Examen de Polynˆomes et Suites: Feuille Annexe

L1 MIPI 20 Mai 2015

Examen de Polynˆomes et Suites

Dur´ee: 3h. Aucun document ni calculatrice autoris´e. T´el´ephones portables INTERDITS.

Tout r´esultat non justifi´e sera consid´er´e comme faux.

Le barˆeme suivant est donn´e `a titre indicatif :3 + 5 + 3 + 5 + 4 = 20. La feuille Annexe est A RENDRE AVEC LA COPIE.

Questions de cours.

a)Soit(u_n)_nune suite de nombres r´eels et`∈R. Rappeler lad´efinitionde lim

n→+∞u_n=`.

b)Soit(u_n)_nune suite de nombres r´eels. Rappeler la d´efinition de “la s´erieP

u_nconverge”.

c)D´emontrer que “Si la s´erieP

u_nconverge alors la suite(u_n)_ntend vers0” et donner un contre- exemple `a la r´eciproque.

Exercice 1. Le but de cet exercice est de d´ecomposer en produit de facteurs irr´eductibles le polynˆome

P(X) =X⁶−2X⁵−3X⁴+ 8X³+ 12X²−32X+ 16.

a)Calculer les polynˆomesP⁰ etP⁰⁰. Montrer que1est racine double deP mais pas racine triple.

b)Effectuer la division euclidienne deP par(X −1)² = X²−2X + 1et d´eterminerQ∈R[X]

tel queP = (X −1)²×Q.

c)On consid`ere les nombres complexesz₁ = 2 +i2√

3etz₂= 2−i2√ 3.

i) Mettrez1etz2sous forme exponentielle.

ii) D´eterminer les racines carr´ees complexes dez₁ et de z₂. On les cherchera d’abord sous forme exponentielle puis on les donnera sous forme alg´ebrique.

iii) R´esoudre dansCl’´equationz²−4z+ 16 = 0. En d´eduire les racines, dansC, du polynˆome X⁴−4X²+ 16.

d)En d´eduire la d´ecomposition deP en produit de facteurs irr´eductibles d’abord dansC[X]puis dansR[X].

N.B.: On rappelle les valeurs suivantes desinetcos:sinπ 6

= cosπ 3

= 1 2, sinπ

4

= cosπ 4

=

√2

2 etsinπ 3

= cosπ 6

=

√3

2 . Exercice 2.

a)Calculer les limites des suites de terme g´en´eralu_n= 2√n+ 1

√n+ 3 etv_n= n²+ cos(n) n²+ 3n+ 1. b)Montrer que la suite de terme g´en´eralw_n= (−1)ⁿ×n

n+ 1 n’a pas de limite.

TSVP

Exercice 3. On souhaite ´etudier, en fonction des valeurs deu₀, la suite d´efinie par r´ecurrence u_n+1=u_nexp

2−u_n 4

, u₀ ≥0, o`uexpd´esigne la fonction exponentielle.

1. Etude d’une fonction.

a)Donner la fonctionf d´efinie sur[0,+∞[telle queu_n+1 =f(u_n), et v´erifier que pour toutn∈N on au_n≥0.

b)Montrer que la fonctionf poss`ede exactement deux points fixes que l’on d´eterminera.

c)Etudier rapidement la fonctionf (d´eriv´ee, sens de variation, limite en+∞) et tracer son graphe sur la feuille Annexe.

d)Repr´esenter,toujours sur la feuille Annexe, `a l’aide d’une toile d’araign´ee les termesu₀,u₁, u₂etu₃pour chacune des valeurs deu₀ suivantes:1,2,4,5et8.

2. Etude de la suite(u_n)_nlorsque0≤u₀ ≤4.

a)Etudier la suite(u_n)_nlorsqueu₀ = 0et lorsqueu₀ = 2.

b)On suppose dans ce qui suit queu₀ 6= 0etu₀ 6= 2.

i) Justifier que pour toutn∈Non a0≤u_n≤4.

ii) Montrer que si0< u₀ <2la suite est strictement croissante, et que si2< u₀ <4la suite est strictement d´ecroissante. Indication: quel est le sens de variation de la fonctionf sur [0,4].

iii) En d´eduire que pour toutu₀ la suite converge et d´eterminer sa limite.

3. Etude de la suite(u_n)_nlorsqueu₀>4. a)Montrer que0< u₁ <4.

b)En utilisant les r´esultats de la question 2. d´eterminer le comportement de la suite(u_n)_nlorsque ntend vers l’infini.

Exercice 4. Soientu₀ etv₀ deux nombres tels que0 < u₀ < v₀. On d´efinit les suitesuetv par u_n+1= 2u_nv_n

u_n+v_n etv_n+1= u_n+v_n

2 pour toutn∈N.

a)Montrer que pour toutn∈Non a0< u_n < v_n. On pourra raisonner par r´ecurrence.

b)Montrer que la suiteuest croissante et que la suitevest d´ecroissante.

c)En d´eduire que les suitesuetvconvergent. On note`la limite deuet`⁰celle dev.

d)Montrer que`=`⁰.

e)Montrer que la suite(u_nv_n)_nest constante. En d´eduire la valeur de`en fonction deu₀etv₀. f)On prendu₀ = 1etv₀ = 2.

i) Calculerv₁,u₁,v₂puisu₂sous forme de fractions irr´eductibles. Que vautv₂−u₂? ii) En d´eduire une valeur approch´ee de√

2`a10<sup>−2</sup> pr`es. Justifier votre r´eponse.

L1 MIPI

Num´ero de copie:...

Examen de Polynˆomes et Suites: Feuille Annexe

0125

1

2

3

4 34678