Universit´e Paris XI Equations diff´erentielles - UE Math 318 2 `eme semestre 2006/2007 Licence de Math´ematiques - S6
Examen session 1, le 21 mai 2007
Dur´ee de l’´epreuve : 3 heures. Une r´edaction pr´ecise et soign´ee est attendue.
Tous documents et calculatrices sont interdits. Les deux probl`emes sont ind´ependants.
Probl`eme I
Soit g∈ C1(R,R) et ¯u∈R. On consid`ere l’´equation diff´erentielle du second ordre (Eg) x′′(t) +g(x′(t)) +x(t)−u¯= 0.
1) Ecrire l’´equation diff´erentielle (Eg) sous la forme ´equivalente d’un syst`eme diff´erentiel autonome d’ordre 1 :
(Sg) X′(t) =f(X(t)),
o`u X(t) = (x1(t), x2(t))∈ R2 avec x2(t) = x′1(t) et f est une fonction de R2 dans R2 que l’on pr´ecisera.
Justifier que, pour tout X0 ∈ R2, il existe une unique solution maximale du probl`eme de Cauchy associ´e `a (Sg) et `a la condition initiale X(0) =X0 d´efinie sur un intervalle ouvert J(X0). On la notet →X(t;X0).
2) Montrer que (Sg) admet un unique point d’´equilibre not´e U. 3) Calculer la matrice jacobienne de f au pointU.
Pour quelles valeurs de g′(0), peut-on affirmer que U est stable ? Pour quelles valeurs de g′(0), peut-on affirmer que U est instable ?
Pour quelles valeurs de g′(0), peut-on affirmer que U est localement asymptotiquement stable ?
4) Dans cette question, on suppose que g est croissante et g(0) = 0.
a) Si Y = (y1, y2)∈R2, on pose V(Y) = (y1−u)¯ 2+y22.
Montrer que V est une fonction de Lyapunov pour U et (Sg) sur R2. b)Etudier la stabilit´e de U.
c) Soit v >0. On pose J((¯u, v)) =]T∗, T∗[. Montrer que :
kX(t; (¯u, v))−Uk2 6v pour tout t∈[0, T∗[ et T∗ = +∞.
d) Etablir que si g est strictement croissante alors U est globalement asymptotiquement stable (on commencera par justifier que g(y)y >0 pour tout y 6= 0).
5) On suppose que g(y) = (y−1)2 si y>1 et g(y) = 0 sinon.
a) Que sait-on dans ce cas sur la stabilit´e de U ?
b) Soit T >0 et t ∈[0, T[7→X(t) = (x1(t), x2(t)) une solution de (Sg) sur [0, T[ telle que x2(t)61 pour tout t∈[0, T[. Montrer que x′′1(t) +x1(t) = ¯u pour tout t ∈[0, T[.
c) Donner toutes les solutions r´eelles de l’´equation diff´erentielle (∗) z′′(t) +z(t) = ¯u.
d) Soit 0 < ε 6 1 donn´e. Expliciter la solution t 7→ X(t) = (x1(t), x2(t)) de (Sg) sur [0,+∞[ qui v´erifiex1(0) = ¯u+ε, x2(0) = 0 et x2(t)61 pour tout t >0.
Le point U est-il asymptotiquement stable ?
6) Dans cette question, on suppose de plus qu’il existeL >0 telle que∀s∈R, |g′(s)|6L.
a) Montrer qu’il existe M >0 telle que pour toutZ1, Z2 ∈R2 on ait : kf(Z1)−f(Z2)k6MkZ1 −Z2k pour une norme sur R2. b)Pour X0 ∈R2, que peut-on dire sur J(X0) ?
c) On suppose de plus que g est impaire et que ¯u= 0.
Montrer que X(t;−X0) =−X(t;X0), pour tout t ∈R.
Probl`eme II
On consid`ere le syst`eme diff´erentiel suivant :
(S)
(x′(t) =−2x(t)−y(t) + 2, y′(t) =x(t)y(t).
1) Ecrire le syst`eme (S) sous la forme d’une ´equation (E) : X′(t) =f(X(t))
o`u X(t) = (x(t), y(t)) et f :R2 →R2 est une fonction que l’on pr´ecisera.
2) D´eterminer les points d’´equilibre de (E) et ´etudier leur stabilit´e.
3) Quelles sont les orbites des points (0,2), (1,0) ? D´eterminer avec soin l’orbite du point (0,0). Donner, sans d´etails, l’orbite du point (2,0).
4) Dessiner l’ensemble I0 des points (x, y) de R2 o`u le vecteur f(x, y) est horizontal.
Repr´esenter sur le mˆeme dessin l’ensemble I∞ des points (x, y) deR2 o`u le vecteur f(x, y) est vertical. Indiquer aussi l’orientation des vecteurs.
Pour X0 ∈ R2, on d´esigne par X(·;X0) la solution maximale du probl`eme de Cauchy associ´e `a (E) et `a la condition initialeX(0;X0) =X0, elle est d´efinie surJ(X0) =]T∗, T∗[.
On consid`ere les r´egions suivantes :
Ω ={(x, y)∈R2, y > 0}, Ω1 ={(x, y)∈R2, x >0, y >0,−2x−y+ 2>0}, Ω2 ={(x, y)∈R2, x > 0, y >0,−2x−y+ 2<0},
Ω3 ={(x, y)∈R2, x < 0, y >0,−2x−y+ 2<0}.
Dans la suite on suppose X0 ∈Ω.
5) Montrer que X(t;X0)∈Ω pour tout t ∈J(X0).
6) On suppose X0 ∈ Ω1. Montrer qu’il existe un temps t2 > 0, t2 ∈ J(X0) et ε > 0 tels que :
– pour tout t∈[0, t2[, on a X(t;X0)∈Ω1, – pour tout t∈]t2, t2+ε[, on a X(t;X0)∈Ω2,
– X(t2;X0) est sur le segment ouvert du plan R2 d’extr´emit´es (0,2) et (1,0).
7)On supposeX0 ∈Ω2. On veut montrer qu’il existe un tempst >0 tel queX(t;X0)∈Ω3. Pour cela, on raisonne par l’absurde, en supposant donc que pour tout t ∈ [0, T∗[ on a X(t;X0)∈Ω2.
7-i) Montrer que lim
t→T∗x(t) existe : on note ℓ1∈R cette limite. Montrer qu’il existe c >0 tel que pour tout t∈[0, T∗[ on a y′(t)6c y(t). En d´eduire queT∗ = +∞.
On admet que : puisque X(t;X0) ∈ Ω2 pour tout t > 0, X(t;X0) ne converge pas vers (0,2) quand t →+∞.
7-ii) Conclure (on montrera d’abord, en raisonnant par l’absurde, que lim
t→+∞y(t) existe dans R).
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