LM372 Math´ematiques 2013 Corrig´e de l’examen - Premi`ere session
Exercice 1.— Rappeler la d´efinition d’un anneau int`egre, et celle d’un anneau principal.
a) Un anneau int`egre est un anneau commutatif non nul dans lequel le produit de deux ´el´ements non nuls est non nul.
b) Un anneau principal est un anneau int`egre dont tout id´eal est engendr´e par un
´el´ement.
Exercice 2.— Soit A un anneau commutatif et soit I un id´eal de A de carr´e nul. Soit a un ´el´ement de A tel que a2 ≡a mod. I.
a) D´emontrer que 2a−1 est un ´el´ement inversible de A.
b) D´emontrer qu’il existe un ´el´ement e de A et un seul tel que e2 = e et e ≡ a mod. I.
a) On a (2a−1)2 = 1 +b, o`u b = 4(a2−a) . Comme b appartient `a I , b2 est nul et 1−b est inverse de 1 +b. Donc 2a−1 est inversible.
b) Recherchons e sous la forme a+c, avec c∈I . Comme c2 = 0 , la relation e2 =e est ´equivalente `a a2+ 2ac= a+c, c’est-`a-dire `a (2a−1)c=a−a2. Comme 2a−1 est inversible, il existe un unique c∈A satisfaisant cette relation, `a savoir (2a−1)−1(a−a2) . De plus il appartient bien `a I .
Exercice 3.— Notons A l’ensemble des nombres complexes de la forme a+ib√
5, o`u a et b sont des entiers relatifs.
a) D´emontrer que A est un sous-anneau de C. b) Quelles sont les ´el´ements inversibles de A ?
c) D´emontrer que 2 est un ´el´ement irr´eductible de A. d) D´emontrer que, dans l’anneau A, 2 ne divise ni 1 +i√
5, ni 1−i√
5, mais divise leur produit.
e) En d´eduire que l’anneau A n’est pas principal.
a) Soient a+ib√
5 et c+id√
5 deux ´el´ements de A . Leur diff´erence (a−c)+i(b−d)√ 5 et leur produit (ac−5bd) +i(ad+bc)√
5 appartiennent `a A , et 1 appartient `a A . Donc A est un sous-anneau de C.
b) Soit a +ib√
5 un ´el´ement non nul de A . Son inverse dans C est a−ib
√ 5 a2+5b2 . S’il appartient `a A , a2+ 5b2 doit diviser a et b dans Z. Cela implique que b= 0 , puis que a=±1 . Ainsi 1 et −1 sont les seuls ´el´ements inversibles de A .
c) Si a+ib√
5 divise 2 dans A , il est non nul et 2
a+ib√
5 = 2a−ib
√ 5
a2+5b2 appartient `a A . Il en r´esulte que a2+ 5b2 divise 2a et 2b dans Z, d’o`u b= 0 , puis a =±1 ou a=±2 . Ainsi, dans A , 2 n’est pas inversible d’apr`es b) et ses seuls diviseurs sont 1 , −1 , 2 , −2 . Cela prouve que 2 est irr´eductible.
d) Comme 1+i
√5
2 et 1−i
√5
2 n’appartiennent pas `a A , 2 ne divise ni 1 + i√ 5 , ni 1−i√
5 dans A . Il divise cependant leur produit, qui est ´egal `a 6 .
e) Dans un anneau principal, si un ´el´ement irr´eductible divise un produit, il divise l’un des facteurs. D’apr`es c) et d) , l’anneau A n’est pas principal.
Exercice 4.— Notons M le Z-module Z3 et L le sous-module de M engendr´e par les vecteurs (10,−15,5), (−3,0,−6), (2,−6,−2).
a) Quel est le rang du Z-module L ? En donner une base.
b) Trouver une base de M adapt´ee `a L. c) Quelle est la structure du groupe M/L ?
a) Posons u= (10,−15,5) , v= (−3,0,−6) , w= (2,−6,−2) . On a
(1) u= 5e, v =−3f, w= 2(e−f),
o`u e = (2,−3,1) et f = (1,0,2) . Les vecteurs e et f appartiennent `a L puisque
−u−2v+3w =e et 2u+3v−5w =f. Ils sont Z-lin´eairement ind´ependants et engendrent L d’apr`es (1) , donc forment une base de L . Le rang de L est 2 .
b) Une autre base de L est form´ee par les vecteurs f et 2f−e= 3g, o`u g= (0,1,1) . Les vecteurs f, g et h= (0,0,1) forment une base de M adapt´ee `a L .
c) Le groupe M/L est isomorphe `a (Z/3Z)×Z.
Exercice 5.— Soient E un espace vectoriel de dimension 5 sur C et u, v, w des endomorphismes de E. D´eterminer leurs facteurs invariants possibles, sachant que :
a) Le polynˆome caract´eristique de u est X2(X−1)3. b) Le polynˆome minimal de v est X2(X−1).
c) Les valeurs propres de w sont 0 et 1, et les sous-espaces propres associ´es sont de dimension 2 et 1 respectivement.
Quelles sont (`a similitude pr`es) les matrices de Jordan possibles pour u ?
Les puissances de X intervenant dans les facteurs invariants de u sont soit X,X , soit X2. Celles de X−1 sont soit X−1,X−1,X−1 , soit X−1,(X−1)2, soit (X−1)3. D’o`u les six listes suivantes de facteurs invariants possibles, accompagn´ees des matrices de Jordan correspondantes :
X−1,X(X−1),X(X−1)
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
X(X−1),X(X−1)2
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 1 1
X,X(X−1)3
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 0 0 1 1
X−1,X−1,X2(X−1)
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
X−1,X2(X−1)2
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 1 1
X2(X−1)3
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 0 0 1 1
Le dernier facteur invariant de v est X2(X − 1) , d’o`u quatre listes de facteurs invariants possibles : (X−1,X−1,X2(X−1)) , (X,X,X2(X−1)) , (X(X−1),X2(X−1)) , (X2,X2(X−1)) .
Dans les facteurs invariants de w, X intervient deux fois et X−1 une fois, d’o`u quatre listes de facteurs invariants possibles : (X,X3(X−1)) , (X2,X2(X−1)) , (X,X2(X−1)2) , (X,X(X−1)3) .
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