L1 MPI 2012/2013
S1 Math´ematiques
Examen de 2nde session du 17 Juin 2013
Dur´ee: 2h. Aucun document ni calculatrice autoris´e. T´el´ephones portables interdits!
Exercice 1. Soit z0 =−8−i8√ 3.
a) Mettre z0 sous forme exponentielle.
b) R´esoudre dans C l’´equation z4 = z0. On exprimera les solutions d’abord sous forme exponentielle puis sous forme alg´ebrique.
Exercice 2.
a) Soit (un)n∈N une suite de nombres r´eels et `∈R. Donner la d´efinition math´ematique de
n→lim+∞un=`.
b)Rappeler, sans justification, les valeurs des limites suivantes: lim
x→0
sin(x) x et lim
x→0
1−cos(x)
x2 .
c) Calculer, si elle existe, la limite suivante: lim
x→0
1−cos(2x) xsin(x) .
Exercice 3. Pour chacune des assertions suivantes: ´ecrire sa n´egation puis dire, en le d´emontrant, laquelle des deux est vraie de l’assertion propos´ee ou de sa n´egation.
a) ∃x >0,x2 +x+ 1 <2.
b) ∀x∈R,x <2 =⇒x2 <4.
c) La fonctionf d´efinie sur R par f(x) =xex est croissante.
d) ∀f, g:R→R, (f etg sont croissantes) =⇒(f×g est croissante).
e) ∀f, g:R→R, (f etg sont croissantes et f est positive ) =⇒(f×g est croissante).
f ) ∀f, g:R→R, (f etg sont croissantes et positives) =⇒(f×g est croissante).
Exercice 4. Soient a etb deux nombres r´eels tels que 0< a < b.
a) Enoncer le th´´ eor`eme des accroissements finis. En d´eduire que 1
b < ln(b)−ln(a) b−a < 1
a. On consid`ere la fonction f d´efinie sur [0,1] par
f(t) = ln(ta+ (1−t)b)−tln(a)−(1−t) ln(b).
b) Justifier que f est de classeC2, calculer f0 etf00 puis ´etudier le signe def00.
c) Enoncer le th´´ eor`eme des valeurs interm´ediaires. D´eterminer le signe de f0(0) puis de f0(1) (on pourra utiliser le r´esultat de la question a)), puis en d´eduire qu’il existe un unique c∈]0,1[ tel que f0(c) = 0.
d) Donner le tableau de variation def et montrer que pour toutt ∈]0,1[
tln(a) + (1−t) ln(b)<ln(ta+ (1−t)b).
