Médian MN55 - Printemps 2012 – R. BOLOT – T. VIOLLET
MN55 Examen médian – Durée 1h30
Documents autorisés Exercice 1 : Partie Flowmaster (copie séparée)1) On réalise la simulation numérique d’un écoulement compressible dans une conduite d’eau d’une longueur de 1000 m avec une augmentation brutale de la pression (type coup de bélier comparable au cas vu en TD). Le graphe suivant montre l’évolution de la pression au nœud externe n°2 (juste avant la vanne) pendant une partie de la simulation.
1-1) A l’aide du graphe, estimer la période de la conduite en justifiant votre résultat.
1-2) En déduire la célérité de l’onde de pression dans l’eau.
1-3) A partir du graphe, estimer la célérité de l’onde de pression en utilisant la relation de Joukowsky si Δu = 1,23 m/s.
1-4) Comparer les deux résultats. Quel est le plus fiable (nonobstant les incertitudes graphiques) ? 1-5) En déduire l’épaisseur de la paroi de la conduite sachant que E = 210 GPa, D = 0,4 m, ε
eau=
2.10
9Pa et a
0= 1440 m/s.
2) A l’issue d’une autre simulation sur le même problème, on recueille les résultats suivants : t (s) p ni n°20
(bars)
p ni n°21 (bars)
p ni n°22 (bars)
u ni n°20 (m/s)
u ni n°21 (m/s)
u ni n°22 (m/s) 1,2 14,3186 15,0316 15,7842 0,7455581 0,6720254 0,5944795 1,22 15,0381 15,7903 16,6081 0,6723389 0,5948305 0,5106558 1,24 15,7964 16,6139 17,5767 0,5951814 0,5110417 0,4120848 1,26 16,6196 17,5821 18,9043 0,5114285 0,4125057 0,2768707 1,28 17,5875 18,9093 21,4801 0,4129275 0,2773275 0,0141367
A l’aide des résultats de la méthode des caractéristiques (voir TD), déterminer en détaillant votre
calcul la valeur de Λ (coefficient de perte de charge linéaire) dans un modèle de frottement
visqueux quasi-stationnaire (ρ = 10
3kg/m
3D = 0,4 m et a = 980 m/s ici).
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MN55 Examen médian – Durée 1h30
Documents autorisésExercice 2 : (sur copie séparée)
Evolution transitoire de la température dans un cylindre chauffé par effet Joule et refroidi par convection.
Un cylindre long (que vous considérerez donc comme infiniment long) de diamètre 10 mm (soit un rayon 5 mm) se trouve initialement immergé dans un liquide à To=15°C.
A partir de t=0 s, il est traversé par un courant électrique menant à une production thermique par effet Joule de Q=108 W.m-3 (à appliquer sur chaque élément de volume).
Le cylindre subit en permanence un refroidissement par convection sur sa surface extérieure avec un coefficient d’échange h=10000 W.m-2.°C-1.
Le fluide environnant demeure à température constante égale à 15°C.
Déterminer l’évolution du profil radial de température dans le cylindre au cours du temps : - Vous utiliserez 5 éléments de volume de dimension constante suivant le rayon
- Vous utiliserez un schéma de discrétisation de type Crank-Nicholson avec un pas de temps de 0.2 s et vous réaliserez 5 pas de temps, de sorte à obtenir la température après 1 s.
Tous les coefficients seront divisés par et vous utiliserez une longueur unitaire (L=1m).
De par l’hypothèse de cylindre long, les flux sur les 2 extrémités du cylindre seront négligés.
Vous utiliserez les coefficients de référence c1=(*V1*Cp)/t, a=(*S)/R et P=Q*V1. Où V1=*(R^2)*L et S=2**R*L.
Remarque : a12=a/5, etc…
Le problème sera mis sous la forme :
C T
T T T T B
T T T T T A
O O O O O
N N N N N
, 5
, 4
, 3
, 2
, 1
, 5
, 4
, 3
, 2
, 1
Où les coefficients des matrices [A] et [B] et du vecteur [C] seront exprimés notamment en fonction de c1, a, P et heff*S5.
Remarque : heff prend en compte la résistance thermique du demi-élément entre le centre du volume 5 et la surface du cylindre.
Données :
Masse volumique du matériau : =5000 kg/m-3 Chaleur spécifique : Cp=400 J.kg-1.°C-1
Conductivité thermique : =5 W.m-1.°C-1
Coefficient d’échange convectif : h=10000 W.m-2.°C-1
