Examen de juin 2014

Universit´e P. et M. Curie Licence de Math´ematiques

LM257

Lundi 16 juin 2014

S´ eries et Int´ egrales

Examen de deuxi` eme session

2 heures – sans document

Les t´el´ephones portables doivent ˆetre rang´es ´eteints dans les sacs. Tout t´el´ephone allum´e sera saisi.

I

Soient ↵et deux nombres r´eels, avec non nul. On consid`ere l’int´egrale

J↵( ) =Z ₊₁

0

1 cos( t) t^↵+1 dt

1) Pour quelles valeurs de ↵l’int´egrale J_↵( ) est-elle convergente ?

2) Remarquer que, pour tout t, on a cos( t) = cos(| |t) et montrer que si 0< " < A Z A

"

1 cos( t)

t^↵+1 dt=| |^↵ Z _{| |}A

| |"

1 cosx x^↵+1 dx

et en d´eduire que lorsqueJ_↵( ) est convergente, on a J_↵( ) = | |^↵.J_↵(1).

On suppose 0< ↵ < 2. Soientu,vet wtrois nombres r´eels,a,betctrois nombres r´eels tels que a+b+c= 0.

3) Montrer que pour toutt2R⁺, on a ae^itu+be^itv+ce^{itw 2}

= (ae^itu+be^itv+ce^itw).(ae ^itu+be ^itv+ce ^itw)

=a²+b²+c²+ 2abcost(u v) + 2bccost(v w) + 2accost(u w)

= (a+b+c)² 2ab(1 cost(u v)) 2bc(1 cost(v w)) 2ac(1 cost(u w))

4) Remarquer que pour " > 0 et A > " on a Z A

"

ae^itu+be^itv+ce^{itw 2}

t^↵+1 dt > 0, et en d´eduire que

ab.J_↵(u v) +bc.J_↵(v w) +ac.J_↵(u w)60 puis que ab.|u v|^↵+bc.|v w|^↵+ac.|u w|^↵ 60.

II

On consid`ere la suite r´eelle (B_n) d´efinie par r´ecurrence par B₀ = 1 et

B_n = Xn p=1

1

(p+ 1)! ·B_{n p}

1) CalculerB₁, B₂ etB₃.

. . ./. . .

2) On veut montrer par r´ecurrence sur n la propri´et´e H(n) : “pour tout k < n on a

|B_k|61”. Montrer que H(1) est v´erifi´ee, puis que si H(n) est v´erifi´ee, on a

|B_n|6Xⁿ

p=1

1

(p+ 1)!|B_{n p}|6Xⁿ

p=1

1

(p+ 1)! 6X¹

p=1

1

(p+ 1)! = e 261 et conclure.

3) On consid`ere la s´erie enti`ere S(x) = X¹

n=0

B_n.xⁿ et on d´esigne par R son rayon de convergence. D´eduire de2) queR>1.

On rappelle que si u_n et v_n sont les termes g´en´eraux de deux s´eries absolument convergentes, la s´erie de terme g´en´eral w_n =

Xn p=0

u_p.v_{n p} est, elle aussi, absolument convergente et que X¹

0

wn = X¹

p=0

up . X1 q=0

vq .

4) Soient U(x) = X¹

n=0

u_n.xⁿ et V(x) = X¹

n=0

v_n.xⁿ deux s´eries enti`eres de rayons de convergence respectifs R<sub>1</sub> et R<sub>2</sub>. On consid`ere la s´erie enti`ere W(x) = X¹

n=0

w_n.xⁿ, o`u w_n =

Xn p=0

u_p.v_{n p}.

Remarquer que wn.xⁿ = Xn p=0

(up.x^p).(vn p.x^{n p}) et en d´eduire que si le nombre x v´erifie |x| < min(R₁, R₂), la s´erie de terme g´en´eral w_nxⁿ converge absolument et que W(x) =U(x).V(x).

5) Montrer que, pour tout x r´eel, on a X¹

n=1

1

n! · xⁿ = e^x 1 et en d´eduire que l’on a X1

n=0

xⁿ

(n+ 1)! = e^x 1

x six6= 0. En d´eduire que e^x 1

x ·S(x) =X¹

n=0

c_n.xⁿlorsque 0<|x|<1, o`ucn =

Xn p=0

1

(p+ 1)! ·Bn p.

Remarquer que c_n = 0 si n>1, et en d´eduire que S(x) = x

e^x 1 si 0<|x|<1.

6) Montrer que x e^x 1

x

e ^x 1 = x, et en d´eduire que X¹

n=0

B_2n+1.x²ⁿ⁺¹ = x 2, puis queB_2n+1 = 0 si n>1.

7) Montrer que si la s´erie S(x) convergeait absolument en x= 2i⇡, on aurait 0 = e^2i⇡ 1

2i⇡ ·S(2i⇡) = 1 et conclure que R62⇡.