analyse statistique - S3 et alternants
examen - 13 janvier 2010
département Mesures Physiques - IUT1 - Grenoblecalculatrice "collège" et une feuille A4 recto-verso manuscrite autorisés ; durée : 2h
Les exercices sont totalement indépendants les uns des autres. Merci de soigner la rédaction et les justifications.
Exercice 1
Une cordée de trois grimpeurs se lance dans l’ascension d’une grande voie. Ils resteront plusieurs jours dans la paroi.
Ils ont a leur disposition un bidon de contenance 35 litres. La consommation d’eau par personne et par jour suit une loi normale d’espéranceµ= 2,1litres et d’écart-typeσ= 0,3 litre. Les consommations d’eau des grimpeurs sont supposées indépendantes les unes des autres.
1. quelle est la loi suivie par le volume total de l’eau consommée par les trois grimpeurs durantnjours ? Donner son espérance et son écart-type.
2. Comment choisirnpour que le risque de manquer d’eau soit inférieur ou égal à 1% ? 3. Calculer le volume d’eau consommé en moyenne au bout denjours.
corrigé succint : 1. (2 points) c’est la somme de3nvariables identiques et de même loi normale de paramètres 2,1et0,32: c’est donc une loi normale de paramètresµ= 3×n×2,1 = 6,3net de variance σ2= 3×n×0,09 = 0,27n.
2. (1.5 points) On cherchentel quep(X >35) = 1%. Maisp(X >35) =p(Z > 35−6.3n
√0.27n ), on veut doncntel que 35−6.3n
0.52√n = 2.33, soit environn= 5.12.nétant un entier,n= 5.
3. (.5 point) c’est5∗6.3 = 31.5
Exercice 2
On lance un dé rouge et un dé bleu, à 6 faces et parfaitement équilibrés, sur lesquels figurent le nombre 1 sur deux faces, le nombre 2 sur trois faces, le nombre 3 sur une face.
On noteX1le résultat lu sur le dé rouge,X2le résultat lu sur le dé bleu,S=X1+X2 etD=X1−X2.
1. Déterminer la loi conjointe du couple(X1, X2) 2. Déterminer la loi deSet la loi deD.
3. Que vautE[(X1−X2)(X1+X2)]? En déduire Cov(S, D).
4. Les variablesSetDsont-elles indépendantes ?
5. Calculer la loi deSconditionnée par l’événement|X1−X2|= 1.
corrigé succint : 1. (1 point)
X1|X2 1 2 3
1 1/9 1/6 1/18
2 1/6 1/4 1/12
3 1/18 1/12 1/36
2. (2 points) On additionne les probabilités correspondantes à chaque valeur prise parSdans le tableau précédent :p(S= 2) = 1/9,p(S= 3) = 2∗1/6 = 1/3,p(S= 4) = 2/18 + 1/4 = 13/36,p(S= 5) = 2∗1/12 = 1/6,p(S= 6) = 1/36.
De même,p(D= 0) = 7/18,p(D= 1) =p(D=−1) = 1/4,p(D= 2) =p(D=−2) = 1/18.
3. (1 point)E[(X1−X2)(X1+X2)] =E(X12−X22) =E(X12)−E(X22) = 0carX1etX2
ont la même loi.
On vient donc de calculer E(SD) = 0, et par conséquent Cov(S, D) = E(SD) − E(S)E(D) = 0−0 = 0carDest centrée...
4. (1 point) Non (bien que la covariance soit nulle) : par exemple, p(D = 0, S = 5) est nulle (il est impossible d’avoir une différence nulle et une somme égale à 5) alors que p(D= 0)×p(S= 5)est non nul.
5. (1 point) SiD=±1,Sne peut prendre que les valeurs 3 (si l’un des dés fait 1 et l’autre 2) ou 5 (si l’un des dés fait 2 et l’autre 3).
Ainsi,p(S = 3||D| = 1) = p(S = 3,|D| = 1)/p(|D| = 1) = (1/3)/(1/2) = 2/3, et p(S= 5||D|= 1) =p(S= 5,|D|= 1)/p(|D|= 1) = (1/6)/(1/2) = 1/3.
Exercice 3 Soitkun réel, etf(x) =ke−|x|.
1. pour quelle valeur dek fest-elle la fonction densité d’une variable aléatoireX? 2. Calculer alors l’espérance de la variableX, ainsi que la probabilitép(X <1).
corrigé succint : (3 points) On veut1 =R
Rf=k(R+∞
0 e−xdx+R0
−∞exdx) = 2k, soitk= 1/2.
La fonction densitéfest paire :x7→xf(x)est impaire, donc l’espérance est nulle (même pas besoin d’intégrer par parties).
p(X≤1) = 0.5(R1
0 e−xdx+R0
−∞exdx) = 1−e−1/2.
Exercice 4
Un jour d’élection, on interroge 1220 personnes, choisies au hasard, sur leur vote : 755 d’entre-elles ont voté pour le candidatA. Déterminer un intervalle de confiance 95% pour le résultat du candidatAsur l’ensemble des électeurs.
corrigé succint : (3 points) Application directe du cours sur les estimations de proportion : [755/1220±1,96×p
(755/1220)(1−755/1220)/1220soit[0,592; 0,646].
Exercice 5
Un fabricant de vêtements de montagne teste deux membranes respirantes.
Sur un échantillon de 42 pièces, la respirabilité moyenne de la membrane 1 est de 17 000g.m−2.j−1, avec un écart-type estimé à 1 000g.m−2.j−1.
Sur un échantillon de 51 pièces, la respirabilité moyenne de la membrane 2 est de 18 000g.m−2.j−1, avec un écart-type estimé à 1 500g.m−2.j−1.
Tester, au risque 1%, le fait que les deux membranes aient la même respirabilité.
corrigé succint : (3 points) Application directe de la formule de cours sur les comparaisons de moyenne : si les membranes sont identiques, alors dans 99% des cas la différence de respirabilité moyenne sur les deux échantillons
est dans l’intervalle±2.57p
(10002/42 + 15002/51)soit[−671,1; +671,1].
Ici, sur nos deux échantillons, la différence constatée est de 1000 : on rejette l’hypothèse.
Exercice 6
On suppose que la masse des vestes réalisées avec la membrane choisie suite à l’étude de l’exercice 5 est répartie selon une loi normale de paramètresµetσ2.
Quatre vestes sont pesées, de masse 352 g, 361 g, 348 g, 355 g.
Donner l’estimation ponctuelle deµet deσ2.
Donner une estimation par un intervalle de confiance 98% deµ.
corrigé succint : (4 points) Application directe de la formule de cours sur l’estimation par loi de Student (données réparties normalement, petit échantillon) : on trouvex¯= 354ets2= 30; pour la loi de Student à 3 degrés de liberté,t= 4,5407, donc l’intervalle de confiance est[341,56; 366,43].
barême sur 22 et notes multipliées par 1.1 (sauf les 20...) bilan S3 : moyenne 8.84 écart-type 4,34
bilan alternants : moyenne 9.43 écart-type 5.06
2
