L’interpr´etation des quantificateurs et de l’implication montre que l’ensemble vide doit ˆetre consid´er´e comme un intervalle

cours 1, le lundi 24 janvier 2011

I. Int´egrale de Riemann

I.1. Int´egrale de Riemann sur [a, b]

I.1.1. Intervalles

Un intervalle de la droite r´eelle est un sous-ensemble I⊂R qui a la propri´et´e suivante : si x et y sont deux ´el´ements de I, tous les r´eels z entre x et y sont aussi dans I,

∀x, y ∈I, ∀z ∈R, x≤z ≤y ⇒ z ∈I . ou encore

∀x, y∈I, x≤y ⇒ [x, y]∈I .

L’interpr´etation des quantificateurs et de l’implication montre que l’ensemble vide doit ˆetre consid´er´e comme un intervalle. Il est clair que l’intersection d’une famille d’intervalles est encore un intervalle.

Remarque 1. Si U est un intervalle, siu∈U, v /∈U et u < v, on a sup U≤v.

Si U, V sont deux intervalles disjoints, si u∈U, v∈V et u < v, on a sup U≤inf V.

Preuve. — Si U contenait un point u⁰ > v, les in´egalit´es u < v < u⁰ entraˆıneraient v ∈ U, contrairement `a l’hypoth`ese. On voit donc que v est un majorant de U, donc sup U≤v. Pour la deuxi`eme partie, on note d’abord que sup U≤v. Siu<sup>0</sup> est quelconque dans U, on a u<sup>0</sup> ≤ sup U ≤ v mais u<sup>0</sup> 6= v, donc u<sup>0</sup> < v, u<sup>0</sup> ∈/ V, et v ∈ V : d’apr`es la premi`ere partie appliqu´ee `a V pour l’ordre inverse,u⁰ ≤inf V. Commeu⁰ est quelconque dans U, sup U≤inf V.

Si I et J sont deux intervalles non vides disjoints, ou bien tous les points de I sont inf´erieurs `a tous les points de J, et dans ce cas on notera I<J, ou bien tous les points de J sont inf´erieurs `a tous les points de I, et dans ce cas on notera J<I. En effet, si on choisit x∈I et y∈J, on aura soitx < y, qui conduit `a I<J d’apr`es la remarque 1, soit y < x, qui conduit `a J<I (on n’a pas x=y puisque I et J sont disjoints).

Consid´erons un intervalle non vide I ; si I est born´e, il poss`ede une borne inf´erieure α = inf I∈Ret une borne sup´erieure β = sup I∈R. Si I n’est pas minor´e, convenons de poser α= −∞, et si I n’est pas major´e, convenons que β = +∞. L’intervalle I contient tous les r´eels z tels que α < z < β : en effet, par la d´efinition des bornes, il existe x, y dans I tels que α ≤ x < z < y ≤ β, ce qui entraˆıne z ∈ I. Autrement dit, l’intervalle I contient l’intervalle ouvert ]α, β[.

Si I est born´e, on peut ajouter que par la d´efinition des bornes α etβ, l’intervalle I est contenu dans l’intervalle ferm´e [α, β],

]α, β[⊂I ⊂[α, β].

Si α < β, il en r´esulte que l’intervalle born´e I est de l’une des quatre formes ]α, β[, ]α, β], [α, β[ ou [α, β]. Si I est non vide et si α = β, la seule possibilit´e est le singleton I ={α}= [α, α].

La longueur d’un tel intervalle born´e I est β−α, et on notera

`(I) =β−α.

On conviendra que la longueur de l’intervalle vide est ´egale `a 0. On a la propri´et´e de croissance suivante pour deux intervalles born´es :

I ⊂J ⇒ `(I) ≤`(J).

En effet, l’inclusion entraˆıne inf J ≤ inf I et sup I ≤ sup J, donc `(I) = sup I−inf I ≤ sup J−inf J =`(J).

Lemme 1. Si un intervalle born´e non vide I admet une partition finie en intervalles I = J₁∪J₂∪. . .∪Jn,

avec des intervalles (Jk)_16k6n deux `a deux disjoints, on a

`(I) =

n

X

k=1

`(Jk).

Preuve. — Il s’agit essentiellement d’une ´evidence, on se permettra ne pas aller jusqu’au plus profond d’une preuve impitoyablement rigoureuse. Les intervalles Jk qui sont vides ne contribuent ni `a la r´eunion, ni `a la somme des longueurs. On peut donc supposer que tous les intervalles Jk sont non vides.

La preuve du lemme proc`ede par r´ecurrence sur le nombre n des intervalles (non vides) Jk. Le r´esultat est clair quand n = 1. Montrons ensuite le cas n = 2 : donnons une partition de I en J<sub>1</sub> et J<sub>2</sub> non vides ; pour chaque intervalle Jk, on a des bornes αk≤βk et on peut choisir un pointxk ∈Jk,k = 1,2. Supposons pour fixer les id´ees que x<sub>1</sub> < x<sub>2</sub> (sinon on r´eindexe) ; d’apr`es la remarque 1, on a β₁ = sup J₁ ≤inf J₂ = α₂. Il n’est pas possible que β₁ < α₂, sinon le milieu m de β₁ et α₂ ne serait dans aucun des deux intervalles J₁ ou J₂, mais serait dans I puisqu’on aurait

x1 ≤β1 < m < α2 ≤x2 et x1, x2 ∈I.

De plus, l’inf d’une r´eunion finie de sous-ensembles de R est ´egale au minimum des infs, donc inf I = min(α₁, α₂) =α₁, et de mˆeme pour les sup. On a donc justifi´e ce qui aurait

´et´e bien clair (mais pas une preuve) sur un dessin :

inf I =α₁, β₁ =α₂, sup I =β₂, par cons´equent

`(I) =β<sub>2</sub>−α<sub>1</sub> = (β<sub>1</sub>−α<sub>1</sub>) + (β<sub>2</sub>−α<sub>2</sub>) =`(J₁) +`(J₂).

Supposons ensuite n >2, et que le r´esultat soit vrai pourn−1 intervalles ; donnons une partition de I en J₁, . . . ,Jn non vides ; quitte `a r´eindexer, on peut supposer que J₁ <J₂ < . . . <Jn. On peut alors v´erifier que la r´eunion

I⁰ = J1∪J2 ∪. . .∪Jn−1

est un intervalle. D’apr`es l’hypoth`ese de r´ecurrence et le cas de deux intervalles,

`(I⁰) =

n−1

X

k=1

`(Jk) et `(I) =`(I<sup>0</sup>) +`(Jn) =

n

X

k=1

`(Jk).

I.1.2. Fonctions en escalier

Dans la suite du paragraphe on suppose fix´e un intervalle ferm´e et born´e [a, b]. Une subdivision π de [a, b] est la donn´ee d’une partition π finie de [a, b] en intervalles, c’est-

`a-dire la donn´ee d’un ensemble fini π⊂ P([a, b]), form´e d’intervalles et tel que

∀I,J∈π, I 6= J⇒I∩J =∅

; [a, b] =[

{I : I∈π}.

Il est commode (mais peu important) pour d´evelopper la th´eorie de ne pas imposer que les intervalles I∈π soient non vides, ce qui permet d’´eviter de dire `a chaque fois qu’on supprime les intervalles vides qui ont pu apparaˆıtre dans la construction d’une nouvelle subdivision.

La subdivision ρ est plus fine que π si chaque intervalle de ρ est contenu dans un intervalle de π. ´Etant donn´ees deux subdivisions π1 et π2, on peut introduire une subdivision ρ plus fine que les deux, en consid´erant la familleρ =π₁·π₂ form´ee de tous les intervalles I1∩I2, o`u I1 est un intervalle de π1 et I2 un intervalle deπ2. Si J = I1∩I2

et J⁰ = I⁰₁∩I⁰₂ sont deux ´el´ements distincts dans la familleρ, on a I₁6= I⁰₁ ou I₂ 6= I⁰₂ : si I1 6= I⁰₁, I1 et I⁰₁ sont disjoints puisque π1 est une partition, donc J ⊂I1 et J⁰ ⊂ I⁰₁ sont disjoints ; de mˆeme si I₂ 6= I⁰₂. Si xest un ´el´ement quelconque dans [a, b], il existe I₁ ∈π₁ tel que x ∈ I1 et I2 ∈ π2 tel que x ∈ I2, donc x ∈ J = I1∩I2 ∈ ρ; la famille ρ est bien une partition finie de [a, b] en intervalles.

D´efinition. On dit qu’une fonction r´eelle ϕ : [a, b] → R est une fonction en escalier s’il existe une subdivision π de [a, b] telle que la fonction ϕ soit constante sur chaque intervalle I de la subdivision π.

On dira alors que π est adapt´ee `a ϕ. Si π est adapt´ee `a ϕ, toute subdivision ρ plus fine que π reste adapt´ee `a ϕ; en effet, chaque intervalle de ρ est contenu dans un intervalle de π, sur lequel ϕreste constante.

Op´erations sur les fonctions en escalier : sommes, valeur absolue, produits

On donne deux fonctions en escalier ϕj avec des subdivisions adapt´ees πj, j = 1,2 ; on introduitρ plus fine queπ1 et π2; alors ϕ1 etϕ2 sont constantes sur les intervalles de ρ; par cons´equent, les fonctions

λ₁ϕ₁+λ₂ϕ₂, |ϕ₁|, ϕ₁ϕ₂

sont constantes aussi sur les intervalles de ρ (plus g´en´eralement, toutes les fonctions f(ϕ₁, ϕ₂) de ϕ₁ etϕ₂ sont constantes sur les intervalles de ρ). Les fonctions pr´ec´edentes sont donc en escalier, et la subdivision ρ est adapt´ee `a ces fonctions.

Notation.Si A est un sous-ensemble d’un ensemble X, la notation1_Ad´esigne lafonction indicatrice de A, fonction r´eelle d´efinie sur X, ´egale `a 1 sur A et `a 0 en dehors,

∀x ∈A, 1_A(x) = 1 ; ∀y /∈A, 1_A(y) = 0.

Une fonction ϕ est une fonction en escalier sur [a, b] si et seulement si on peut l’exprimer sous la forme

ϕ=

n

X

j=1

cj1_Ij,

o`u n est un entier quelconque, les (cj) sont des r´eels et les (Ij) des intervalles contenus dans [a, b]. On peut dire aussi que les fonctions en escalier sur [a, b] sont les ´el´ements de l’espace vectoriel engendr´e par les fonctions 1_[c,d], a≤c≤d ≤b : on peut observer que si c < d,

1_]c,d[ =1_[c,d]−1_[c,c]−1_[d,d],

qui est bien une combinaison lin´eaire de fonctions de la forme annonc´ee, et il est clair qu’on peut reconstruire toutes les fonctions en escalier `a partir des indicatrices des sin- gletons et des indicatrices des intervalles ouverts.

Int´egrale des fonctions en escalier

On pose pour ϕ en escalier et π adapt´ee `a ϕ, et en d´esignant par c_I la valeur constante de ϕ sur l’intervalle I de la subdivision,

Σπ(ϕ) =X

I∈π

`(I)c_I.

Si on pr´ef`ere indexer la subdivision, sous la forme π ={I₁, . . . ,Im}, et si on d´esigne par cj la valeur constante de ϕ sur l’intervalle Ij de la subdivision, j = 1, . . . , m, on peut r´ecrire

Σπ(ϕ) =

m

X

j=1

`(Ij)cj.

On va montrer que cette expression est ind´ependante de la subdivision π adapt´ee `a ϕ (l’expression ne d´epend donc que de la fonction ϕ) : on consid`ere deux subdivisions π ={I₁, . . . ,Im} et σ = {J₁, . . . ,Jn} adapt´ees `a ϕ, et la subdivision ρ =π·σ plus fine form´ee des intervalles

L = I ∩J , j = 1, . . . , m, k= 1, . . . , n;

la subdivisionρ=π·σ plus fine est adapt´ee `aϕ: pour chaque couple (j, k) la fonction ϕ prend une valeur constante ej,k sur Lj,k. Si `(Lj,k) n’est pas nul, l’intervalle Lj,k n’est pas vide, et si x∈ Lj,k ⊂Ij on aura

cj =ϕ(x) =ej,k; on en d´eduit que

(1) `(Ij∩Jk)ej,k =`(Ij ∩Jk)cj,

´egalit´e qui est vraie aussi banalement quand `(Ij ∩Jk) = 0 ; l’´egalit´e (1) est donc vraie pour tous j, k. On a par cons´equent

Σρ(ϕ) =

m

X

j=1 n

X

k=1

`(Ij∩Jk)ej,k=

m

X

j=1

Xⁿ

k=1

`(Ij ∩Jk) cj.

Comme la famille Ij ∩Jk, k = 1, . . . , n est une partition de l’intervalle Ij en intervalles, on a Pn

k=1`(Ij∩Jk) =`(Ij) d’apr`es le lemme 1. Il en r´esulte que Σρ(ϕ) =

m

X

j=1

`(Ij)cj = Σπ(ϕ).

On montre de mˆeme que Σρ(ϕ) = Σσ(ϕ), ce qui entraˆıne que Σπ(ϕ) = Σσ(ϕ) et justifie la d´efinition de l’int´egrale de ϕdonn´ee ci-dessous.

D´efinition.L’int´egrale sur [a, b] de la fonction en escalier ϕ, not´ee classiquement Z b

a

ϕ(t) dt,

est la valeur de Σπ(ϕ) pour une (quelconque) subdivision π de [a, b] adapt´ee `a ϕ. On se permettra d’´ecrire en abr´eg´e Rb

a ϕ.

Lin´earit´e de l’int´egrale

Si ϕ et ψ sont en escalier, on a vu que λϕ+µψ est en escalier, et on a Z b

a

(λϕ+µψ) =λ Z b

a

ϕ+µ Z b

a

ψ.

Pour le montrer, il suffit de passer `a une subdivision ρ ={I₁, . . . ,Im} adapt´ee en mˆeme temps aux deux fonctions ϕ et ψ. Si les cj, dj sont les valeurs constantes de ϕ, ψ sur l’intervalle Ij, j = 1, . . . , m, on a

Z b

a

(λϕ+µψ) = Σρ(λϕ+µψ) =

m

X

j=1

`(Ij)(λcj+µdj)

=λX^m

j=1

`(Ij)cj

+µX^m

j=1

`(Ij)dj

=λ Z b

a

ϕ+µ Z b

a

ψ.

Positivit´e, croissance de l’int´egrale

Siϕest une fonction en escalier≥0, il est clair queRb

aϕ≥0 (les valeurscj deϕsont ≥0 et l’expression de Σπ(ϕ) est une somme de nombres `(Ij)cj ≥ 0). Avec la lin´earit´e on obtient que

ϕ₁ ≤ϕ₂ ⇒ Z b

a

ϕ₁ ≤ Z b

a

ϕ₂,

(propri´et´e de croissance de l’int´egrale) puisque la positivit´e de ϕ₂−ϕ₁ implique que

0≤ Z b

a

(ϕ₂−ϕ₁) = Z b

a

ϕ₂− Z b

a

ϕ₁; on a aussi la majoration

Z b

a

ϕ ≤

Z b

a

|ϕ|,

obtenue `a partir de l’encadrement −|ϕ| ≤ϕ ≤ |ϕ| et de la croissance de l’int´egrale, ou bien directement `a partir de l’in´egalit´e triangulaire,

Z b

a

ϕ =

N

X

j=1

`(Ij)cj

≤

N

X

j=1

`(Ij)|cj|= Z b

a

|ϕ|.

D´ecoupage de[a, b]

On donne une fonction en escalier ϕ sur [a, b], et un point y tel que a < y < b; si π = {J₁, . . . ,J_N} est une subdivision de [a, b] adapt´ee `a ϕ, les intervalles [a, y]∩Jk

constituent une subdivision de [a, y] adapt´ee `aϕ, et les intervalles [y, b]∩Jk constituent une subdivision de [y, b] adapt´ee `a ϕ; on a donc

Z y

a

ϕ=

N

X

k=1

`([a, y]∩Jk)ck et

Z b

y

ϕ=

N

X

k=1

`([y, b]∩Jk)ck;

il reste `a v´erifier que pour chaque k, `([a, y]∩Jk) +`([y, b]∩Jk) = `(Jk) ; cela r´esulte de `([a, y]∩ Jk) = `([a, y[∩Jk) +`([y, y] ∩Jk) qui est vrai d’apr`es le lemme 1 et de

`([y, y]∩Jk)≤`([y, y]) = 0, donc `([a, y]∩Jk) =`([a, y[∩Jk). On a donc

`([a, y]∩Jk) +`([y, b]∩Jk) =`([a, y[∩Jk) +`([y, b]∩Jk) =`(Jk), par cons´equent

Z b

a

ϕ=

N

X

k=1

`(Jk)ck = Z y

a

ϕ+ Z b

y

ϕ.

I.1.3. Int´egrale de Riemann

D´efinition.On dit qu’une fonctionf r´eelle d´efinie sur [a, b] est Riemann-int´egrable si : la fonctionf est born´ee sur [a, b], et pour toutε >0 il existe ϕ₁, ϕ₂ en escalier telles que ϕ₁ ≤f ≤ϕ₂ et

Z b

a

ϕ₂− Z b

a

ϕ₁ < ε.

Cela revient `a dire que : supnZ b a

ϕ₁ :ϕ₁ ≤fo

= infnZ b a

ϕ₂ :f ≤ϕ₂o .

Par d´efinition, l’int´egrale d’une fonction R-int´egrable f est la valeur commune, Z b

a

f(t) dt= supnZ b a

ϕ₁ :ϕ₁ ≤fo

= infnZ b a

ϕ₂ :f ≤ϕ₂o .

Si on donne des points x0 = a < x1 < . . . < xN = b, on peut consid´erer la subdivision π dont les intervalles sont Ji = [xi−1, xi[ pour i = 1, . . . ,N −1 et J_N = [xN−1, xN]. On dira que π est associ´ee aux points de subdivisionx0, x1, . . . , xN.

Exemple : les fonctions monotones sont R-int´egrables.

Preuve. — Supposons par exemple que f soit croissante. On d´ecoupe [a, b] en N parties

´egales au moyen des points de subdivision xi =a+ib−a

N , i= 0, . . . ,N ;

on a x0 = a, xN = b, et on introduit la subdivision π = {J₁, . . . ,JN} de [a, b] d´efinie ci-dessus, Ji = [xi−1, xi[ pour i <N et J_N = [x_N−1, x_N]. On d´efinit ϕ₁ et ϕ₂ ainsi : sur chaque intervalle Ji, i= 1, . . . ,N on pose ϕ1(x) =f(xi−1),ϕ2(x) =f(xi) ; comme f est croissante, on a pour toutx de l’intervalle Ji

xi−1 ≤x≤xi ⇒ ϕ1(x) =f(xi−1)≤f(x)≤f(xi) =ϕ2(x).

Alors,ϕ₁ et ϕ₂ sont en escalier, on a ϕ₁ ≤f ≤ϕ₂ et Z b

a

ϕ₁ = b−a

N f(x₀) +f(x₁) +· · ·+f(x_N−1) ,

Z b

a

ϕ₂ = b−a

N f(x₁) +· · ·+f(x_N−1) +f(x_N) , donc

Z b

a

ϕ₂− Z b

a

ϕ₁ = b−a

N f(x_N)−f(x₀)

= (b−a)(f(b)−f(a))

N ,

qui tend vers 0 quand N tend vers l’infini.

Int´egrabilit´e par approximation

Lemme. La fonction f : [a, b]→R est R-int´egrable si et seulement si, pour tout ε >0, il existeϕ, ψ en escalier telles que

(∗) |f−ϕ| ≤ψ et

Z b

a

ψ < ε.

Preuve. — Si f est R-int´egrable, encadr´ee par ϕ1 ≤ f ≤ ϕ2, on choisit ϕ = ϕ2 et on

´ecrit

|ϕ−f|=|ϕ₂−f|=ϕ2−f ≤ψ :=ϕ2−ϕ1, et Rb

a ψ < ε. R´eciproquement, s’il existeϕet ψ en escalier telles que|f−ϕ| ≤ψ, alorsf est encadr´ee par ϕ₁ =ϕ−ψ, ϕ₂ =ϕ+ψ, avec erreur d’int´egrale Rb

a(ϕ₂−ϕ₁)<2ε.

On note que l’approximation (∗) indiqu´ee dans le lemme implique

Z b

a

f − Z b

a

ϕ ≤

Z b

a

ψ.

En effet, on a alors ϕ−ψ≤f ≤ϕ+ψ, donc, par d´efinition de l’int´egrale def, Z b

a

ϕ− Z b

a

ψ≤ Z b

a

f ≤ Z b

a

ϕ+ Z b

a

ψ,

ou encore

− Z b

a

ψ ≤ Z b

a

f− Z b

a

ϕ≤ Z b

a

ψ,

d’o`u le r´esultat.

Th´eor`eme. Si f est une fonction r´eelle continue sur [a, b], elle est R-int´egrable.

Preuve. — On invoque la continuit´e uniforme de f, fonction continue sur un ferm´e born´e (compact). Si ε > 0 est donn´e, on choisit ε₁ > 0 tel que (b−a)ε₁ < ε; par la continuit´e uniforme de f, il existe δ >0 tel que |f(x)−f(y)|< ε₁ d`es que |x−y|< δ.

On choisit une subdivisionπde [a, b] dont tous les intervalles (Ji),i= 1, . . . ,N, soient non vides et de longueur < δ, et on choisit un point ξi ∈ Ji pour chaque i = 1, . . . ,N.

Pour tous les pointsxde Ji, on a|x−ξi| ≤`(Ji)< δdonc|f(x)−f(ξi)|< ε<sub>1</sub>. Consid´erons la fonction en escalier ϕ qui est ´egale `a f(ξi) sur Ji; on a |f−ϕ|< ε₁ sur [a, b] ; si on prend pour ψ la fonction constante ´egale `a ε₁, on a l’approximation |f−ϕ| ≤ψ et

Z b

a

ψ= (b−a)ε₁ < ε.

On a donc prouv´e quef est R-int´egrable.

Remarque. Il r´esulte de la d´emonstration pr´ec´edente que Z b

a

f(t) dt= lim

N

X

i=1

(xi−xi−1)f(ξi)

o`u les xi sont des points de subdivision x0 = a < x1 < . . . < xN =b, et o`u la limite est obtenue quand la taille maximale des intervalles de la subdivision tend vers 0. C’est un cas particulier du th´eor`eme de Riemannqui sera vu plus loin.

Propri´et´es de lin´earit´e et croissance

Proposition. Si f1, f2 sont R-int´egrables, les combinaisons lin´eaires λ1f1 +λ2f2 sont R-int´egrables et

Z b

a

(λ₁f₁+λ₂f₂) =λ₁ Z b

a

f₁+λ₂ Z b

a

f₂. Si f1 ≤ f2, alors Rb

af1 ≤ Rb

a f2. Si f est R-int´egrable, la fonction valeur absolue |f| est R-int´egrable et

Z b

a

f ≤

Z b

a

|f(t)|dt.

Preuve. — On donne ε > 0 et on choisit εj > 0 tels que |λ₁|ε₁ + |λ₂|ε₂ < ε. Si

|fj−ϕj| ≤ψj et Rb

a ψj < εj, j = 1,2, on aura

λj

Z b

a

fj−λj

Z b

a

ϕj

≤ |λj|εj, et

|(λ₁f1+λ2f2)−(λ1ϕ1+λ2ϕ2)

≤ |λ₁|ψ₁ +|λ₂|ψ₂ =:ψ, avec Rb

a ψ < ε; comme ε > 0 est arbitraire, on d´eduit d’abord que λ1f1 + λ2f2 est R-int´egrable. Ensuite,

Z b

a

(λ₁f₁+λ₂f₂)− Z b

a

(λ₁ϕ₁+λ₂ϕ₂) < ε; comme l’int´egrale des fonctions en escalier est lin´eaire, on obtient

Z b

a

(λ₁f₁+λ₂f₂)−λ₁ Z b

a

f₁−λ₂ Z b

a

f₂ <2ε, et comme ε est arbitraire, on en d´eduit l’´egalit´e voulue.

Si f1 ≤ f2 on peut approcher l’int´egrale de f1 par celle d’une fonction en escalier ϕ₁ ≤f₁ et celle de f₂ par une fonction ϕ₂ ≥f₂ : on peut supposer que

Z b

a

ϕ₁ >

Z b

a

f₁−ε/2, Z b

a

ϕ₂ <

Z b

a

f₂+ε/2 ; on a alors ϕ₁ ≤f₁ ≤ f₂ ≤ϕ₂, donc Rb

a ϕ₁ ≤Rb

aϕ₂ et Rb

a f₁ ≤Rb

af₂+ε, d’o`u le r´esultat puisque ε est >0 quelconque.

On note que

|f| − |ϕ|

≤ |f −ϕ| ≤ψ,

donc |f|est R-int´egrable et la derni`ere in´egalit´e r´esulte de la propri´et´e de croissance de l’int´egrale, comme dans le cas en escalier.

Remarque. La preuve que |f| est R-int´egrable se g´en´eralise aux fonctions de la forme x → g(f(x)), o`u g est lipschitzienne sur R, c’est-`a-dire qu’il existe une constante C telle que |g(u)−g(v)| ≤ C|u−v| pour tous les r´eels u, v; `a partir de l’approximation

|f −ϕ| ≤ ψ, on obtient en effet |g(f)− g(ϕ)| ≤ Cψ, avec g(ϕ) en escalier et Cψ en escalier qui a une int´egrale qu’on peut rendre aussi petite qu’on veut.