EPITA – Document, ordinateur et calculatrice ne sont pas autorisés Juin 2009 (1h30)

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Juin 2009 EPITA_ING2_2010_S4_LOFO

LOFO — Logique Formelle

EPITA – Document, ordinateur et calculatrice ne sont pas autorisés Juin 2009 (1h30)

Une copie synthétique, bien orthographiée, avec un affichage clair des résultats, sera toujours mieux notée qu’une autre demandant une quelconque forme d’effort de la part du correcteur.

1 λ -calcul : Entiers naturels de Barendregt

Unλ-termeM∈Λest un mot du langage suivant :

M ::= x | (λx·M) | (MM) On rappelle les conventions suivantes :

• On omet les parenthèses extérieures MN=(MN)

• L’application associe à gauche MNL=(MN)L

• On peut grouper les abstractions imbriquées λxy·M=λx·λy·M

• L’abstraction capture le plus possible à droite λx·MN=λx·(MN)

Soit les combinateurs suivants :

I = λx·x (Identité) T = λxy·x (True) F = λxy·y (False) 1. ÉcrireTMNcomplètement parenthésé.

2. Représenter l’arbre de syntaxe abstraite deTMNen utilisant les constructeursvar,abset app, et les noms des variables pour feuilles.

3. Paires.Pour toutλ-termeM,N, on pose :

hM,Ni=λz·zMN CalculerhM,NiTethM,NiF.

4. Entiers naturels.Pour tout natureln∈N,pnqest défini inductivement comme suit : p0q = I

pn+1q = hF,pnqi

Écrirep3qsans déroulerI,Feth·,·i.

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5. Montrer l’existence d’une fonctionsucctelle que : succpnq=pn+1q 6. Montrer l’existence d’une fonctionpredtelle que :

predpn+1q=pnq 7. Montrer l’existence d’une fonctioniszerotelle que :

iszerop0q = T iszeropn+1q = F

2 λ-calcul Simplement Typé

Dérivations de type

Les dérivation de type sont construites à l’aide des nœuds suivants.

M:σ→τ N:σ MN:τ

[x:·σ]

·· M:τ λx·M:σ→τ

1. Donner une déduction de type pourλx· hF,xi=λx·λz·zFxen notantγun type deF.

2. Donner un type pourp1q.

3 Calcul des Séquents Classique

Calcul des Séquents Classiques

Γ`∆

`X Γ`τ(∆)

Γ`∆ X` σ(Γ)`∆

Γ`∆

`W Γ`A,∆

Γ`∆ W` Γ,A`∆

Γ`A,A,∆

`C Γ`A,∆

Γ,A,A`∆ C` Γ,A`∆

Id F`F

Γ`A,∆ Γ⁰,A`∆⁰ Cut Γ,Γ⁰`∆,∆⁰ Γ,A`∆

` ¬ Γ` ¬A,∆

Γ`A,∆

¬ ` Γ,¬A`∆ Γ`A,∆ Γ`B,∆

` ∧ Γ`A∧B,∆

Γ,A`∆ l∧ ` Γ,A∧B`∆

Γ,B`∆ r∧ ` Γ,A∧B`∆ Γ`A,∆

`l∨ Γ`A∨B,∆

Γ`B,∆

`r∨ Γ`A∨B,∆

Γ,A`∆ Γ,B`∆

∨ ` Γ,A∨B`∆ Γ`∆,A Γ⁰,B`∆⁰

⇒`

Γ,Γ⁰,A⇒B`∆,∆⁰

Γ,A`B,∆

`⇒

Γ`A⇒B,∆

1. ProuverA∨(B∧C)`(A∨B)∧(A∨C).

2. Est-ce une théorème de logique intuitionniste ? 3. Prouver (A⇒B)∨A.

4. Votre preuve est-elle intuitionniste ?

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4 Déduction Naturelle Intuitionniste

[A]·

·· B ⇒I A⇒B

A A⇒B

⇒E B

⊥

⊥E A

¬A:=A⇒ ⊥

A B

∧I A∧B

A∧B

∧lE A

A∧B

∧rE B

A ∨lI A∨B

B ∨rI

A∨B A∨B [A]·

·· C

[B]·

·· C∨E C

1. ProuverA∨(B∧C)`(A∨B)∧(A∨C).

2. Prouver (A⇒B)∨A(Loi de Peirce).

5 À propos de ce cours

Bien entendu je m’engage à ne pas tenir compte de ces renseignements pour vous noter. Ils ne sont pas anonymes, car je suis curieux de confronter vos réponses à votre note. En échange, quelques points seront attribués pour avoir répondu. Merci d’avance.

Répondre sur les formulaires de QCM. Vous pouvez cocher plusieurs réponses par question.

1. Assiduité a Jamais venu

b Presque jamais venu c Souvent venu d Toujours présent 2. Travail personnel

a Rien

b Bachotage récent

c Relu les notes entre chaque cours d Fait les anales

e Lu d’autres sources 3. Ce cours

a Est incompréhensible et j’ai rapidement abandonné b Est difficile à suivre mais j’essaie

c Est facile à suivre une fois qu’on a compris le truc d Est trop élémentaire

4. Ce cours

a Ne m’a donné aucune satisfaction b N’a aucun intérêt dans ma formation

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c Est une agréable curiosité d Je le recommande 5. L’enseignant

a N’est pas pédagogue

b Parle à des étudiants qui sont au dessus de mon niveau c Me parle

d Se répète vraiment trop

e Se contente de trop simple et devrait pousser le niveau vers le haut

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