L2 MM Algèbre Feuille TD4, 2010-2011
∗ Savoir reconnaitre un produit scalaire et utiliser ses propriétés.
Exercice 1. SoitE un espace vectoriel surR. Déterminer parmi les applications ϕsuivantes, dénies surE×E lesquelles correspondent à un produit scalaire surE :
a)E=R, ϕ(x, y) =x2+ 2xy
b)E=R2,ϕ((x, y),(x0, y0)) =xx0+yy0−2xy0+ 2yx0 c)E=R2,ϕ((x, y),(x0, y0)) = 3xx0+yy0+ 2xy0+ 2yx0 d)E=R2[X],ϕ(P, Q) =P(0)Q(0) +P(1)Q(1)
e)E=C0([0,1],R), l'espace des fonctions continues sur[0,1]à valeurs dansRetϕ(f, g) = Z 1
0
f gdt. Exercice 2. Soitaun réel et ϕa :R3×R3−→R, dénie par :
ϕ((x1, x2, x3),(y1, y2, y3)) =x1y1+x2y2+ (a+ 12)x3y3−3(x1y3+x3y1) + 2(x2y3+x3y2) a) Montrer queϕa est une forme bilinéaire symétrique.
b) Déterminer les valeurs deapour lesquellesϕa est un produit scalaire.
Exercice 3. SoitE=Mn(R)etϕdénie surE2 parϕ(A, B) =tr(tAB). a) Montrer queϕest un produit scalaire surE.
b) SoitA∈E tel quetAA= 0. Montrer queA= 0.
Exercice 4. Soit h,i un produit scalaire sur un espace euclidien E. Et soient x, y ∈ E tels que ∀z ∈ E, hx, zi=hy, zi. Montrer quey=x.
∗ Savoir utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz
Exercice 5. Après avoir introduit un produit scalaire adéquat sur un espace euclidien E à préciser, montrer les inégalités suivantes :
a) Poura,b,c∈R,|6a+ 3b+ 2c| ≤7√
a2+b2+c2 b) Poura,b, c,a0,b0,c0∈R,|aa0−2ab0−2ba0+ 6bb0| ≤√
a2−4ab+ 6b2√
a02−4a0b0+ 6b02 c) Pourn∈N,n≥2,
n−1
X
q=1
q
(n−q)2 ≥ 2 n(n−1)
n−1
X
q=1
q n−q
!2
d) PourP ∈R[X], à coecients positifs, et pourx, y∈R+,P(√
xy)2≤P(x)P(y).
Exercice 6. Soit (E,h,i) un espace euclidien. On note k.k la norme associée au produit scalaire. Soitn ∈ N∗ etv1, . . . , vn des vecteurs deE. Montrer quek
n
X
i=1
vik2≤n
n
X
i=1
kvi2k
∗ Savoir utiliser la notion d'orthogonalité
Exercice 7. Soit F le sous-espace de R5 engendré par v = (1,−1,3,0,2) et w = (2,−2,5,1,1). Donner une base de l'orthogonalF⊥ deF.
Exercice 8. Soient(E,h,i)un espace euclidien,F etGdeux sous-espaces deE. Montrer que : (F+G)⊥ = F⊥∩G⊥
(F∩G)⊥ = F⊥+G⊥
∗ Bases orthonormées et savoir utiliser la métode de Gram-Schmidt
Exercice 9. Soit (E,h,i) un espace vectoriel muni d'un produit scalaire. Soient n ∈ N∗ et e1, . . . , en des vec- teurs deE. On suppose que :
∀i≤n,keik ≥1 (1)
∀x∈E,
n
X
i=1
hei, xi2=kxk2 (2) a) Montrer que la familleb= (e1, . . . , en)est une famille orthonormale deE. b) Montrer quebest une base deE.
Indication : on pourra développerkx−
n
X
i=1
hei, xieik2
Exercice 10. Soit (E,h,i) un espace euclidien de dimension n ≥ 2 et f un endomorphisme de E préservant l'orthogonalité, c'est à dire :hx, yi= 0⇒ hf(x), f(y)i= 0. Montrer qu'il existe un réelk≥0tel quekf(x)k=kkxk.
Exercice 11. Montrer que la matriceA=
2 1 1 1 1 1 1 1 2
est la matrice d'un produit scalaire ϕsur R3. Construire une base orthonormale pourϕ.
∗ Savoir utiliser les projecteurs orthogonaux, calculer une projection
Exercice 12. On se place dans R4 muni du produit scalaire usuel. Soit F le sous-espace vectoriel de R4 dé- ni par le système d'équations :
x1+x2+x3+x4 = 0 x1−x2+x3−x4 = 0.
Déterminer la matrice dans la base canonique de la projection orthogonale surF.
Exercice 13. On se place dansR4 muni du produit scalaire usuel et on note(e1, e2, e3, e4)sa base canonique.
Soientu=e1+e3,v=e1−e2+e3−e4 et F= vect(u, v). a) Construire une base orthonormée deF.
b) Déterminer la matrice dans la base(ej)1≤j≤4 de la projection orthogonale surF. c) En déduire la distance du vecteurw=e1−e2+ 2e3+e4au sous-espaceF.
d) Quelle est la matrice dans la base(ej)1≤j≤4 de la symétrie orthogonale par rapport àF? Exercice 14. Calculer l'inf pour(a, b)∈R2de :
Z 1 0
(x2−ax−b)2dx
indication : on traduira le problème en terme de distance à un sous-espace.
