L2 SV-SVN 11 Juin 2013 Math´ematiques
Examen 2nde session
Dur´ee: 1h30. Aucun document ni calculatrice autoris´e.
Tout r´esultat non justifi´e sera consid´er´e comme faux.
Exercice 1. On consid`ere la fonctionf d´efinie sur [0,+∞[ par f(x) = 2− x+12 . L’objectif est d’´etudier le comportement de la suite(un)n∈Nd´efinie paru0 >0et pour toutn ≥0un+1 =f(un).
a)Etudier rapidement la fonctionf et tracer son graphe.
b)V´erifier quef(x)−x= x(1−x) x+ 1 .
c)D´eterminer les points fixes def et ´etudier leur stabilit´e.
d)Repr´esenter graphiquement les 4 premiers termes de la suite pour les valeurs de u0 suivantes:
1/4,1/2,2et5. Conjecturer le comportement de la suite(un)nlorsquentend vers l’infini.
e)Que peut-on dire de la suite(un)ndans le casu0 = 1?
Exercice 2. Soit f la fonction dont le graphe est trac´e ci-dessous. On s’int´eresse `a l’´equation
x f(x)
2 3
diff´erentiellex0 =f(x).
a)D´eterminer les solutions stationnaires de cette ´equation diff´erentielle.
b)Faire un tableau de signe de la fonction f, puis repr´esenter le comportement des solutions de cette ´equation diff´erentielle `a l’aide d’un graphe.
c)Etudier la stabilit´e des solutions stationnaires.´
d) Quelle est la limite quand t → +∞ de la solution x(t) de l’´equation diff´erentielle v´erifiant x(0) = 1?
TSVP
Exercice 3. SoitA=
0 6
−1 5
.
a)D´eterminer les valeurs propresλ1 etλ2deA(on appelleraλ1 la plus petite des deux).
b)V´erifier que les vecteursV1 =
3
1
etV2 =
2
1
sont des vecteurs propres deAassoci´es `aλ1 etλ2respectivement.
c)D´eterminer des matricesDetQtelles queD=Q−1AQ.
d)Justifier que la matriceQposs`ede un inverse et calculerQ−1.
On consid`ere les suites(un)n∈Net(vn)n∈Nd´efinies par r´ecurrence paru0 = 5,v0 = 0et
un+1 = 6vn,
vn+1 = −un+ 5vn.
e)Ecrire le syst`eme sous la forme´ Un+1 =AUnet pr´eciser le vecteurU0. f)D´eterminer l’expression deUnen fonction den, puis celles deunetvn. g)Calculer lim
n→+∞
un 3n.
