/20 TEST DE DDS 2010-2011

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TEST DE DDS 2010-2011

Calculatrice et tous documents autorisés.

Téléphone et autres appareils électroniques interdits.

La clarté des explications sera prise en compte

Durée 2h

Note

I II III IV V

/2,5 /5 /7,5 /2,5 /2,5

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EXERCICE 1 (15 min) : Une éprouvette de traction en acier (Caractéristiques : E= 210 000 MPa ;

 = 0,3) de section circulaire Ø = 15 mm et de longueur L = 100 mm est soumise à un effort normal de 60.10³ N. Calculez la contrainte I et les déformations I, II, III. Déterminez la longueur et la taille de la section après déformation. Conclusions.

𝝈_𝑰 = 𝟑𝟑𝟗, 𝟓𝟑 𝑴𝑷𝒂 𝑳_{𝒂𝒑𝒓è𝒔 𝒅é𝒇𝒐} = 𝟏𝟎𝟎, 𝟏𝟔𝟏𝟔𝟖 𝒎𝒎 𝜺_𝑰= 𝟏, 𝟔𝟏𝟔𝟖. 𝟏𝟎^−𝟑

𝜺_𝑰𝑰 = −𝟎, 𝟒𝟖𝟓𝟎𝟓. 𝟏𝟎^−𝟑 𝒅_{𝒂𝒑𝒓è𝒔 𝒅é𝒇𝒐} = 𝟏𝟒, 𝟗𝟗𝟐𝟕𝟐 𝒎𝒎 𝜺_𝑰𝑰𝑰 = −𝟎, 𝟒𝟖𝟓𝟎𝟓. 𝟏𝟎^−𝟑

𝜎_𝐼 =𝐹

𝑆 = 60. 10³

𝜋.¹⁵₄² = 339,53 𝑀𝑃𝑎 𝜀_𝐼 = 𝜎_𝐼

𝐸 = 339,53

210000= 1,6168. 10⁻³

𝜀_𝐼𝐼 = 𝜀_𝐼𝐼𝐼 = −𝜈. 𝜀_𝐼 = −0,3 × 1,6168. 10⁻³= −0,48505. 10⁻³

𝐿_{𝑎𝑝𝑟è𝑠 𝑑é𝑓𝑜} = 𝐿. 1 + 𝜀_𝐼 = 100 × 1 + 1,6168. 10⁻³ = 100,16168 𝑚𝑚 𝑑_{𝑎𝑝𝑟è𝑠 𝑑é𝑓𝑜} = 𝑑. 1 + 𝜀_𝐼𝐼 = 15 × 1 − 0,48505. 10⁻³ = 14,99272 𝑚𝑚

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EXERCICE 2 (30 min) : Pour cette section droite de poutre (cote en mm), déterminez la position du centre de gravité, l’orientation du repère principal puis calculez les moments quadratiques principaux IZ et IY. On notera OA le centre de A et A’ et OB celui de B et B’.

IY = 32 017.33 mm⁴ IZ = 11 605.33 mm⁴

N° Dim Si Yi Yi.Si Zi Zi.Si

Carré A coté 20 400 0 0 -10 -4000

Carré A’ coté 16 -256 0 0 -10 2560

Carré B coté 16 256 0 0 8 2048

Carré B’ coté 12 -144 0 0 8 -1152

Somme 256 0 -544

En fonction de la géométrie, tout ou partie des cases ne sont pas à remplir

YG = 0 mm ZG = -2,125 mm Z

A

B

N° IY IZ

Carré A

+

^{38 139.58} ^{13 333.33}

Carré A’

-

^{21 337.33} ^{5 461.33}

Carré B

+

^{31 705.33} ^{5 461.33}

Carré B’

-

^{16 490.25} ^{1 728.00}

Total 32 017.33 11 605.33

A’ B’

Y

A A'

c= 20 mm c’= 16 mm

Y_YG= 0 mm Y_YG= 0 mm

Z_ZG= -7.875 mm Z_ZG= -7.875 mm

IY= 13 333.33 mm^4 IY= 5 461.33 mm^4

IZ= 13 333.33 mm^4 IZ= 5 461.33 mm^4

MsY= 0 mm^3 MsY= 0 mm^3

MsZ= 0 mm^3 MsZ= 0 mm^3

IYG= 38 139.58 mm^4 IYG= 21 337.33 mm^4

IZG= 13 333.33 mm^4 IZG= 5 461.33 mm^4

B B'

c= 16 mm c’= 12 mm

Y_YG= 0 mm Y_YG= 0 mm

Z_ZG= 10.125 mm Z_ZG= 10.125 mm

IY= 5 461.333333 mm^4 IY= 1 728 mm^4

IZ= 5 461.333333 mm^4 IZ= 1 728 mm^4

MsY= 0 mm^3 MsY= 0 mm^3

MsZ= 0 mm^3 MsZ= 0 mm^3

IYG= 31 705.33 mm^4 IYG= 16 490.25 mm^4

IZG= 5 461.33 mm^4 IZG= 1 728.00 mm^4

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EXERCICE 3 (45 min) : Pour cette poutre à section carrée (de coté de 20mm), de module d’élasticité 210 000MPa, calculez les actions à l’encastrement en A.

Pour la suite on prendra : XA = 0 YA = 50 N NA = - 50 N.m

Déterminez les équations des efforts tranchants et des moments fléchissant sur chaque zone.

X A

L^{= 1m}

B

(=¹/2.p.L)

𝑿_𝑨 = 𝟎

𝒀_𝑨 =^𝟏_𝟐. 𝒑. 𝑳 = 𝟓𝟎 𝑵

𝑵_𝑨 = −^𝟏_𝟐. 𝒑. 𝑳^𝟐 = −𝟓𝟎 𝑵. 𝒎 p = 100 N/m

L^{= 1m}

C Y

Zone [AB[

𝑇𝑦 𝑥 = − 𝑝. 𝑑𝜆^𝐿

𝑥

+ 𝐹 𝑇𝑦 𝑥 = −𝑝. 𝐿 − 𝑥 +¹₂. 𝑝. 𝐿

𝑇𝑦 𝑥 = 𝑝. 𝑥 −¹₂. 𝑝. 𝐿

𝑀𝑓𝑧 𝑥 = − 𝑝. 𝜆 − 𝑥 . 𝑑𝜆

𝐿 𝑥

+ 𝐹. 2. 𝐿 − 𝑥 𝑀𝑓𝑧 𝑥 = −𝑝. 𝐿 − 𝑥 ²

2 +¹₂. 𝑝. 𝐿. 2. 𝐿 − 𝑥 𝑀𝑓𝑧 𝑥 = −¹₂. 𝑝. 𝑥²+¹₂. 𝑝. 𝐿. 𝑥 +¹₂. 𝑝. 𝐿²

Zone [BC[

𝑇𝑦 𝑥 = 𝐹 𝑇𝑦 𝑥 =¹₂. 𝑝. 𝐿

𝑀𝑓𝑧 𝑥 = 𝐹. 2. 𝐿 − 𝑥 𝑀𝑓𝑧 𝑥 =¹₂. 𝑝. 𝐿. 2. 𝐿 − 𝑥

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Tracez les diagrammes des efforts tranchants et des moments fléchissant à partir de leurs équations en précisant les valeurs particulières. Vérifiez la cohérence des résultats.

Tracez les diagrammes sans les équations si vous n’êtes pas parvenus à les obtenir.

Précisez le lieu et la valeur de la contrainte maxi

Lieu de la contrainte maxi : 𝒙 =_𝟐^𝑳

Valeur de la contrainte maxi : 𝝈_𝒎𝒂𝒙 = ±𝟒𝟔, 𝟖𝟖 𝑴𝑷𝒂 En =^𝐿₂ , 𝑇𝑦 est nul. 𝑀𝑓𝑧 est donc maxi à cette abscisse.

𝜎_𝑚𝑎𝑥 = ±𝑀𝑓𝑧 𝑥_𝑚𝑎𝑥 𝐼_𝐺𝑧 .𝑐

2= ±

58. 𝑝. 𝐿²

𝑐4 12

.𝑐

2= ±15. 𝑝. 𝐿²

4. 𝑐³ = ±46,88 𝑀𝑃𝑎

La contrainte maxi est positive sur la fibre supérieure (fibre en traction) et négative sur la fibre inférieure (fibre en compression).

X A

Y

L^{= 1m}

B

(=¹/2.p.L)

p = 100 N/m

L^{= 1m}

C

−

¹₂^.𝑝.𝐿

1 2.𝑝.𝐿

1

2.𝑝.𝐿² 1

2.𝑝.𝐿² 5

8.𝑝.𝐿²

𝑇𝑦 𝑥

𝑀𝑓𝑧 𝑥

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La flèche maxi se situe à l’extrémité de la poutre. Déterminer la valeur de la flèche maxi.

Lieu de la flèche maxi : 𝒙 = 𝟐 𝒎

Valeur de la flèche maxi : 𝒗_𝒎𝒂𝒙 = 𝟑𝟕, 𝟐𝟎 𝒎𝒎 Zone [AB[

𝐸. 𝐼_𝐺𝑧. 𝑣^′′ = 𝑀𝑓𝑧 𝑥 = −𝑝. 𝐿 − 𝑥 ²

2 +¹₂. 𝑝. 𝐿. 2. 𝐿 − 𝑥 𝐸. 𝐼_𝐺𝑧. 𝑣^′ = 𝑝. 𝐿 − 𝑥 ³

6 −¹₄. 𝑝. 𝐿. 2. 𝐿 − 𝑥 ²+ 𝐶₁ 𝐸. 𝐼_𝐺𝑧. 𝑣 = −𝑝. 𝐿 − 𝑥 ⁴

24 +₁₂¹. 𝑝. 𝐿. 2. 𝐿 − 𝑥 ³+ 𝐶₁+ 𝐶₂

Zone [BC[

𝐸. 𝐼_𝐺𝑧. 𝑣^′′ = 𝑀𝑓𝑧 𝑥 = ¹₂. 𝑝. 𝐿. 2. 𝐿 − 𝑥 𝐸. 𝐼_𝐺𝑧. 𝑣^′ = −¹₄. 𝑝. 𝐿. 2. 𝐿 − 𝑥 ²+ 𝐶₃ 𝐸. 𝐼_𝐺𝑧. 𝑣 = ₁₂¹. 𝑝. 𝐿. 2. 𝐿 − 𝑥 ³+ 𝐶₃. 𝑥 + 𝐶₄

Conditions aux limites :

En 𝑥 = 0 pas de pente : 𝑣^′ = 0 𝐶₂ = −¹⁵₂₄. 𝑝. 𝐿⁴

En 𝑥 = 0 pas de dplct : 𝑣 = 0 𝐶₁ =⁵₆. 𝑝. 𝐿³

En 𝑥 = 𝐿 pas de dplct : 𝑣_𝐴𝐵 = 𝑣_𝐵𝐶 et 𝑣′_𝐴𝐵 = 𝑣′_𝐵𝐶 𝐶₃ = ⁵₆. 𝑝. 𝐿³ 𝐶₄ = −⁵₈. 𝑝. 𝐿⁴

Valeur de la flèche maxi : 𝐸. 𝐼_𝐺𝑧. 𝑣 = ₁₂¹. 𝑝. 𝐿. 2. 𝐿 − 𝑥 ³+5

6. 𝑝. 𝐿³. 𝑥 −5 8. 𝑝. 𝐿⁴ 𝑣 = 1

𝐸. 𝐼_𝐺𝑧. ₁₂¹. 𝑝. 𝐿. 2. 𝐿 − 𝑥 ³+5

6. 𝑝. 𝐿³. 𝑥 −5

8. 𝑝. 𝐿⁴ 𝑣_𝑚𝑎𝑥 = 1

𝐸. 𝐼_𝐺𝑧. +5

6. 𝑝. 𝐿³. 𝑥 −5

8. 𝑝. 𝐿⁴ 𝒗_𝒎𝒂𝒙 = 𝟐𝟓. 𝒑. 𝑳^𝟒

𝟐𝟒. 𝑬. 𝑰_𝑮𝒛

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EXERCICE 4 (15 min) : Pour cette poutre, sans calcul préalable, tracez le diagramme des actions de cohésions de Ty et Mfz en précisant (avec explications) les valeurs particulières. L’étude statique donne YA = ¹/2.p.L et YC = ⁵/2.p.L

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EXERCICE 5 (15 min): Soit l’état de contrainte suivant. Calculer la position du repère principal et la valeur des contraintes principales de manière analytique. Retrouver ces valeurs par le tracé du cercle de Mohr.

P

σ21 = -350 MPa σ22 = -200 MPa

x1

X2

σ12 = -350 MPa σ11 = 850 MPa

𝑡𝑎𝑛 2. 𝛼₀ = 2. 𝜏

𝜎₁₁− 𝜎₂₂= −16,85°

𝜎_𝐼 =𝜎₁₁+ 𝜎₂₂

2 +𝜎₁₁− 𝜎₂₂

2 . 𝑐𝑜𝑠 2. 𝛼₀ + 𝜏. 𝑠𝑖𝑛 2. 𝛼₀ = 955,97 𝑀𝑃𝑎 𝜎_𝐼𝐼 =𝜎₁₁+ 𝜎₂₂

2 +𝜎₁₁− 𝜎₂₂

2 . 𝑐𝑜𝑠 2. 𝛼₀+ 𝜋 + 𝜏. 𝑠𝑖𝑛 2. 𝛼₀+ 𝜋 = −305,97 𝑀𝑃𝑎 Attention ! Dans l’équation ci-dessus, il faut mettre l’angle en radian !!

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Analytique 𝜎_𝐼 = 955,97 𝑀𝑃𝑎 𝜎_𝐼𝐼 = −305,97 𝑀𝑃𝑎 𝜃 = −16,85

Graphique 𝜎_𝐼 = 960 𝑀𝑃𝑎 𝜎_𝐼𝐼 = −310 𝑀𝑃𝑎 𝜃 = −17°

1 carreau = 50MPa