹ ^sin_sin²2^{(N x/2)}(x/2) Ø0, F�) ’”œ]0,ﬁ],s

”Æ|t|ÆﬁKN(t)dt _N≠æ_æ+Œ 0.

T��. [�� F��]

• Soitf œ C(T). Alors Î‡N(f)Î_Œ Æ ÎfÎ_Œpour toutN Ø 1et‡N(f) = f ú KN

≠æu Næ+Œ f.

• Soitf œ L^p(T)pour unpœ [1,+Œ[. AlorsÎ‡N(f)Îp Æ ÎfÎppour toutN Ø 1et limNæ+ŒÎ‡N(f)≠fÎp = 0.

R��. On peut retrouver le théorème deW��à partir du premier résultat.

A��. F:C(T)≠æc₀(Z), f‘≠æ(cn(f))_nœZest injective.

III. C. Convergence en moyenne quadratique

T��. (en)nœZest une base hilbertienne deL²(T). En particulier, pourf œL²(T): f =q

nœZcn(f)en et ÎfÎ²L² =q

nœZ|cn(f)|²

A��. [�� ]

On peut reprendre l’Exemple��pour calculer les normes des applications dansL²: pouraœ J0,2ﬁK:q

nœN^ú sin(na)

n = ^ﬁ≠a₂ (première fonction) etq

nœN^ú 1

n⁴ =^ﬁ₉₀⁴(deuxième fonction).

On peut aussi calculerq

nœN^ú 1

n² = ^ﬁ₆² etq

nœN^ú 1

(2n≠1)² =^ﬁ₈².

T��. Sif œC(T)ﬂCpm¹ (T), alors(SN(f))NœNconverge normalement versf. E��. Il existe une fonctionf œC(T)telle que(SN(f)(0))NœNne converge pas.

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��

Polynômes deH��et deL��.

Illustration des di�érentes méthodes numériques.

��

Il y a plusieurs types de convergences (écrire au tableau) : ponctuelle, uniforme, au sens de C��, quadratique (associée à la normeL²). On va essayer de montrer des résultats pour chaque type de convergence et de faire des liens entre eux.

��

Q Trouver un espace de suites sur lequel la transformée deF��Fest surjective.

R SoitF:L¹(T)≠æC^Z0.

Sif œ L¹(T), on sait par lemme de R��-L��, que cn(f) _n_æ+Œ≠æ 0 donc l’application est bien définie. Est-elle surjective?

Vérifions que(C^Z0,Î.Î_Œ)est complet. On a(C^Z0,Î.Î_Œ) µ (C^Zb,Î.Î_Œ)complet. Soit(un)n

une suite deC��. Soientp, q œ N. Soit((u^k_n)n)k une suite deC0(Z)convergent vers (un)n. On alimnæ+Œun = limnæ+Œlimkæ+Œu^k_n. Cette limite vaut-elle0? SoitN œN. On a|uN|Æ--u_N≠u^k_N--+--u^k_N--Æ..u≠u^k..

Œ+--u^k_N--. Donclim supN|uN|Æ..u≠u^k.. pour toutk, donclimNuN = 0. Œ

SiFest surjective, elle est bijective, linéaire et continue de(L¹(T),Î.Î1)dans(C^Z0,Î.Î_Œ).

Par un corollaire du théorème deB��-S��,F^≠1serait continue, donc il existerait Ctelle queÎ.ÎL¹ ÆCÎF(.)Î_ŒsurL¹(T). On vérifie que ce n’est pas possible.

Q Soitf œC(T).{f úg|gœC(T)}est-il dense dansC(T)pourÎ.Î2?

R Montrons queem= e^im.n’est pas dans l’adhérence en supposantcm(f) = 0.

S’il existe(gn)ntelle quefúgn _næ+Œ≠æ em, alorscm(fúgn) =cm(f)cm(gn) = 0pour tout n, alors quecm(em) = 1, ce qui donne une contradiction.

Par ailleurs, sick(f)”= 0pour toutk, montrons que l’ensemble est dense. Soithœ C(T).

On voudrait trouver (gn)n telle queck(gn) _n_æ+Œ≠æ ^cc^kk^(h)(f) pour tout k. Posons gn = qn

k=≠n ck(h)

ck(f)ek. Alors par l’égalité deP��: Îfúgn≠hÎ²2=ÿ

kœZ

|ck(f úgn≠h)|²

On calcule|ck(fúgn≠h)| = 0pourn Øk, etck(h)pourn < k, doncÎfúgn≠hÎ²2 = q

|k|>n|ck(h)|² _næ+Œ≠æ 0en tant que reste d’une série convergente.

��

[BMP��] V.B��, J.M��et G.P��:Objectif Agrégation. H&K,�^èmeédition,��.

[Dem��] J.-P.D��: Analyse numérique et équations di�érentielles. Collection Grenoble Sciences,��.

[Gou��] X.G��:Les maths en tête - Analyse. Ellipses,�^èmeédition,��.

[QZ��] H.Q��et C.Z��:Analyse pour l’agrégation. Dunod,�^èmeédition,��.

￿￿￿ APPROXIMATION D’UNE FONCTION PAR DES POLYNÔMES ET DES POLYNÔMES TRIGONOMÉTRIQUES. EXEMPLES ET APPLICATIONS.