EPFL
Probabilit´es et Statistique pour Informatique et Communications, 2011–2012, Semestre 2.
Probabilit´ es et statistique : Examen 20 juin 2012
Dur´ee : L’examen commence `a 16:15 et se termine `a 19:00.
Nom : Pr´enom : No. SCIPER :
Exercice Points Barˆeme indicatif
1 /16 points
2 /9 points
3 /10 points
4 /10 points
Total : /45 points
REMARQUES:
- Aucun document personnel n’est autoris´e.
- Les calculatrices simples sont permises. Il est interdit de s’´echanger les calculatrices.
- Merci d’´ecrire vos r´eponses directement sur les feuilles d’examens. Si vous manquez de place, utiliser les feuilles vides se trouvant `a la fin de l’examen ou demandez une nouvelle feuille et agrafez-la.
Exercice 1. (a) J’ai dans ma poche 5 pi`eces de 1 CHF et deux pi`eces de 0.50 CHF. Je dois payer 2.5 CHF. Je prend 3 pi`eces au hasard. Quelle est la probabilit´e que j’ai assez pour payer avec ces 3 pi`eces ?
(b) J’arrive `a un rond-point avec 5 chemins possibles. Il y a 70% de chance que je connaisse le bon chemin, et dans ce cas je le prend. Sinon, je prend un des 5 chemins au hasard. Si je prend le bon chemin, quelle est la probabilit´e que je ne l’ai pas pris au hasard ?
(c) Mon trousseau poss`edencl´es, que j’essaie au hasard une `a une pour ouvrir ma porte, sans mettre de cˆot´e une cl´e qui n’aurait pas fonctionn´e. Quelle est la probabilit´e que ma porte ouvre au ki`eme essai ?
(d) SoitX une variable gaussienne centr´ee r´eduite et Y =eX. Calculer la densit´e deY. (e) Un disque dur a 350 gigabytes de disponibles. Cela est-il vraisemblablement suffisant pour stocker 300 films de taille moyenne 1.1 gigabyte et d’´ecart-type 0.4 ? Quelles hypoth`eses utilisez-vous ?
(f) Soit X1, . . . , Xn un ´echantillon d’une variable al´eatoire X d’esp´erance µ et ¯Xn = n−1Pn
i=1Xi. Montrer que ¯Xn est un estimateur non biais´e de µ.
(g) On admet que la dur´ee de vie d’un composant (en mois) est de distribution gaus- sienne N(µ,9). On teste 20 de ces composants pour trouver une dur´ee de vie moyenne ¯y= 100.9. Au seuil 99%, rejette-on l’hypoth`ese µ= 100 ?
(h) Une ´etude de qualit´e a trouv´e un intervalle de confiance `a 95% de [48,60] mois pour la dur´ee de vie moyenne de smartphones. Comment interpreter cette phrase ?
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Exercice 2. (a) SoitX1etX2deux variables gaussiennes centr´ees r´eduites ind´ependantes.
On note S =X1−2X2 etT =X12+X2. (i) Quelle est la loi deS?
(ii) Calculer la covariance entre X1 et S. Peut-on en d´eduire si X1 et S sont d´ependantes ou ind´ependantes ?
Note : pour deux variables al´eatoires U etV, Cov(U, V) =E(U V)−E(U)E(V).
(iii) Calculer la covariance entre X1 et T. Peut-on en d´eduire si X1 et T sont d´ependantes ou ind´ependantes ?
Note : siX ∼ N(0,1), alors E(X3) = 0.
(b) J’´etudie quatre esp`eces d’animaux, not´esA, B, C et D. Pour cela, j’ai captur´e 100 animaux de chaque esp`ece et effectu´e deux mesures sur chacun d’entre eux. J’ai enregistr´e les mesures ainsi obtenues dans quatres fichiers, un par esp`ece. Malheu- reusement, de retour `a mon bureau, je ne sais plus quel fichier correspond `a quel esp`ece. N´eanmoins je sais que les deux mesures effectu´ees surAsont ind´ependantes, celles sur B ont une corr´elation de 0.6, celles sur C ont une corr´elation de −0.6 et celles sur D sont d´ependantes mais de corr´elation nulle. Pour chacun de mes quatre fichiers, j’ai trac´e le graphe des deux mesures et obtenu :
−3 −2 −1 0 1 2 3
−4−2024
Graphe 1
−3 −2 −1 0 1 2 3
−20246810
Graphe 2
−3 −2 −1 0 1 2 3
−4−2024
Graphe 3
−4 −2 0 2 4
−4−2024
Graphe 4
Retrouver quel graphe correspond `a quel esp`ece (A, B, C ou D). Justifier vos r´eponses.
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Exercice 3. On souhaite ´etudier comment la note obtenue au test de Probabilit´es et Statistique influence celle obtenue `a l’examen final. On note X et Y respectivement la note au test et la note `a l’examen final, normalis´ees entre 0 et 1. Notre ´etude a r´evel´e que X etY ont pour densit´e conjointe :
fX,Y(x, y) =
(x+y, 0≤x, y ≤1,
0, sinon.
(a) Donner la fonction de r´epartition marginale de la note au test.
(b) Quelle est la densit´e conditionnelle de ma note `a l’examen final, sachant que j’ai obtenu 1 au test ?
(c) Les deux notes sont-elles ind´ependantes ?
(d) Calculer l’esp´erance de ma note `a l’examen final, sachant j’ai obtenu 1 au test.
(e) Calculer la probabilit´e que la somme de mes deux notes exc`ede 1.
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Exercice 4. On souhaite ´evaluer et analyser le ph´enom`ene du chˆomage. Pour cela, on a enregistr´e les dur´ees y1, . . . , yn pendant lesquelles n individus sont rest´ees sans emploi (en mois). On suppose que les variables al´eatoires correspondantes sont ind´ependantes et de fonction de r´epartition :
FY(y) =
1−exp{−(y/θ)2}, y >0,
0, y≤0, θ > 0.
(a) Ecrire la log-vraisemblance du mod`ele.
(b) Montrer que l’estimation de maximum de vraisemblance de θ est ˆθ = t1/2, o`u t=n−1Pn
i=1yi2.
(c) Montrer que l’information observ´ee vaut 4n/t.
(d) Donner une approximation de la loi de ˆθ pour n grand, en fonction de t.
(e) A partir de 100 individus, on a obtenut= 4 mois2. Donner un intervalle de confiance
`a 90% de θ.
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