UTBM - Département Informatique Automne 2015
Final IN54 – Durée 2 heures Documents non autorisés
NB : Les trois parties doivent être rédigées sur des copies séparées.
PARTIE 1 (Y. Ruichek) 8 points
Soit le perceptron monocouche ci-dessous.
L'apprentissage du perceptron consiste à partir d'une base d'apprentissage à adapter ses poids synaptiques pour minimiser l’erreur quadratique en sortie. La base d'apprentissage est constituée d'un ensemble de P couples (Xp,Dp), p=1,…, P. TXp=(xp_0, …, xp_N) est un échantillon d'apprentissage de RN+1, xp0=1. Dp est la sortie désirée du perceptron. Elle indique la classe (C1 ou C2) d’appartenance de Xp : Dp=1 si Xp appartient à la classe C1; Dp=0 si Xp appartient à la classe C2.
Pour X un échantillon présenté à l'entrée, le perceptron calcule son entrée totale v(p) = TWp.X (somme pondérée), avec TWp = (Wp_0, …, Wp_N) est le vecteur des poids synaptiques du perceptron. La sortie y est ensuite calculée de la manière suivante : y = f(v), où f est une fonction sigmoïde définie par v
e 1 ) 1 v (
f −
= + . 1- L’erreur E à minimiser par la procédure d'apprentissage est donnée par :
)2
2(
1 D y
E = −
Trouver la règle d'apprentissage en minimisant E par la méthode du gradient.
2- On suppose que N = 2. Soit ∆(p) la droite de séparation, définie par l’équation v(p) = 0, après présentation du couple (Xp,Dp). On suppose que Wp=T(-1,2,-1) et le pas d'apprentissage α=1. Donner, sur le plan (x1,x2), l’équation de la droite de séparation ∆(p), puis calculer l’équation de la droite de séparation ∆(p+1) après présentation du couple (Xp+1,Dp+1), avec Xp+1=T(1,1;1) et Dp+1=1.
PARTIE 2 (F. Gechter) 8 points
Question de cours (2 points):
Donner le schéma général du filtre de Kalman. Quels sont les éléments nécessaires à connaître sur l’élément suivi pour pouvoir utiliser un tel filtre.
Apprentissage x0=1
xN
x1
WN
W0
W1 y - + D
Exercice (6 points):
Un mobile parcourt avec un mouvement uniformément accéléré une hélice pouvant s’inscrire sur la surface d’un cylindre de rayon R. Un capteur situé longitudinalement à l’axe z du cylindre, nous fournit l’angle thêta du mobile par rapport à l’axe des x.
Question 1: Déterminer la position (x,y,z) du mobile en fonction de R, thêta et h (le pas vertical de l’hélice).
Question 2: On veut utiliser un filtre de Kalman pour suivre ce mobile. Donner le vecteur d’état et le vecteur d’observation.
Question 3: Sachant que la covariance de l’erreur de mesure est 0.752 et que les covariances des erreurs en position, vitesse et accélération sont identiques de 1.102, donner les matrices permettant de réaliser ce filtre. (La position initiale est (0,Y0,0)).
PARTIE 2 (C. Cappelle) 4 points
Question 1 : Recalage rigide d'images.
Rappeler et décrire brièvement les différentes étapes de la méthode de recalage d'images vue en cours.
Question 2 : Points de Harris.
On rappelle que la réponse du détecteur de Harris est donnée par : –
avec la matrice :
⊗ ⊗
⊗ ⊗
où est une fenêtre Gaussienne et ⊗ est l’opérateur de convolution.
Que devient cette réponse :
− pour un contour vertical : , ,
− pour une région d'intensité uniforme : , constante. Question 3 : Homographie
Quel est le nombre minimum de paires de points nécessaires pour calculer l'homographie H entre 2 images ? Justifier.
h
x
y
