Test DDS S1 2013-2014 – Correction light Calculatrice et formulaire A4 recto verso manuscrit autorisés

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Test DDS S1 2013-2014 – Correction light

Calculatrice et formulaire A4 recto verso manuscrit autorisés – durée : 2h

Partie 1: Cisaillement (30 minutes)

On étudie une pince coupante, symétrique selon l’axe 𝑥⃗, on souhaite couper un fil électrique en cuivre de diamètre d, le fil est placé à une distance a de l’axe de rotation de la pince, les actions de l’utilisateur (Fu/1, Fu/2) sur le manche de la pince sont considérées appliquées à une distance b de l’axe de rotation. Les deux parties de la pinces sont reliées par un axe en acier (au point O) de diametre D.

On considerera toutes les actions (utilisateur sur manche et lames sur fil) parallèles à l’axe 𝑦⃗.

Données numériques (le fil n’est pas représenté à l’échelle) :

 d=2mm

 D=10mm

 a= 20mm, b=60mm

 Le fil a une resistance à la rupture par cisaillement de 70MPa

 L’axe en acier a une resistance pratique au cisaillement à déterminer

𝑥⃗

𝑦⃗

O

𝐹_𝑢/1 ⃗

a

b

𝐹_𝑢/2 ⃗

A B

2

1

Page 2 sur 6 a) Déterminer l’effort F1/f ( : lame du bras 1 sur fil) nécessaire pour couper le fil.

F1/f =τmoy.S = ¾.τmax.S = ¾.70.π.d²/4 = 165N (220 N sans concentration de contrainte)

b) On isole la partie 1 de la pince (schématisée ci-dessous). Reporter sur le graphe suivant les efforts appliqués sur la partie 1, déterminer le lien entre l’effort 𝐹 ⃗𝑢/1et 𝐹 ⃗𝑓/1. Déterminer la valeur de ‖𝐹 ⃗‖. (BAME au brouillon) 𝑢/1

Système matériel isolé : SMI={Partie 1 de la pince}

On applique le Principe Fondamental de la Statique : Somme des moments en O autour de 𝑧⃗ :

𝐹_𝑢/1.b-𝐹_𝑓/1.a=0

 𝐹_𝑢/1= a/b.𝐹_𝑓/1 = 55N (73.3 N si pas de concentration de contrainte)

c) Déterminer la résistance pratique au cisaillement minimale de l’axe afin de ne pas le plastifier (de ne pas le détériorer de façon irréversible), on considèrera que cet axe est cisaillé sur une seule section.

On utilise l’équation du PFS en résultantes selon y : - 𝐹_𝑢/1- 𝐹_𝑓/1 +𝐹_{𝑎𝑥𝑒/1} =0

Donc 𝐹_{𝑎𝑥𝑒/1} = 𝐹_𝑢/1+ 𝐹_𝑓/1 = 220 N (293.2 sans concentration de contraintes) RPCaxe=𝐹_{1/𝑎𝑥𝑒}/Saxe=3,7 MPa ( ? MPa sans concentration de contraintes)

𝑥⃗

𝑦⃗

A O

B

a b

O

1

2 𝐹_𝑢/1

⃗ 𝐹_𝑓/1

⃗

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Partie 2: Traction (45 minutes)

Une barre 3 considérée indéformable est pendue à deux poutres 1 et 2 déformables, elles-mêmes attachées à un bâti indéformable. Toutes les liaisons considérées sont des pivots d’axe sortant du plan de la feuille. Un effort 𝐹 ⃗_3̅/3 est appliqué en bout de barre 3, le même effort est appliqué au point A.

Les barres 1 et 2 ont des propriétés respectivement notées L1,S1,E1 et L2,S2,E2

On souhaite que la barre 3 reste horizontale.

a) Déterminer le lien entre 𝐹 ⃗_{1/3, 𝐹} ⃗_{2/3 et 𝐹} ⃗_3̅/3 en fonction des longueurs a et b.

Système matériel isolé : SMI={La barre 3}

On applique le Principe Fondamental de la Statique : Somme des moments en A autour de 𝑧⃗ :

𝐹_2/3. 𝑎 − 𝐹_3̅/3. (𝑎 + 𝑏) = 0

𝐹2/3= 𝐹3̅/3.^𝑎+𝑏_𝑎 Somme des forces sur 𝑦⃗ :

𝐹_1/3+ 𝐹_2/3− 2. 𝐹_3̅/3=0 => 𝐹_1/3= 𝐹_3̅/3.^𝑎−𝑏_𝑎

A B C

Barre 1 Barre 2

Barre 3

a b 𝐹 ⃗_3̅/3

𝐹_3̅/3 ⃗

𝑥⃗

𝑦⃗

Page 4 sur 6 b) Déterminer le lien entre allongement de la barre 1 et F3/1, idem pour la barre 2

𝛥𝐿𝑖 =𝐿𝑖. 𝐹3/𝑖

𝑆𝑖. 𝐸𝑖

c) Déterminer le rapport a/b permettant que la barre 3 reste horizontale après déformation des barres 1 et 2. On considèrera que les deux barres ont même section et même module de Young.

𝛥𝐿1 = 𝛥𝐿2

…

𝑎

𝑏=𝐿2 + 𝐿1 𝐿1 − 𝐿2

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Partie 3: Torseurs de cohésion (45 minutes)

p=500N/m a=1m

a) Montrer que YB=-750N et YD=-250N Système matériel isolé : SMI={La poutre}

On applique le Principe Fondamental de la Statique :

Somme des moments en B autour de 𝑧⃗ : Somme des forces sur 𝑦⃗ :

−^𝑝.𝑎²₂ +^{3.𝑝.𝑎²}₂ + 2. 𝑎. 𝑌̅_𝐷 = 0 𝑝. 𝑎 + 𝑌̅_𝐵+ 𝑝. 𝑎 + 𝑌̅_𝐷= 0

2. 𝑎. 𝑌̅𝐷 = −𝑝. 𝑎² 𝑌̅𝐵 = −^3.𝑝.𝑎₂ = −750 𝑁

𝑌̅𝐷= −^𝑝.𝑎₂ = −250 𝑁

b) Déterminer l’expression analytique des éléments du torseur de cohésion appliqué à la poutre. (Utiliser les notations YB et YD seulement si vous n’en avez pas trouvé les expressions analytiques)

Zone AB : Côté gauche 𝑇𝑦(𝑥) = −[𝑝. 𝑥]

𝑇𝑦(𝑥) = −𝑝. 𝑥

𝑀𝑓𝑧(𝑥) = − [−^𝑝.𝑥²₂ ] 𝑀𝑓𝑧(𝑥) =^𝑝.𝑥²₂

Zone BC : Côté droit

𝑇𝑦(𝑥) = ∫ 𝑝. 𝑑𝜆_2.𝑎^3.𝑎 + 𝑌̅𝐷 𝑇𝑦(𝑥) = 𝑝. 𝑎 −^𝑝.𝑎₂

𝑇𝑦(𝑥) =^𝑝.𝑎₂

𝑀𝑓𝑧(𝑥) = ∫ 𝑝. (𝜆 − 𝑥). 𝑑𝜆_2.𝑎^3.𝑎 + (3. 𝑎 − 𝑥). 𝑌̅𝐷 𝑀𝑓𝑧(𝑥) = 𝑝.^{(3.𝑎−𝑥)²}₂ − 𝑝.^{(2.𝑎−𝑥)}₂ ²−^𝑝.𝑎₂ . (3. 𝑎 − 𝑥)

Zone CD : Côté droit

𝑇𝑦(𝑥) = ∫ 𝑝. 𝑑𝜆_𝑥^3.𝑎 + 𝑌̅_𝐷 𝑇𝑦(𝑥) = 𝑝. (3. 𝑎 − 𝑥) −^𝑝.𝑎₂

𝑀𝑓𝑧(𝑥) = ∫ 𝑝. (𝜆 − 𝑥). 𝑑𝜆_𝑥^3.𝑎 + (3. 𝑎 − 𝑥). 𝑌̅𝐷 𝑀𝑓𝑧(𝑥) = 𝑝.^{(3.𝑎−𝑥)²}₂ −^𝑝.𝑎₂ . (3. 𝑎 − 𝑥)

p p

x ⃗ y

⃗

A B D

a a a

C

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AB BC CD

A

x=0 B

x=a C

x=2.a D

x=3.a

Ty 0 -500 N 250 N 250 N 250 N -250 N

Mfz 0 250 N.m 250 N.m 0 0 0

c) Tracer les graphes d’évolution de ces éléments le long de la poutre