Universit´e P. et M. Curie Licence de Math´ematiques
LM257
Jeudi 20 Mars 2014
S´ eries et Int´ egrales
2 heures – sans document
Les t´el´ephones portables doivent ˆetre rang´es ´eteints dans les sacs. Tout t´el´ephone allum´e sera saisi.
I
On rappelle que, pour x 2 R, on note eix = cosx+isinx, que eix = 1 et que la fonctione:x7!eix a pour d´eriv´ee
e0(x) = sinx+icosx=i.eix
1) Soit x un r´eel positif. Calculer Z x 0
e tdt, Z x 0
t.e tdt et Z x 0
t2.e tdt. Quelle est la nature et la valeur de Z +1
1
e |t|dtainsi que de Z +1 1
t2.e |t|dt? 2) Montrer que pour toutt r´eel on a |t|6 t2+ 1
2 . En d´eduire que e t2/2 6e1/2.e |t|. 3) D´eduire de1) et 2) que l’int´egraleH =Z +1
1
t2.e t2/2dt est convergente.
4) Soit x un nombre r´eel. Montrer que les deux int´egrales J(x) = Z +1 1
e t2/2.eitxdt et K(x) =Z +1
1
t.e t2/2.eitxdt sont absolument convergentes.
5) Calculer la d´eriv´ee de la fonction :t 7!e t2/2, puis montrer, au moyen d’une int´egration par parties, que K(x) =ix.J(x)
Il r´esulte de la formule de Taylor (et on l’admettra), que pour tout r´eel u, on a eiu 1 iu 6 u2
2 6) Montrer que, pourx et h 6= 0 r´eels on a
J(x+h) J(x)
h i.K(x) =Z +1
1
e t2/2.eitx⇣eith 1 ith h
⌘dt
et en d´eduire que J(x+h) J(x)
h i.K(x) 6 |h| 2 .
Z +1 1
t2.e t2/2dt.
En d´eduire que limh!0
J(x+h) J(x)
h = i.K(x) et que J est d´erivable en x, avec J0(x) =iK(x) = x.J(x).
Calculer la d´eriv´ee de la fonctionf :x 7!ex2/2.J(x) et conclure queJ(x) =J(0).e x2/2. . . ./. . .
II
Soit↵ >0 donn´e. On veut montrer la convergence la s´erie num´erique de terme g´en´eral
vn = ln✓
1 + cosn 2.n↵ + cosn
◆
pour n 1
1) Rappeler les d´eveloppements limit´es `a l’ordre 1 et 2 de la fonction x 7! ln(1 +x) au voisinage dex = 0.
2) Montrer que la s´erie de terme g´en´eralun= cosn
2.n↵ est convergente pour tout ↵ >0.
3) Montrer que n↵+ cosn >0 et en d´eduire que vn est bien d´efini pour tout n 1.
4) Montrer que la suite (vn)n2N converge vers 0 quand n! 1.
5) A l’aide de la question1)montrer que pour↵ >1, la s´erie num´erique de terme g´en´eral vn converge absolument.
6) On suppose que 1
2 < ↵1.
a) Montrer que pour tout x6= 1 : x
1 +x =x
✓
1 x
1 +x
◆
b) En appliquant cette formule avec x = cosn
2.n↵, montrer que la s´erie num´erique de terme g´en´eralwn =
✓ cosn 2.n↵+ cosn
◆
converge.
c) En d´eduire, en utilisant le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 de ln(1+x) au voisinage de x= 0, que la s´erie num´erique de terme g´en´eralvn = ln
✓
1 + cosn 2.n↵ + cosn
◆
converge.
2
