DM1 D’ALG `EBRE 4
(Licence 3 - Math´ematiques, ann´ee 2013-14) (`a rendre la semaine du 14 octobre)
Exercice 1 : Soit A l’ensemble des nombres complexes de la forme z =u+iv√
2, avec u, v∈Z. Pour z ∈A, on pose N(z) :=|z|2.
1) Montrer que A est un sous-anneau de C.
2)a) Prouver que N(z)∈N pour tout z ∈A. Pour n∈ {1,2,4}, d´eterminer les ´el´ements z de A tels que N(z) =n.
b) Soient a, b ∈ A avec b ̸= 0. Montrer qu’il existe (q, r) ∈ A2 tel que a = bq+r avec r = 0 ou N(r) < N(b) (chercher d’abord q ∈ A tel que N(ab −q) < 1). En d´eduire que l’anneau A est euclidien.
c) Prouver que z ∈A× si et seulement si N(z) = 1.
3) Soit R un anneau factoriel tel queR× ={±1}. Soient a, b, c des ´el´ements de Ravec b et cpremiers entre eux et tels que a3 =bc. Montrer que b et c sont des cubes dans R.
On suppose dans la suite que x et y sont des ´el´ements de Z tels que y3 =x2+ 2.
4)a) Prouver que x est impair.
b) Soitz ∈A un diviseur commun `a x+i√
2 et x−i√
2. Montrer quez divise 2x et 2i√ 2 dans A. En d´eduire que N(z)|4 dans N.
c) Montrer que x+i√
2 et x−i√
2 sont premiers entre eux dans A.
5)a) Prouver qu’il existe u, v∈Z tels que x+i√
2 = (u+iv√ 2)3.
b) Montrer que 1 =v(3u2−2v2) et x=u3−6uv2. En d´eduire que v= 1 ou −1.
c) Quels sont les solutions (x, y)∈Z2 de l’´equation (E) : y3 =x2+ 2 ?
Exercice 2 : Soit H l’ensemble des (x, y) ∈ R2 tels que x2 − y2 = 1. On note F l’anneau des applications de H vers R avec l’addition et la multiplication d´efinies par (f +g)(x, y) :=f(x, y) +g(x, y) et (f g)(x, y) :=f(x, y)g(x, y) pour f, g ∈ F et (x, y)∈ H. A tout P ∈R[X, Y], on associe la fonction ˜P : H −→R qui envoie (x, y) appartenant `a H sur P(x, y). On note A l’ensemble des applications ˜P pour P ∈R[X, Y].
1) Montrer que A est un sous-anneau de F et que l’application f de R[X, Y] vers A qui envoie P sur ˜P est un morphisme d’anneaux surjectif.
2)a) Soient U, V ∈R[X] tels que (X2−1)U2 =V2. Prouver que U =V = 0.
b) Soit P ∈ R[X, Y]. Montrer qu’il existe Q ∈ R[X, Y] et U, V ∈ R[X] tels que P = (X2−Y2−1)Q+U Y +V.
c) En d´eduire que le noyau de f est l’id´eal< X2−Y2−1> de R[X, Y] et que l’anneau A est isomorphe `a R[X, Y]/ < X2−Y2−1>.
3) Montrer que l’applicationg: R[X, Y]−→R[X, Y] telle queg(P) :=P(X−Y, X+Y) est un isomorphisme d’anneaux qui envoie l’id´eal < XY −1 > sur < X2 −Y2−1 >. En d´eduire que B:=R[X, Y]/ < XY −1> est isomorphe `a A.
4)a) Soit C l’ensemble des fractions rationnelles dans R(X) de la forme XUn, avec U ∈R[X] et n∈N. Prouver que C est un sous-anneau de R(X) contenant R[X].
b) Soit J un id´eal de C et I := C ∩R[X]. Montrer que I est un id´eal de R[X] et que J ={XUn, U ∈I et n∈N}. En d´eduire que l’anneau C est principal.
5) Montrer queC est isomorphe `a B. En conclure que A est un anneau principal int`egre.
Est-ce un corps commutatif ?
