TEST DE DDS 2012-2013
Correction
EXERCICE 1 – (15 min – 4 points) : Dans le mécanisme ci-contre, les pièces 1 et 2, encastrées à leurs pieds, sont soumises à de la traction par l’intermédiaire de l’ensemble 3 considéré comme infiniment rigide.
Le montage est tel que 3 reste parallèle à l'encastrement (translation rectiligne verticale).
Solide 1 : 𝐸1 = 210000𝑀𝑃𝑎 - 𝑆1 = 200 𝑚𝑚2
Solide 2 : 𝐸2 = 80000𝑀𝑃𝑎 - 𝑆2 = 100 𝑚𝑚2
𝐹 = 50 𝑘𝑁 - 𝐿 = 500 𝑚𝑚 Déterminez :
1. la contrainte dans les pièces 1 et 2.
2. l'allongement de l'ensemble.
Principe fondamental de la Statique appliqué à l’ensemble 3 : 𝐹1+ 𝐹2− 𝐹 = 0 (1 point)
1 équation à 2 inconnues. Il faut trouver une équation supplémentaire.
Pour cela on va utiliser la particularité de la déformation : ∆𝐿1 = ∆𝐿2 Allongement :
D’une manière générale : 𝜀𝐼𝑖 =∆𝐿𝐿𝑖
𝑖 𝜎𝐼𝑖 =𝐹𝑆𝑖
𝑖 𝜎𝐼𝑖 = 𝐸𝑖. 𝜀𝐼𝑖
∆𝐿𝑖 = 𝜀𝐼𝑖. 𝐿𝑖 =𝜎𝐸𝐼𝑖
𝑖. 𝐿𝑖 ∆𝐿𝑖 = 𝐹𝐸𝑖.𝐿𝑖
𝑖.𝑆𝑖 (1 point) Dans notre cas ∆𝐿1 = ∆𝐿2 𝐹𝐸1.𝐿1
1.𝑆1 =𝐸𝐹2.𝐿2
2.𝑆2
On a maintenant un système de 2 équations à 2 inconnues qu’il faut résoudre. On obtient : 𝐹1 =𝐸 𝐸1.𝑆1
1.𝑆1+𝐸2.𝑆2. 𝐹 et 𝐹2 =𝐸 𝐸2.𝑆2
1.𝑆1+𝐸2.𝑆2. 𝐹 ∆𝐿1 = ∆𝐿2 =𝐸 𝐿
1.𝑆1+𝐸2.𝑆2. 𝐹 (1 point) Contraintes dans les pièces 1 et 2 :
𝜎1 = 𝐸 𝐸1
1.𝑆1+𝐸2.𝑆2. 𝐹 et 𝜎2 =𝐸 𝐸2
1.𝑆1+𝐸2.𝑆2. 𝐹 (1 point) Application numérique :
𝝈𝑰𝟏 = 𝟐𝟏𝟎 𝑴𝑷𝒂 𝝈𝑰𝟐 = 𝟖𝟎 𝑴𝑷𝒂 ∆𝑳 = 𝟎, 𝟓𝟎𝟎 𝐦𝐦
à montage rapide. Ce maillon permet la constitution rapide d’élingues, de chaînes, crochets ou anneaux. Ce maillon est construit à partir de deux demi anneaux. La liaison entre ces deux demi anneaux 1 et 2 est assurée par l’axe 3 de diamètre 𝑑 = 8 𝑚𝑚.
L’axe 3 est en acier C42 trempé dont la limite pratique au cisaillement vaut 𝑅𝑝𝑐= 300𝑀𝑃𝑎.
1. Faire un dessin (suffisamment grand) de l’axe 3 avec les efforts appliqués sur cet axe, les sections sollicitées… Indiquez les hypothèses nécessaires (géométrie, répartition des efforts…).
(1 point) Hypothèses :
- Géométrie parfaite (Cylindricité/circularité, coaxialité…) - Pas de frottement
- Pas de jeux
- Matériau parfaitement homogène, isotrope et continu - Effort F équitablement réparti entre chaque section
- Répartition de l’effort tranchant constant dans la section droite
2. Déterminez la valeur 𝑇 de l’effort tranchant dans chaque section en fonction de l’effort 𝐹.
(1 point)
L’effort tranchant est identique dans chaque section (cf. hypothèses). Il y a 4 sections sollicitées. Il vaut donc :
𝑇 =𝐹 4
Application numérique : 𝑻 =𝐹4
3. Déterminez l’effort maximal 𝐹𝑚𝑎𝑥 que peut transmettre ce maillon en tenant compte d’un coefficient de sécurité 𝑠 de 4.
(1,5 points) Par définition :
𝜏 = 𝑇
𝑆𝑐𝑖𝑠𝑎𝑖𝑙𝑙é𝑒 = 𝐹
4. 𝑆𝑐𝑖𝑠𝑎𝑖𝑙𝑙é𝑒 ≤ 𝑅𝑝𝑐 𝑠
𝐹 est maxi à la limite :
𝐹𝑚𝑎𝑥 =𝑅𝑝𝑐. 𝜋. 𝑑2 𝑠
Application numérique : 𝑭𝒎𝒂𝒙 = 𝟏𝟓𝟎𝟕𝟗, 𝟔𝟒 𝑵
4. Déterminez le diamètre minimum de l’axe 3 permettant la transmission d’un effort 𝐹 de 20 𝑘𝑁 avec un coefficient de sécurité 𝑠 de 4.
(1,5 points) Par définition :
𝜏 = 𝑇
𝑆𝑐𝑖𝑠𝑎𝑖𝑙𝑙é𝑒 = 𝐹
4. 𝑆𝑐𝑖𝑠𝑎𝑖𝑙𝑙é𝑒 ≤ 𝑅𝑝𝑐 𝑠
On sort 𝑑 de la relation
𝑑 > √ 𝑠. 𝐹 𝜋. 𝑅𝑝𝑐 Application numérique :
𝒅𝒎𝒊𝒏𝒊 = 𝟗, 𝟐𝟏 𝒎𝒎
EXERCICE 3 – (1h – 11 points) : Soit la section droite ci-contre, symétrique par rapport à l’axe 𝑦⃗. Elle est décomposée en éléments simples :
𝑆𝐴 carré plein de coté 40 mm
𝑆𝐵 carré creux de coté 20 mm
𝑆𝐶 demi-disque creux de diamètre 20 mm
1. Déterminez la position du centre de gravité G. (Ne remplir que les cases utiles !!)
Dimensions en mm Signe 𝑆𝑖 𝑥𝑖 𝑥𝑖. 𝑆𝑖 𝑦𝑖 𝑦𝑖. 𝑆𝑖
𝑆𝐴 + 1600 0 0
𝑆𝐵 - 400 10 4000
𝑆𝐶 - 157,08 -4,24 -666,67
∑ 1042,92 -3333,33
(2 points)
𝑥𝐺 = 0 (L’axe 𝑦⃗ est axe de symètrie) 𝑦𝐺 = ∑ 𝑦∑ 𝑆𝑖.𝑆𝑖
𝑖 = −3333,331042,92
𝒙𝑮 = 𝟎 𝒚𝑮= −𝟑, 𝟏𝟗𝟔 𝒎𝒎
2. En vous aidant du tableau, déterminez la valeur du moment statique de l’ensemble par rapport à l’axe O𝑥⃗ et celui par rapport à l’axe O𝑦⃗.
(1 point)
C’est directement les valeurs des ∑ 𝑥𝑖. 𝑆𝑖 et ∑ 𝑦𝑖. 𝑆𝑖
𝑴𝒔𝑶𝒙 = −𝟑𝟑𝟑𝟑, 𝟑𝟑 𝒎𝒎𝟑 𝑴𝒔𝑶𝒚 = 𝟎 𝒎𝒎𝟑
3. Pour la suite on prendra 𝑥𝐺 = 0 et 𝑦𝐺 = −3,196 𝑚𝑚. Pour chaque élément de base 𝑖 (𝑖 = 𝑆𝐴, 𝑆𝐵, 𝑆𝐶), déterminez 𝐼𝐺𝑥𝑖 , 𝐼𝐺𝑦𝑖 et 𝐼𝐺𝑥𝑦𝑖 . Faites un schéma détaillé pour chaque élément étudié.
Elément 𝑺𝑨 : (2 points)
b= 40 mm
h= 40 mm
X_XG= 0 mm
Y_YG= -3.19615326 mm
IX= 213333.33 mm^4
IY= 213333.33 mm^4
MsX= 0 mm^3
MsY= 0 mm^3
IXG= 229677.966 mm^4
IYG= 213333.333 mm^4
Elément 𝑺𝑩 : (2 points)
b= 20 mm
h= 20 mm
X_XG= 0 mm
Y_YG= -13.1961533 mm
IX= 13333.33 mm^4
IY= 13333.33 mm^4
MsX= 0 mm^3
MsY= 0 mm^3
IXG= 82988.718 mm^4
IYG= 13333.333 mm^4
Elément 𝑺𝑩𝑪 : (2 points)
D= 20 mm
X_XG= 0 mm
Y_YG= -3.19615326 mm
IX= 3926.99082 mm^4
IY= 3926.99082 mm^4
MsX= -666.666667 mm^3
MsY= 0 mm^3
IXG= 1270.08373 mm^4
IYG= 3926.99082 mm^4
Récapitulatif : (1 point)
Dimensions en mm Signe 𝑰𝑮𝒙 𝑰𝑮𝒚 𝑰𝑮𝒙𝒚
𝑺𝑨 + 229 677,966 213 333,333 0
𝑺𝑩 - 82 988,718 13 333,333 0
𝑺𝑪 - 1 270,084 3 926,991 0
∑ 145 419,165 196 073,009 0
4. Déterminez l’orientation du repère principal d’inertie.
(1 point)
L’axe 𝑦⃗ est axe de symétrie. Le repère (𝑥⃗, 𝑦⃗) est donc directement le repère principal d’inertie.
