TP 7. METHODE DES MOINDRES CARRES
Définition 1.
Soit X ={x1;...;xn} et Y ={y1;...;yn} deux séries statistiques.
1. On appelle nuage de points l’ensemble des points de coordonnées(xi, yi)1≤i≤n. 2. La moyenne empirique de la sérieX est x= 1
n
n
X
i=1
xi , celle de la sérieY est y= 1 n
n
X
i=1
yi . 3. Le point moyen du nuage est le point(x;y).
4. La variance empirique de la sérieXest σx2= 1 n
n
X
i=1
(xi−x)2 , celle de la sérieY est σ2y= 1 n
n
X
i=1
(yi−y)2 .
5. La covariance empirique de la série statistique double(X, Y)est σ2x,y = 1 n
n
X
i=1
(xi−x)(yi−y).
6. Le coefficient de corrélation linéaire (ou plus simplement la corrélation) entreX etY est ρx,y = σ2x,y σxσy
.
Commande.
SoitX={x1;...;xn}etY ={y1;...;yn}deux séries statistiques.
1. La commande mean(X) renvoie la moyenne empirique deX.
2. La commande corr(X,Y,1) renvoie la covariance empirique deXet deY. 3. - - - > Comment obtenir la variance empirique en utilisantcorr?
Théorème. Droite de regression
La droite de regression deY enX est la droite d’équationy=ax+b, où : a= Cov(x, y)
σx2 et b=y−ax
Remarque.
Cette droite passe donc par le point moyen.
Exercice I.
Expliquer ce que fait le programme suivant, puis l’exécuter.
X = [ 1 ;3 ;5 ;2 ;7 ;4 ;6 ;8 ;1 ;3 ;7 ] // Série en x Y = [ 2 ;4 ;8 ;6 ;5 ;1 ;7 ;8 ;1 ;1 ;4] // Série en y Xmoy = mean(X) // ...
Ymoy = mean(Y) // ...
plot2d(X,Y,-4) // ...
plot2d(Xmoy,Ymoy,-3) // ...
XYcov = corr(X,Y,1) // ...
Xvar = corr(X,X,1) // ...
Yvar = corr(Y,Y,1) // ...
a = XYcov / Xvar // ...
b = Ymoy - a*Xmoy // ...
plot2d(0 :9, a.*(0 :9) + b,rect=[0,9 ;0,9]) // ...
rhoxy = XYcov / (sqrt(Xvar*Yvar)) // ...
disp(rhoxy) // ...
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Exercice II.
En justifiant, associer à chacun des 4 nuages de points qui suivent l’un des coefficients de corrélation, ainsi que les séries étudiées :
1. σx,y '0.98, σx,y ' −0.49, σx,y'0.79, σx,y' −0.03
2. a. rang mondial des écoles de commerce françaises et salaire annuel en sortie d’école b. notes sur des épreuves de LV1 et LV2
c. dette publique de quelques états et taux d’intérêts à 10 ans
d. dépense de consommation et PIB de la France sur une période de 10 ans
graphe A. graphe B.
graphe C. graphe D.
Exercice III.
On considère les vecteurs x=grand(100,1,’exp’,0.5) et y=rand(100,1).
1. Tracer le nuage de points associé àxety, ainsi que le point moyen.
2. Tracer la droite de regression deyenx. 3. Calculer le coefficient de corrélationρx,y. 4. Commenter les résultats obtenus.
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Exercice IV.
1. On considère la série statistique double suivante, donnant les évolutions mensuelles (en %) de deux indices bour- siers (un américain et un français) :
2018 J F M A M J J A S O N D
Dow Jones 5.79 −4.28 −3.7 0.25 1.05 −0.59 4.71 2.16 1.9 −5.07 1.68 −8.66 CAC 40 3.19 −2.94 −2.88 6.84 −2.21 −1.39 3.53 −1.9 1.6 −7.28 −1.76 −5.46 a. Estimer de visu le coefficient de corrélation de cette série.
b. Tracer le nuage, le point moyen, la droite de regression, et afficher le coefficient de corrélation.
c. Interpréter.
2. Etudier de la même façon la série statistique double suivante :
2018 J F M A M J J A S O N D
CAC 40 3.19 −2.94 −2.88 6.84 −2.21 −1.39 3.53 −1.9 1.6 −7.28 −1.76 −5.46
température 7.2 8.3 12.2 15.6 19.6 22.7 25.2 25 21.1 16.3 10.8 7.5
3. Etudier de la même façon la série statistique double suivante :
pays PIB taux de fécondité pays PIB taux de fécondité
Japon 4972 1.4 Turquie 766 2.1
Allemagne 4000 1.5 Nigéria 397 5.5
France 2775 2 Colombie 333 1.9
Inde 2717 2.3 Maroc 118 2.5
Italie 2072 1.4 Bulgarie 65 1.5
Brésil 1868 1.7 Cameroun 38 4.9
Indonésie 1022 2.4 Haïti 9 2.7
4. Etudier de la même façon la série statistique double suivante :
xi 12 8 13 7 9 14 12 5 10 10 11
yi 34 48 22 50 61 40 12 27 31 44 23
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