L1 MIPI 15 Juin 2015
Examen de 2nde session de Polynˆomes et Suites
Dur´ee: 2h. Aucun document ni calculatrice autoris´e. T´el´ephones portables INTERDITS.
Tout r´esultat non justifi´e sera consid´er´e comme faux.
Le barˆeme suivant est donn´e `a titre indicatif : 3 + 5 + 3 + 4 + 5 = 20.
Questions de cours.
a)Soit(un)nune suite de nombres r´eels. Rappeler lad´efinitionde lim
n→+∞un = +∞.
b)Enoncer le th´eor`eme des suites monotones.
Exercice 1. Pour(a, b)∈R2, on consid`ere le polynˆomeP(X) =X4+ 3X3+aX2 + 3X+b.
a)A quelle condition sur(a, b)le nombre−1est-il racine du polynˆomeP?
b)CalculerP0. Montrer que−1est racine double deP si et seulement sia= 4etb = 1.
c)En d´eduire la factorisation en produits de facteurs irr´eductibles deX4+3X3+4X2+3X+1dans Cet dansR. Indication: on pourra effectuer la division euclidienne deX4+ 3X3+ 4X2+ 3X+ 1 par(X+ 1)2 =X2+ 2X+ 1.
Exercice 2.
a)Calculer les limites des suites de terme g´en´eralun = ln(n) + 2
3 lnn+ 1 etvn = cos2(n)
n+ 1 . Justifiez!
b)Montrer que la suite de terme g´en´eralwn = (−1)n×n2
n+ 1 n’a pas de limite.
Exercice 3. Soientuetv les suites de terme g´en´eralun=
√n
4n etvn= n
4n. On poseSn =
n
X
k=0
vk.
a)Montrer que 1 4Sn =
n+1
X
j=1
j−1 4j . b)En d´eduire queSn−1
4Sn= 1
3− 3n+ 4 3×4n+1. c)Montrer que la s´erieX
vnconverge et calculer la somme
+∞
X
k=0
vk.
d)Montrer queun≤vnpour toutn∈N. Quelle est la nature de la s´erieX
un? Justifiez.
TSVP
Exercice 4. On souhaite ´etudier, en fonction des valeurs deu0, la suite d´efinie par r´ecurrence un+1 =√
6 +un, u0 ≥ −6.
a) Donner la fonction f d´efinie sur [−6,+∞[ telle queun+1 = f(un), et v´erifier que pour tout n∈Non aun≥ −6.
b)D´eterminer le ou les point(s) fixe(s) de la fonctionf.
c)Etudier rapidement la fonctionf (d´eriv´ee, sens de variation, limite en+∞) et tracer son graphe.
d)Repr´esenter `a l’aide d’une toile d’araign´ee les termesu0,u1,u2 etu3pour chacune des valeurs deu0 suivantes:0,3et6.
e)Etudier la suite(un)nlorsqueu0 = 3.
Dans toute la suite on supposera queu0 <3.
f)Montrer queun<3pour toutn ∈N.
g)Montrer que la suite(un)nest strictement croissante.
h)En d´eduire que la suite converge et d´eterminer sa limite.
