Cours de math´ematiques
Probabilit´ es
1 Vocabulaire
D´efinition 1. Une exp´erience al´eatoire est une exp´erience dont le r´esultat est li´e au hasard.
Chaque r´esultat possible est appel´e une´eventualit´e, l’ensemble des ´eventualit´es est appel´eunivers et not´eΩ.
Exercice 1. On consid`ere le lancer d’un d´e `a six faces. D´eterminer l’univers de cette exp´erience al´eatoire.
D´efinition 2. On appelle ´ev´enement un ensemble d’´eventualit´es, c’est `a dire une partie de l’univers. On distingue :
– ´ev´enement ´el´ementaire : il ne contient qu’une seule ´eventualit´e.
– ´ev´enement impossible : il ne contient aucune ´eventualit´e.
– ´ev´enement certain : il contient toutes les ´eventualit´es.
Exercice 2. On consid`ere le lancer d’un d´e `a six faces et on d´efinit les ´ev´enements suivants : – A : «le 5 sort».
– B : «un multiple de 2 sort». – C :«un multiple de 7 sort».
– D : «un nombre inf´erieur `a 7 sort».
Ecrire sous forme d’ensemble les ´´ ev´enements pr´ec´edents puis d´eterminer parmi ceux-ci les ´ev´e- nements ´el´ementaires, impossibles ou certains.
D´efinition 3.
– On note E1∩E2 l’intersection de deux ´ev´enements, c’est l’ensemble des ´eventualit´es ap- partenant `a E1 et`a E2.
– On noteE1∪E2 l’unionde deux ´ev´enements, c’est l’ensemble des ´eventualit´es appartenant
`
a E1 ou `a E2.
– On note E le contraire de l’´ev´enement E, c’est l’ensemble des ´eventualit´es qui n’appar- tiennent pas `a E.
– Deux ´ev´enements E1 et E2 sont dits incompatibles si E1∩E2 =∅, c’est `a dire qu’ils ne peuvent se r´ealiser en mˆeme temps.
Exercice 3. On consid`ere les ´ev´enements A, B, C et D de l’exercice pr´ec´edent. ´Ecrire sous forme d’ensemble les ´ev´enements A∪B, A∩D, B. Montrer que les ´ev´enements A et B sont incompatibles.
Remarque 1.
Ω =∅
∅= Ω E =E
E et E sont incompatibles
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Cours de math´ematiques Probabilit´es
2 Notion de Probabilit´ e
D´efinition 4. On consid`ere un univers fini Ω = {e1, e2, . . . en}. Une loi de probabilit´esur Ω est l’association `a chaque ´eventualit´e ei de Ω d’un nombre r´eel pi appel´e probabilit´e tels que :
06pi 61 et p1+p2+· · ·+pn= 1 .
Exercice 4. On consid`ere le lancer d’un d´e ´equilibr´e. D´eterminer la loi de probabilit´e.
D´efinition 5. Une loi de probabilit´e P ={p1, p2, . . . pn} sur un univers fini Ω ={e1, e2, . . . en} est dite ´equir´epartie si on a p1 =p2 =· · ·=pn= 1
n.
Exercice 5. On consid`ere le lancer d’un d´e truqu´e pour lequel le un le quatre et le cinq sortent deux fois plus souvent que le deux et le trois et trois fois moins souvent que le six. D´eterminer la loi de probabilit´e.
D´efinition 6. Etant donn´´ e un univers fini Ωmuni d’une loi de probabilit´eP, on appelle proba- bilit´e d’un ´ev´enementE et on noteP(E) la somme des probabilit´espi associ´ees aux ´eventualit´es formant l’´ev´enementE.
Remarque 2.
P(∅) = 0 P(Ω) = 1 06P(E)61
Exercice 6. Calculer la probabilit´e d’obtenir un nombre pair dans le cas du d´e truqu´e de l’exer- cice pr´ec´edent.
Propri´et´e 1. On consid`ere un universΩcontenant n´eventualit´es muni d’une loi de probabilit´e
´equir´epartie P, alors si E est un ´ev´enement contenant p ´eventualit´es on a : P(E) = p
n = nombre de cas favorables nombre de cas possibles
Exemple 1. Calculer la probabilit´e d’obtenir un nombre pair dans le cas du d´e ´equilibr´e.
Propri´et´e 2. On consid`ere une loi de probabilit´e P sur un univers fini Ω et deux ´ev´enements E1 et E2, alors :
P(E1∪E2) =P(E1) +P(E2)−P(E1∩E2)
Corollaire 1. On consid`ere une loi de probabilit´eP sur un univers fini Ω et deux ´ev´enements E1 et E2 incompatibles, alors P(E1∪E2) =P(E1) +P(E2).
Corollaire 2. On consid`ere une loi de probabilit´eP sur un univers fini Ωet un ´ev´enement E, alors :
P(E) = 1−P(E)
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