Examen de décembre 2013

Universit´e P. et M. Curie Master de Math´ematiques

MM003

Vendredi 20 D´ecembre 2013

Analyse R´ eelle

3 heures – sans document

Les t´el´ephones portables doivent ˆetre rang´es ´eteints dans les sacs. Tout t´el´ephone allum´e sera saisi.

I

Soient f 2L¹(R^d) et (gn) une suite dans L¹(R^d).

On suppose que M = sup_nkg_nk₁ <+1 et queg_n! g presque partout, et on veut montrer que la suite (f ⇤gn) converge vers f ⇤g uniform´ement sur tout compact deR^d.

1) Montrer qu’il existe une suite (fk) de fonctions continues `a support compact surR^d telle que kf f_kk1!0, et qu’alors, pourx2R^d, on a

|(f ⇤g_n f ⇤g)(x)|62Mkf f_kk1+|f_k⇤(g g_n)(x)| que

nlim!1

Z

|(g gn)(z)|e ^kzkdz = 0 et que

|fk⇤(g gn)(x)|6e^kxkZ

fk(y)e^kyk . (g gn)(x y)e ^{kx yk} dy 6e^kxk sup

y |fk(y)|.e^kyk ⇣Z

|(g gn)(z)|e ^kzkdz⌘

2) En d´eduire que si " >0 etR sont fix´es, on peut trouverk tel quekf fkk1 < "

4M, puis n0 tel que sup

y |fk(y)|.e^kyk ⇣Z

|(g gn)(z)|e ^kzkdz⌘

< e ^R· "

2 lorsque n > n0, et qu’alors on a sup_kxk6R|(f ⇤g_n f ⇤g)(x)|< ".

Conclure.

II

Pours2R, on noteH^sl’ensemble des distributions temp´er´eesSsurRdont la transform´ee de Fourier est une fonction localement int´egrable ˆS sur R satisfaisant

Z S(⇠)ˆ ²(1 +⇠²)^sd⇠ <+1

On munit H^s du produit scalaire hS, Ti= 1 2⇡

Z S(⇠) ˆˆ T(⇠)(1 +⇠²)^sd⇠.

1) Montrer que, muni de ce produit scalaire, H^s est un espace de Hilbert, dont on notera k.kH^s la norme, et que H⁰ s’identifie isom´etriquement `a L<sup>2</sup>(R). Montrer que la mesure de Dirac 0 `a l’origine est dansH ¹.

On consid`ere la fonction f : x 7! Y(x).e <sup>x</sup> (o`u Y d´esigne la fonction de Heaviside, qui vaut 0 sur ] 1,0[ et 1 sur ]0,+1[ ). Calculer ˆf. Pour quelles valeurs de s la fonction f appartient-elle `a H^s?

2) Soient f 2H^s et g2H ^s. Montrer que ˆf .ˆg est une fonction int´egrable et que Z fˆ(⇠).ˆg(⇠)d⇠ 62⇡.kfk_H^s.kgk_H ^s

En d´eduire que, si on pose g(f) = 1 2⇡

Z fˆ(⇠).ˆg(⇠)d⇠, g est dans le dual de H^s et que l’application g7! g envoie continuement H ^s dans le dual de H^s.

Inversement, si est une forme lin´eaire continue sur H^s, montrer qu’il existe h 2 H^s telle que, pour toute f 2H^s, on ait (f) =hf, hi. Montrer ensuite que la fonction localement int´egrable h1 :⇠ 7!(1 +⇠²)^s.ˆh(⇠) d´efinit une distribution temp´er´ee et qu’il existeS 2S⁰(R) telle que ˆS=h1. Montrer queS appartient `a H ^s et que (f) = S(f) pour toutf 2H^s.

Conclure que l’applicationg7! g identifie le dual de H^s `a l’espaceH ^s.

3) On veut montrer qu’il existe une distribution S 2 S⁰(R) telle que S 2 H^s pour tout s <0, mais que S ne soit pas dansL¹_loc(R).

Pour k > 1, on pose gk(x) = e ^x2/2.e^i2kx, et on veut montrer que, pour s < 0, il existe ms tel que kgkkH^s 6 ms.2^{(k 1)s} pour tout k. Montrer que gbk(⇠) = (2⇡)^1/2.e ^{(⇠ 2k)2/2}, que

|gb_k(⇠)|²(1 +⇠²)^s 6 2⇡.e ^{(⇠ 2k)2} 6 2⇡.e^{2k 1(⇠ 2k)} si ⇠ 6 2^{k 1} et que, lorsque ⇠ > 2^{k 1}, on a

|gbk(⇠)|²(1 +⇠²)^s62⇡.e ^{(⇠ 2k)2}.2^{2(k 1)s}. En d´eduire que

Z 2^{k 1}

1 |gbk(⇠)|²(1 +⇠²)^sd⇠62⇡Z 2^{k 1} 1

e^{2k 1(⇠ 2k)}d⇠= 2⇡ 1

2^{k 1}e ^{22k 2} et que

Z +1

2^{k 1} |gb_k(⇠)|²(1 +⇠²)^sd⇠62⇡.2^{2(k 1)s}. Z +1

1

e ^⇠2d⇠

et enfin que

kgkk²_H^s 6e ^{22k 2}+ 2^{(2k 2)s}Z +1 1

e ^⇠2d⇠62^{(2k 2)s}⇣Z ¹

1

e ^⇠2d⇠+ sup

t>0

t ^s.e ^t⌘ Conclure.

D´eduire de ce qui pr´ec`ede que la s´erieP₁

k=1g_k converge normalement dans H^s pour tout s <0 et qu’il existe S2S⁰(R) telle que pour tout s >0 et toute'2H^s on ait

hS, 'i=X¹

k=1

hgk, 'i=X¹

k=1

1 2⇡

Z b

gk(⇠) ˆ'(⇠)d⇠

4) On consid`ere la fonction :R!R d´efinie par (x) =

⇢1 si |x|61 0 si |x|>1

h = ⇤ et h_µ(x) =h(x).e^iµx. Montrer que h est continue `a support dans [ 2,2], puis que ˆ(⇠) = 2sin⇠

⇠ , quehcµ(⇠) = 4sin²(⇠ µ)

(⇠ µ)² , et quehµ 2H^s pour s < 3 2.

Montrer que si f est une fonction dans L¹_loc et si T_f est la distribution associ´ee, on doit avoir f.h2L¹ et hTf, hµi=f.h(c µ)!0 quandµ tend vers l’infini, mais qu’on a

hS, hµi=X¹

k=1

r8

⇡ Z

e ^{(⇠ 2k)2/2}·sin²(⇠ µ)

(⇠ µ)² d⇠=X¹

k=1

r8

⇡ Z

e ^{(⇠+µ 2k)2/2}·sin²⇠

⇠² d⇠

et en particulier que hS, h₂ki>

r8

⇡ Z

e ^⇠2/2·sin²⇠

⇠² d⇠. En d´eduire queSn’est pas dans L¹_loc. 2