Chapitre 2 : Produit scalaire et calcul vectoriel I- Premières expressions du produit scalaire

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Spécialité 1^ère – Chapitre 2 Page 1

A B C

B A C

A

C

H B

A B

C

H

Chapitre 2 : Produit scalaire et calcul vectoriel

I- Premières expressions du produit scalaire

1) Définition et première propriété Définition 1 :

Soient deux vecteurs ⃗ et ⃗ et trois points , et tels que ⃗ = ⃗ et ⃗ = ⃗.

Le produit scalaire des vecteurs ⃗ et ⃗, noté ⃗. ⃗, est le nombre réel défini par : - Si ⃗ et ⃗ sont tous les deux non nuls, ⃗. ⃗ = ⃗. ⃗ = & × & × cos(&)) - Si ⃗ = 0⃗ ou ⃗ = 0⃗, alors ⃗. ⃗ = 0.

Remarque 1 :

1) Le produit scalaire ⃗. ⃗ est indépendant des représentants des vecteurs ⃗ et ⃗. Pour plus de simplicité, il a donc été choisi deux vecteurs de même origine dans la définition.

2) On écrit aussi ⃗. ⃗ = ‖⃗‖ × ‖⃗‖ × cos()) Exemple 1 :

Si ABC est un triangle équilatéral de côté 6, alors :

⃗. ⃗ = × × cos()) = 6 × 6 × cos ./31 = 36 ×1 2 = 18 Propriété 1 :

Si ⃗ et ⃗ sont colinéaires et de même sens, alors ⃗. ⃗ = × .

Si ⃗ et ⃗ sont colinéaires et de sens contraire, alors ⃗. ⃗ = − × .

Démonstration de la propriété 1 :

Si ⃗ et ⃗ sont colinéaires et de même sens, alors &) = 0 donc cos(&)) = 1…

Si ⃗ et ⃗ sont colinéaires et de sens contraire, alors &) = / donc cos(&)) = −1…

2) Projeté orthogonal Propriété 2 :

Soient trois points , et ( et distincts) Si 8 est le projeté du point sur la droite (), alors ⃗. ⃗ = ⃗. 8⃗

Remarque 2 : Les vecteurs ⃗ et 8⃗ sont colinéaires.

Si ) <^;_< alors ⃗. 8⃗ = × 8 (Illustration ci-dessus) Si ) >^;_< alors ⃗. 8⃗ = − × 8 (ci-contre)

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A H B

C Exemple 2 :

En reprenant le triangle ABC, équilatéral de côté 6 : ⃗. ⃗ = ⃗. 8⃗ = × 8 = 6 × 3 = 18

Démonstration de la propriété 2 : Dans le cas où ) <^;_< :

⃗. ⃗ = × × cos())

Dans le triangle CAH rectangle en H, cos()) = cos(8)) =^>?_>@

Ainsi × × cos()) = × × 8 = × 8 Dans le cas où ) >^;_< :

cos()) = cos(/ − 8)) = − cos(8)) …

3) Produit scalaire et orthogonalité Définition 2 :

On dit que deux vecteurs sont orthogonaux lorsque leurs directions sont perpendiculaires.

Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.

Remarque 3 : Autrement dit : ⃗ et ⃗ sont orthogonaux signifie que les droites () et () sont perpendiculaires.

Propriété 3 :

Pour tous vecteurs ⃗ et ⃗, F⃗ est orthogonal à est orthogonal à est orthogonal à G⃗ équivaut à F⃗. G⃗ = H. est orthogonal à Démonstration de la propriété 3 :

1) Dans le cas où ⃗ = ⃗ et ⃗ = ⃗ sont des vecteurs non nuls :

⃗ est orthogonal à ⃗ ⇒ () ⊥ () ⇒ ) =^;_< ⇒ cosK)L = 0 ⇒ ⃗. ⃗ = 0

⃗. ⃗ = 0 ⇒ × × cos()) = 0 ⇒ cos()) = 0 ⇒ ) = /2 ⇒ () ⊥ () On aurait donc pu raisonner par équivalence directement.

2) Si l’un des deux vecteurs est nul, il est orthogonal à l’autre et ⃗. ⃗ = 0, c’est immédiat.

Remarque 4 :

Conséquence de la propriété 3 : pour montrer que les droites () et () sont perpendiculaires, il suffit de montrer que ⃗. ⃗ = 0.

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II- Propriétés du produit scalaire et autres expressions

1) Règles de calcul Propriété 4 :

Soient ⃗, ⃗, N⃗ trois vecteurs et O un réel.

1) ⃗. ⃗ = ⃗. ⃗ (on dit que le produit scalaire est symétrique) 2) ⃗. (⃗ + N⃗) = ⃗. ⃗ + ⃗. N⃗

3) ⃗. (O⃗) = O(⃗. ⃗)

Remarque 5 :

1) Le produit scalaire étant symétrique, on a aussi : (⃗ + N⃗). ⃗ = ⃗. ⃗ + N⃗. ⃗ et (O⃗). ⃗ = O(⃗. ⃗)

2) Cas particulier du 3) avec O = −1:

⃗. (−⃗) = −(⃗. ⃗) et (−⃗). ⃗ = −(⃗. ⃗) Ou encore : ⃗. ⃗ = −⃗. ⃗ = −⃗. ⃗ Exemple 3 :

1) ⃗. S ⃗ = ⃗. KS⃗ + ⃗L = ⃗. S⃗ + ⃗. ⃗ 2) ⃗. (2⃗ − 3N⃗) = ⃗. (2⃗) + ⃗. (−3N⃗) = 2⃗. ⃗ − 3⃗. N⃗

2) Carré scalaire Définition 3 :

Si ⃗ est un vecteur du plan, on notera ⃗. ⃗ = ⃗^<, appelé carré scalairecarré scalairecarré scalaire de ⃗. carré scalaire

Remarque 6 :

Si ⃗ est non nul, ⃗. ⃗ = ‖⃗‖ × ‖⃗‖ = ‖⃗‖^<

Ainsi on peut écrire : ⃗^< = ‖⃗‖^< ou encore ⃗^< = T⃗T^< = ^<

3) Produit scalaire dans une base orthonormée Propriété 5 :

Dans une base orthonormée (V⃗, W⃗), soient deux vecteurs ⃗ et ⃗ de coordonnées respectives .X Y1 et ZX′Y′\, alors : ⃗. ⃗ = XX^]+ YY′ et ‖⃗‖^< = X^<+ Y^<

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Démonstration de la propriété 5 :

Compte tenu de leurs coordonnées, on peut écrire ⃗ = XV⃗ + YW⃗ et ⃗ = X′V⃗ + Y′W⃗

⃗. ⃗ = ( XV⃗ + YW⃗). (X^]V⃗ + Y^]W⃗) = ( XV⃗). (X^]V⃗) + ( XV⃗). (Y^]W⃗) + ( YW⃗). (X^]V⃗) + ( YW⃗). (Y^]W⃗)

= XX′(V⃗. V⃗) + XY′( V⃗. W⃗) + YX′( W⃗. V⃗) + YY′( W⃗. W⃗)

(V⃗, W⃗) étant une base orthonormée, V⃗ et W⃗ sont orthogonaux et ‖V⃗‖=‖ W⃗‖=1 On a donc V⃗. W⃗ = W⃗. V⃗ = 0 et V⃗. V⃗ = ‖V⃗‖^< = 1 = W⃗. W⃗

En remplaçant, on obtient :

⃗. ⃗ = XX^]× 1 + XY^]× 0 + YX^]× 0 + YY^]× 1 = XX^]+ YY′

De même ‖⃗‖^< = ⃗. ⃗ = XX + YY = X^<+ Y^<

Exemple 4 : Dans un repère orthonormé (^; V⃗, W⃗), les points , et ont pour coordonnées respectives (1; 2), (−2; 3) et (5; −1).

Calculons le produit scalaire ⃗. ⃗ :

Le vecteur ⃗ a pour coordonnées .X_` − X_>

Y_` − Y_>1 = .−2 − 13 − 2 1 = .−3 1 1 Le vecteur ⃗ a pour coordonnées .X_@ − X_>

Y_@ − Y_>1 = . 5 − 1−1 − 21 = . 4

−31 Ainsi ⃗. ⃗ = (−3) × 4 + 1 × (−3) = −12 − 3 = −15

4) Norme et produit scalaire Propriété 6 : Identités remarquables

(⃗ + ⃗)^< = ‖⃗ + ⃗‖^< = ‖⃗‖^<+ ‖⃗‖^<+ 2⃗. ⃗ (⃗ − ⃗)^< = ‖⃗ − ⃗‖^< = ‖⃗‖^<+ ‖⃗‖^<− 2⃗. ⃗ (⃗ + ⃗). (⃗ − ⃗) = ‖⃗‖^<− ‖⃗‖^<

Démonstration : Les résultats sont directs par distributivité Conséquences de la propriété 6 :

Propriété 7 :

⃗. ⃗ =1

2(‖⃗ + ⃗‖^<− ‖⃗‖^<− ‖⃗‖^<)

⃗. ⃗ =1

2(‖⃗‖^<+ ‖⃗‖^<− ‖⃗ − ⃗‖^<)

Démonstration : Les résultats sont directs en exprimant ⃗. ⃗ à l’aide des deux premières identités remarquables de la propriété 6.

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c

d

e

g f III – Applications du produit scalaire

1) Théorème de la médiane Théorème 1 :

Soient deux points et du plan et d le milieu de [].

Quel que soit le point c du plan, on a :

c⃗. c⃗ = cd^<−^<

4 Démonstration :

c⃗. c⃗ = Kcd⃗ + d⃗L. Kcd⃗ + d⃗L = Kcd⃗ + d⃗L. Kcd⃗ − d⃗L = cd^<− d^< = cd^<− Z 2 \

<

c⃗. c⃗ = cd^<−^<

4

2) Formules d’Al-Kashi Théorème 2 :

Dans un triangle ABC avec les notations de la figure ci-contre : e^< = f^<+ g^<− 2fg cos n

f^< = e^<+ g^<− 2eg cos o g^< = e^<+ f^<− 2ef cos n

Démonstration :

e^< = ^< = ⃗^< = (⃗ + ⃗)^< = ⃗^<+ ⃗^<+ 2⃗. ⃗ = ^< + ^<− 2⃗. ⃗

= ^<+ ^<− 2 × × cos n = f^<+ g^<− 2fg cos n Même démonstration pour les deux autres formules.

Exemple 5 :

On donne un triangle avec e = 5, f = 6 et g = 7. e^< = f^<+ g^<− 2fg cos n donne la formule : cos n = f^<+ g^<− e^<

2fg =36 + 49 − 25 2 × 6 × 7 = 5

7

Ainsi, à l’aide de la calculatrice, n ≈ 0,775 rad ou encore n ≈ 44°.

// //

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3) Caractérisation du cercle Propriété 8 :

Soient , et c trois points du plan.

c appartient au cercle de diamètre []

si et seulement si c⃗. c⃗ = 0.

Démonstration :

Supposons que c appartient au cercle de diamètre []. Notons d le milieu de [] et donc le centre du cercle.

D’après le théorème de la médiane : c⃗. c⃗ = cd^<−^<

4 Or cd =

2 (rayon du cercle) donc cd^<−^<

4 = 0 et donc c⃗. c⃗ = 0.

Supposons désormais que c⃗. c⃗ = 0 Ainsi cd^< −^<

4 = 0 et donc cd = 2

Le point c appartient donc bien au cercle de diamètre [].

Remarque 7 :

c⃗. c⃗ = 0 se traduit par c⃗ et c⃗ sont orthogonaux ou encore, le triangle c est rectangle en c.

La propriété se traduit donc également sous la forme :

c appartient au cercle de diamètre [] si et seulement si c est rectangle en c.