Universit´e P. et M. Curie Master de Math´ematiques
MM003
Lundi 17 D´ecembre 2012
Analyse R´ eelle
Dur´ee 3 heures – sans document I ( sur 16 points )
1) Soit ' 2 S(R2). En appliquant la formule des accroissements finis `a la fonction h : w 7!
(1 +kwk2).'(w), montrer que pour z = (x, y) 2 R2, on a : '(z) '(0)
1 +kzk2 6 kzk
1 +kzk2.q('), o`u q d´esigne la semi-norme continue surS(R2) d´efinie par
q(') = sup
w2R2(1 +kwk2). |'(w)|+|@1'(w)|+|@2'(w)| (On pourra remarquer que 2kwk61 +kwk2 quel que soitw).
Soit g une fonction continue sur le cercle C = {(x, y) 2 R2 : x2 + y2 = 1} telle que Z 2⇡
0
g(cos✓,sin✓)d✓ = 0. On d´efinit la fonction F sur R2 \ {(0,0)} parF(z) = kzk 2.g( z
kzk). Pour toute fonction'2D(R2) et pour" >0, on pose
hS", 'i=Z
kzk>"
F(z).'(z)dz=Z +1
"
✓Z 2⇡
0
'(rcos✓, rsin✓).g(cos✓,sin✓)d✓
◆ dr r
2) Montrer que
hS", 'i=Z +1
"
✓Z 2⇡
0
⇣'(rcos✓, rsin✓) '(0) 1 +r2
⌘.g(cos✓,sin✓)d✓
◆ dr r et que ⇣
'(rcos✓, rsin✓) '(0) 1 +r2
⌘.g(cos✓,sin✓) 6kgk1.q('). r
1 +r2. En d´eduire que lim"!0hS", 'i existe et que |lim"!0hS", 'i|6⇡2.kgk1.q(').
Conclure qu’il existe une distribution temp´er´eeSsurR2telle quehS, 'i= lim"!0hS", 'iet montrer queS est homog`ene de degr´e 2.
II ( sur 48 points )
Soit P un polynˆome non identiquement nul `a coefficients complexes en d variables. On suppose que l’ensemble ferm´eZ = {x2 Rd : P(x) = 0} n’est pas vide et qu’il existe des constantes c >0 et m2N telles que, pour toutx2Rd, on ait
|P(x)|> 1
c.⇢(x, Z).(1 +kxk2) m (⇤)
o`u⇢(x, Z) = infa2Zkx akd´esigne la distance dexau ferm´eZ. On veut montrer qu’alors, pour toute distribution temp´er´eeT 2S0(Rd), il existe une distribution temp´er´eeS2S0(Rd) telle queP.S=T.
On rappelle que la topologie deS peut ˆetre d´efinie par la famille de semi-normesp⌫,q, o`u : p⌫,q(') = supx2Rd,↵2Nd,|↵|6⌫(1 +kxk2)q.|@↵'(x)|
avec qet ⌫ entiers.
On consid`ere l’application lin´eaire continueM :S !S d´efinie parM'=P.'et le sous-espace imageV =M(S) deS. On va montrer queM est injective et que M 1 est continue de V surS. 1) On veut montrer queZ est d’int´erieur vide : supposant qu’il existe un voisinageV dea2Rd tel queP s’annule surV, montrer que pour toutu2Rd la fonctiont7!P(a+tu) serait un polynˆome en tnul sur un voisinage de 0 dansR. En d´eduire queP devrait ˆetre identiquement nul.
On suppose que' est un ´el´ement du noyau de M. Montrer que V ={x2Rd :'(x)6= 0} est un ouvert contenu dansZ. Conclure queM est injective et queM 1 est bien d´efinie deV surS.
On d´esigne par Lk(Rd,C) l’espace des applications k-lin´eaires complexes sur Rd, norm´e par k kLk = sup{| (h1, h2, . . . , hk)| : hj 2 Rd,khjk 6 1}. On rappelle que, si f est une fonction de classe Ck deRd dans C, la di↵´erentiellef(k)(x) d’ordre k de f en x est un ´el´ement de Lk(Rd,C) et qu’il existe une constanteMk telle que
sup
|↵|=k|@↵f(x)|6 f(k)(x)
Lk
6Mk. sup
|↵|=k|@↵f(x)|
On rappelle aussi la formule de Taylor-Lagrange : si est une fonction de classe C⌫ sur un ouvert convexe ⌦ deRd, on a pourxet adansRd :
(x) X
k<⌫
1
k! (k)(a).(x a, x a, . . . , x a) 6 1
⌫!kx ak⌫.sup
y2⌦
(⌫)(y)
L⌫
2) Soient 2S, ⌫ 2N et a 2Rd tel que (k)(a) = 0 pour toutk < ⌫. D´eduire de la formule de Taylor-Lagrange que, pourx2Rd, on a| (x)|6 1
⌫!kx ak⌫. sup
y2Rd
(⌫)(y)
L⌫
, puis que si s’annule en tout pointadeZainsi que ses di↵´erentielles d’ordre< ⌫, on a| (x)|6 1
⌫!⇢(x, Z)⌫.sup
y
(⌫)(y)
L⌫
. 3) On suppose toujours que s’annule, ainsi que ses di↵´erentielles d’ordre< ⌫, en tout point deZ.
Montrer que la fonction q:y7!(1 +kyk2)q. (y) v´erifie, pour↵2Nd avec|↵|=⌫ :
@↵ q(y) = X
6↵
Q↵, (y)@ (y)
o`u les Q↵ sont des polynˆomes de degr´e au plus 2q, qu’il existe des constantes C↵, telles que
|Q↵, (y)|6C↵, (1 +kyk2)q pour touty2Rd, et que, pour toute 2C1et tout a2Rd.
(⌫)(a) 6M⌫. sup
|↵|=⌫|@↵ (a)|6M⌫. X
|↵|=⌫
|@↵ (a)|
En d´eduire l’existence de constantesL⌫,q telles que, pour toutx2Rd, on ait (1 +kxk2)q| (x)|=| q(x)|6L⌫,q.⇢(x, Z)⌫.p⌫,q( )
4) Soient ' une fonctionC1,⌫ 2N et =P⌫.'. Montrer que, pour tout entier naturelj 6don a
@j =P⌫ 1(P.@j'+⌫.'.@jP), puis, par r´ecurrence, que pour tout↵2Ndtel que|↵|< ⌫, il existe une fonction ↵ de classeC1 telle que @↵ =P⌫ |↵|. ↵, et enfin que@↵ (a) est nulle en tout point ade Z si|↵|< ⌫.
2
5) D´eduire de ce qui pr´ec`ede que si '2S et =P⌫.', la fonction s’annule en tout point de Z ainsi que ses di↵´erentielles d’ordre< ⌫ et que, pourx /2Z, on a
(1 +kxk2)q+m⌫|P(x)|⌫|'(x)|= (1 +kxk2)q+m⌫| (x)|6L⌫,q+m⌫.⇢(x, Z)⌫.p⌫,q+m⌫( ) 6c⌫L⌫,q+m⌫(1 +kxk2)m⌫|P(x)|⌫.p⌫,q+m⌫( )
avec la constanle c de l’in´egalit´e (⇤), puis que p0,q(') 6 c⌫L⌫,q+m⌫.p⌫,q+m⌫(P⌫.') (on pourra utiliser queRd\Z est dense dansRd).
6) On va montrer par r´ecurrence sur ⌫que si ('n) est une suite dansS telle que (P.'n) tend vers 0 dansS, alors P⌫+1.@↵'n tend vers 0 dans S pour⌫ =|↵|, ce qui est clair pour⌫ = 0 (on observera que la suite ('n) n’est pasa priorisuppos´ee converger vers 0).
Supposons cette propri´et´e v´erifi´ee pour⌫ 1 et soit↵2Nd tel que|↵|=⌫. Il existe alors 2Nd etj tels que| |=⌫ 1 , 16j 6det @↵'n=@j(@ 'n). Remarquer que
@j(P⌫.@ 'n) =⌫.@jP.P⌫ 1.@ 'n+P⌫.@↵'n
donc que
P⌫+1.@↵'n=P.@j(P⌫.@ 'n) (⌫.@jP).(P⌫.@ 'n)
et d´eduire de la convergence vers 0 dansS de (P⌫.@ 'n) queP⌫+1.@↵'ntend vers 0 dansS. Conclure.
7) D´eduire de ce qui pr´ec`ede que si la suite ('n) dansS v´erifie queP.'n tend vers 0, on doit avoir p0,q(@↵'n) 6 c⌫+1.L⌫+1,q+m⌫+m.p⌫+1,q+m⌫+m(P⌫+1.@↵'n) ! 0 pour |↵| = ⌫. En remarquant que p⌫,q('n) = max|↵|6⌫p0,q(@↵'n), en d´eduire enfin que la suite ('n) converge vers 0 dansS. Conclure que l’application lin´eaireM 1 est continue deV surS.
8) Soit T 2 S0(Rd) une distribution temp´er´ee. Montrer que la forme lin´eaire S0 d´efinie surV par S0( ) =hT,M 1 i est continue et d´eduire du th´eor`eme de Hahn-Banach qu’il existe une distribution temp´er´eeS surRdtelle quehS, i=hS0, i pour 2V.
Montrer que, pour'2S, on a
hP.S, 'i=hS, P.'i=hS0,M'i=hT,M 1M'i=hT, 'i Conclure que T =P.S.
III ( sur 11 points )
On note maintenant P le polynˆome en deux variables P(x, y) = x2 y2 1 et Z l’hyperbole {(x, y)2R2:P(x, y) = 0}.
1) Soit z= (x, y)2R2. On consid`ereuz = ("z,0)2R2, avec "z = 1 six>0 et"z = 1 sinon. Pour t2R, montrer que P(z tuz) = (t |x|)2 (y2+ 1) et que z s.uz 2Z pour
s=|x| p
y2+ 1 = P(z)
|x|+p y2+ 1 puis que ⇢(z, Z)6ks.uzk=|s|6|P(z)|.
En d´eduire queP satisfait la condition (⇤) deII avecc= 1 etm= 0.
2) En utilisant le r´esultat de II, montrer que, pour toute distribution temp´er´ee T sur R2, il existe une distribution temp´er´ee Stelle queP.S=T.
En d´eduire l’existence d’une distribution temp´er´eeS⇤ telle que (x2 y2 1).S⇤ = 1, puis que la transform´ee de FourierU =F(S⇤) deS⇤ satisfait ( @2
@y2
@2
@x2 1).U = (2⇡)2 0.
Montrer qu’il existe une solution fondamentale temp´er´ee de l’op´erateur di↵´erentiel @2
@y2
@2
@x2 1.
3
