Universit´e P. et M. Curie Master de Math´ematiques
MM003
Vendredi 1 juin 2012
Analyse R´ eelle
Dur´ee 3 heures – sans document I
On note Q l’ensemble {(x, y) 2 R2 : x > |y| } et S la distribution correspondant `a sa fonction caract´eristique 1lQ.
Q
1) Pour'2D(R2), montrer que h1lQ,@'
@xi= Z +1 1
'(|y|, y)dy et h1lQ,@'
@yi=Z +1 0
'(x, x) '(x, x) dx et en d´eduire que T = @S
@x
@S
@y est la distribution : '7!2Z 1
0
'(y, y)dy.
2) Pour'2 D(R2), montrer que hT,@'
@x + @'
@yi= 2Z 1
0
d
dt '(t, t) dt= 2'(0,0), et en d´eduire que, dans D0(R2), on a @T
@x + @T
@y = 2 0.
3) D´eterminer une solution fondamentale de l’op´erateur di↵´erentiel @2
@x2
@2
@y2. II
1) Montrer que, pour⇠ 2R, Z
Re |r|e ir⇠dr =Z +1 0
e r(1+i⇠)dr+Z +1 0
e r(1 i⇠)dr = 1
1 +i⇠ + 1
1 i⇠ = 2
1 +⇠2 et en d´eduire la transform´ee de Fourier de la fonction g:R!R d´efinie parg(r) = e |r|. 2) Rappeler quelle est la transform´ee de Fourier de la fonction x7!e kxk2/2 sur Rd. 3) Montrer que, si↵ >0, on a Z
Re r2/2↵2dr =↵p
2⇡, et en d´eduire que pour⇠ 2R fix´e, la fonction (↵, r)7!e ↵2/2.e r2/2↵2.e ir⇠ est int´egrable sur R+⇥R, puis que la fonction h d´efinie parh(r) =Z +1
0
e ↵2/2.e r2/2↵2d↵ est int´egrable sur R et v´erifie ˆh(⇠) =Z 1
0
e ↵2/2✓Z +1
1
e r2/2↵2.e ir⇠dr
◆ d↵
=Z 1
0
e ↵2/2✓Z +1 1
↵e s2/2.e is↵⇠ds
◆
d↵=p
2⇡Z 1
0
↵e ↵2(1+⇠2)/2d↵= p2⇡
1 +⇠2 Montrer que g et h sont continues et conclure que g=
r2
⇡.h.
4) On se propose de calculer la transform´ee de Fourier de la fonction⇢ d´efinie sur l’espace euclidienRd par ⇢(x) = e kxk =g(kxk).
Montrer que pour ⇠ 2 Rd la fonction (↵, x) 7! e ↵2/2e kxk2/2↵2.e ihx,⇠i est int´egrable sur R+⇥Rd. En d´eduire que
Z
Rdh(kxk).e ihx,⇠idx=Z 1
0
e ↵2/2✓Z
Rde kxk2/2↵2.e ihx,⇠idx
◆ d↵
=Z 1
0
e ↵2/2↵d
✓Z
Rde kyk2/2.e ihy,↵⇠idy
◆ d↵
= (2⇡)d/2 Z 1
0
↵de ↵2(1+k⇠k2)/2d↵= 2d 12⇡d/2 (1 +k⇠k2)d+12
Z 1
0
e ttd21 dt et finalement que
ˆ
⇢(⇠) = 2d⇡d21 (d+ 1
2 ).(1 +k⇠k2) d+12 o`u la fonction d’Euler est d´efinie pour x >0 par (x) =Z +1
0
e ttx 1dt .
5) Montrer que si S est une solution fondamentale temp´er´ee de l’op´erateur di↵´erentiel (I )k sur Rd (o`u est le Laplacien Xd
j=1
@2
@x2j) la transform´ee de Fourier de S doit v´erifier (1 +k⇠k2)kFS(⇠) = 1. D´eduire de ce qui pr´ec`ede une solution fondamentale de (I )2 sur R3.
6) Montrer que surRd la fonction⇠ 7!(1 +k⇠k2)q est dansOM quel que soit l’entierq, et en d´eduire que S 7! (1 +k⇠k2)q.S est un isomorphisme de S0(Rd) sur lui-mˆeme, puis que S 7!(1 )q.S est un isomorphisme de S0(Rd) sur lui-mˆeme.
Montrer que la fonction x7! 1
kxk sur R3 est int´egrable sur la boule unit´eB , et born´ee sur R3\B. En d´eduire qu’elle d´efinit une distribution temp´er´ee.
D´eduire de ce qui pr´ec`ede que l’´equation (I )2.S = 1
px2+y2+z2 poss`ede une unique solution dans S0(R3), que l’on explicitera par une convolution.
7) Soient (x1, x2, . . . , x`) des points deRd , ( 1, 2, . . . , `) des nombres complexes," >0.
Montrer que, pour une certaine constantec >0 que l’on pr´ecisera, X
j,k6`
j¯ke "kxj xkk = X
j,k6`
j¯k⇢("(xj xk))
=cX
j,k
j¯kZ
Rd(1 +k⇠k2) d+12 eihxj xk,"⇠id⇠
=c Z
Rd(1 +k⇠k2) d+12 X` j=1
jeihxj,"⇠i
2
d⇠ >0
On suppose de plus que P`
j=1 j = 0. Montrer que P
j,k j¯k = P` j=1 j
2 = 0 et en d´eduire que
1
"
X
j,k
j¯k(1 e "kxj xkk)60 puis, en passant `a la limite quand"!0, que P
j,k j¯kkxj xkk60.
