Université de Cergy-Pontoise - Licence L3-S6
Examen - Analyse Complexe - Session 1 - Mardi 10 avril 2012
Durée : 3h00 - Documents, calculatrice, ordinateur et téléphone portable ne sont pas autorisés
.Les 3 exercices sont indépendants.
Exercice I
Pour (x, y)∈R2, on pose
Q(x, y) = 3x2y−y3−2x.
1. Calculer les dérivées partielles ∂Q
∂x et ∂Q
∂y.
Soit P :R2 →R une fonction différentiable sur R2 telle que la fonction f :C →C définie par
f(z) = P(x, y) + i Q(x, y), si z =x+iy soit holomorphe sur C.
2. Ecrire les relations qui lient les dérivées partielles ∂P
∂x, ∂P
∂y, ∂Q
∂x et ∂Q
∂y. 3. En utilisant l’expression de ∂P
∂x, en déduire que
P(x, y) =x3−3y2x+a(y), oùa:R→Rest une fonction dérivable. Calculer alors ∂P
∂y et en déduire l’expression exacte de P(x, y).
4. Montrer que la fonction f est donnée par
∀z ∈C, f(z) = z3−2iz+A,
avec A∈R.
Exercice II
Soit f :C→Cune fonction entière, c’est à dire holomorphe sur C. On suppose que f ne s’annule pas sur C : ∀z∈C, f(z)6= 0. Pourz ∈C, on pose g(z) = f0(z)
f(z). 1. Justifier l’existence d’une suite complexe (bn)n∈N∈CN telle que
∀z ∈C, g(z) = X+∞
n=1
bnzn.
Quel est le rayon de convergence de la série entière X+∞
n=1
bn−1 n zn?
2. En déduire qu’il existe une fonction G0 :C→C, holomorphe surC telle que
∀z ∈C, G00(z) = g(z) et G0(0) = 0 3. Pour z ∈C, on pose φ(z) =f(z)e−G0(z).
(a) Calculer φ0(z)pour z ∈C.
(b) En déduire que pour tout z ∈C, f(z) =f(0)eG0(z).
(c) Montrer qu’il existe λ ∈ C tel que la fonction holomorphe G(z) = G0(z) +λ vérifie
∀z ∈C, f(z) =eG(z) (∗)
(d) Une fonction G holomorphe sur C vérifiant (∗) est-elle unique ? Exercice III
On définit la fonction f par
f(z) = eiz z2+ 2z+ 2.
1. Montrer que la fonction f est holomorphe sur C\ {z1, z2}oùz1 =−1 +i etz2 = ¯z1 et que z1 etz2 sont des pôles de f. Préciser leur ordre et déterminer les résidus de la fonction f au voisinage de z1 et z2.
2. Pour R ≥2, soit CR+ le demi-cercle supérieur de centre0 et de rayon R défini par CR+={z ∈C | |z|=R et Im(z)>0}
et soit γR le lacet constitué du segment réel [−R, R] suivi de CR+ parcouru une fois dans le sens trigonométrique direct.
a) Représenter sur une figure γR pour un R≥2 et les pointsz1 etz2. b) Montrer que pour tout R ≥2,
Z
γR
f(z)dz =πe−(1+i).
3. Montrer que si z ∈CR+ avec R≥2, alors on a
|f(z)| ≤ 1
|(z+ 1)2+ 1| ≤ 1 (R−1)2−1, et ensuite que l’on a, pour tout R ≥2,
¯¯
¯ Z
CR+
f(z)dz
¯¯
¯≤ πR (R−1)2−1. 4. En déduire que
R→+∞lim Z
γR
f(z)dz = Z +∞
−∞
f(x)dx.
5. Donner la valeur de
I = Z +∞
−∞
eix
x2+ 2x+ 2dx.
