l’ensemble des scalaires doit ˆetre un corps, appel´e le corps de basede l’espace vectoriel E

MT241. Cours n^o 13, vendredi 8 novembre 2002.

Chapitre 4. Rappels d’alg`ebre lin´eaire

4.1. Espaces vectoriels

Pour “fabriquer” un espace vectoriel, il faut d’abord se donner un ensemble E (dont les ´el´ements seront appel´es vecteurs), puis donner deux op´erations, l’addition des vecteurs d’une part, et d’autre part la multiplication des vecteurs par des nombres ap- pel´es scalaires; on suppose que ces donn´ees v´erifient les axiomes des espaces vectoriels, que nous ne rappellerons pas ici ; l’ensemble des scalaires doit ˆetre un corps, appel´e le corps de basede l’espace vectoriel E ; ce corps sera not´eK. On se limitera le plus souvent dans ce cours au cas o`u K=R ouK=C; le corps K pourra ˆetre aussi un sous-corps de C, par exempleK=Q. Strictement parlant, on devrait dire “l’espace vectoriel (E,+, .)”

mais l’usage courant est de dire simplement “l’espace vectoriel E”.

Pour tout entiern≥1, l’espace vectorielKⁿ est l’ensemble desn-uplets (a1, . . . , an) d’´el´ements de K, muni des op´erations usuelles d’addition et de multiplication par les

´el´ements de K (les “scalaires”). Nous associerons souvent `a un ´el´ement x de Kⁿ une matrice colonne X pour pouvoir appliquer le calcul matriciel,

x= (a1, . . . , an)∈Kⁿ, X =





 a₁ a2

... an





.

Labase canoniquede l’espace vectorielKⁿest form´ee des vecteurse1 = (1,0, . . . ,0), e2 = (0,1,0, . . . ,0), jusqu’`aen= (0, . . . ,0,1). Dans cette base le vecteurxci-dessus peut s’´ecrire x=a1e1+· · ·+anen.

Sous-espaces vectoriels et applications lin´eaires D´efinitions.

4.1.1. Sous-espace vectoriel. Soit E un espace vectoriel sur K; on dit qu’un sous- ensemble F de E est un sous-espace vectoriel de E si les trois conditions suivantes sont v´erifi´ees :

a. Le vecteur nul 0E de E appartient `a F, c’est `a dire 0E∈F b. Pour tous vecteurs x, y de F, on a x+y∈F

c. Pour tout vecteur x ∈F et tout λ∈K, on a λx∈F.

4.1.2. Application lin´eaire. Soient E₁ et E₂ deux espaces vectoriels sur K; on dit qu’une application u: E1 →E2 est uneapplication lin´eaire de E1 dans E2 si

a. Pour tous vecteurs x, y ∈E1, on a u(x+y) =u(x) +u(y) b. Pour tout vecteur x ∈E1 et tout λ∈K, on au(λx) =λu(x).

Exemples.

0. On d´esigne par E l’ensemble des fonctions f de classe C^∞ sur I =]−a, a[ telles que

f⁰⁰− 2

3f⁰+ 1

3f = 0.

C’est un espace vectoriel pour les op´erations usuelles d’addition des fonctions et de multiplication par un scalaire.

On montre aussi par r´ecurrence que si M est un majorant de |f| et de |f⁰| sur [−r, r]⊂I, alors |f⁽ⁿ⁾| est major´e par M sur [−r, r] pour tout n, en commen¸cant par

|f⁰⁰(x)| ≤ 2

3|f⁰(x)|+ 1

3|f(x)| ≤ 2

3M + 1

3M = M.

Il en r´esulte que toutes les fonctions de E sont d´eveloppables en s´erie enti`ere sur I.

1. Les ensembles{0E} et E sont des sous-espaces vectoriels de E.

2. Pour tout vecteur x∈E non nul, on peut consid´erer la droite vectorielle Kx={λx:λ∈K}.

C’est un sous-espace vectoriel de E. Dans le cas o`u K= R, le sous-espace vectoriel Rx correspond vraiment `a une droite au sens usuel, de vecteur directeur x et passant par le point origine 0E. Dans le cas complexe (si K =C), le lecteur devra bien comprendre qu’une “droite complexe” ne correspond pas `a l’id´ee g´eom´etrique usuelle de droite.

Si K =Z/5Zet E =K², l’espace a 25 points et les droites ont 5 points!

Soit u∈ L(E,F) une application lin´eaire ; le noyau de u est l’ensemble des vecteurs x∈E tels queu(x) = 0_F; c’est un sous-espace vectoriel de E et on le note keru.L’image de u est l’ensemble u(E) des ´el´ements de F qui sont l’image d’au moins un ´el´ement de l’espace E ; c’est un sous-espace vectoriel de F.

Rappel.Une application lin´eaireu∈ L(E,F)est injective si et seulement sikeru={0_E}.

Exemples d’applications lin´eaires.

1. L’application identiquede E ou identit´e de E, qui sera not´ee IdE dans ces notes, et qui est d´efinie par IdE(x) = x pour tout x ∈ E, est ´evidemment une application lin´eaire de E dans E. On appelle endomorphisme de E toute application lin´eaire de E dans lui-mˆeme.

2. On associe `a chaque fonction f de l’exemple E l’´el´ement b(f) = (f(0), f⁰(0)) de R². L’application b est lin´eaire deE dans R². Si f ∈ E, on a la relation de r´ecurrence

f⁽ⁿ⁺²⁾(0) = 2

3f⁽ⁿ⁺¹⁾(0)− 1

3f⁽ⁿ⁾(0)

obtenue en d´erivant n fois l’´equation diff´erentielle qui d´efinit les ´el´ements de E. Si f ∈ kerb, cette relation de r´ecurrence montre `a partir de f(0) = f<sup>0</sup>(0) = 0 que f<sup>(n)</sup>(0) = 0 pour tout entier n≥0. Puisque f est d´eveloppable en s´erie enti`ere, on en d´eduit que

f(x) = X+∞

n=0

f⁽ⁿ⁾(0)

n! xⁿ = 0

ce qui montre que la fonction nulle est le seul ´el´ement de kerb, donc b est injective.

De plus b est surjective de E sur R²: en effet, pour toute donn´ee (y0, y1) on peut r´esoudre la r´ecurrence pr´ec´edente et trouver une suite (an) telle que

an+2 = 2

3an+1− 1 3an

pour tout n ≥ 0, et a1 = y1, a0 = y0. On montre comme avant par r´ecurrence que si M = max(|a0|,|a1|), alors |an| ≤M pour tout M. Il en r´esulte que la fonction

f(x) =

+∞X

n=0

an

n! xⁿ

est d´efinie pour tout x, en particulier pour |x| < a, v´erifie l’´equation diff´erentielle, donc f ∈ E; de plus b(f) = (y0, y1), ce qui montre que b est surjective. L’application b est donc une bijection lin´eaire de E sur R²: l’espace E est isomorphe `a R²; en particulier il est de dimension 2.

4.2. Dimension

Base d’un espace vectoriel

Un syst`emee = (e1, . . . , en) de vecteurs de E est unebasede E s’il est `a la fois libre et g´en´erateur pour E. Cela revient `a dire que tout vecteurv de E admet une repr´esentation unique de la forme

v=λ1e1+· · ·+λnen

o`u λ1, . . . , λn∈K.

Th´eor`eme 4.2.2.Si E poss`ede une base form´ee denvecteurs, toutes les bases de Eont n vecteurs. Le nombre n s’appelle la dimension de E, et on le note dim E.

Matrice d’une application lin´eaire

On suppose donn´eeu: E→F une application lin´eaire,e= (e1, . . . , em) une base de E etf = (f1, . . . , fn) une base de F. Pour chaque j = 1, . . . , msoit Yj le vecteur colonne de Kⁿ form´e des coordonn´ees dans la base f (`a l’arriv´ee) de l’image u(ej) du ji`eme vecteur e_j de la base de d´eparte,

Yj =



 a1,j

... an,j



, avec u(ej) =a1,jf1+· · ·+an,jfn.

La matrice M = mat(u,e,f) de u par rapport aux bases e et f est alors M = ( Y1 Y2 . . . Ym)

matrice de taille n×m (c’est `a dire n lignes, m colonnes) dont les colonnes successives sont Y1, Y2,. . ., Ym. Si X est le vecteur colonne des coordonn´ees de x∈E dans la base e, le vecteur colonne Y = MX obtenu par produit avec la matrice M est le vecteur des coordonn´ees de y =u(x)∈F dans la basef.

Exemple.

Soit e = (e1, . . . , en) une base d’un espace vectoriel E et soit IdE l’application identique de E ; la matrice de Id_E en prenant la base e au d´epart et `a l’arriv´ee est la matrice identit´ede dimension n

I_n =







1 0 . . . 0 0 1 . .. ...

... . .. ... 0 0 . . . 0 1





, I_n = mat(Id_E,e,e).

Rappel important. Produit d’applications lin´eaires et produit de matrices. Si u: E→F et v: F→G sont deux applications lin´eaires, e une base de E, f une base de F et g une base de G, la matrice de l’application compos´ee v◦u par rapport aux bases e et g est

´egale au produit des matrices de v et de u,

mat(v◦u,e,g) = mat(v,f,g) mat(u,e,f).

Si u est inversible, mat(u⁻¹,f,e) est la matrice inverse de mat(u,e,f).

Rappel. Changement de base.

On consid`ere deux bases e = (e₁, . . . , e_n) et f = (f₁, . . . , f_n) pour le mˆeme es- pace vectoriel E de dimension n. Pour un endomorphisme u de E, d´esignons par Ae

et A_f les matrices de u relatives aux bases e et f respectivement, A_e = mat(u,e,e) et Af = mat(u,f,f). Consid´erons par ailleurs la matrice V = mat(IdE,f,e) de l’application identique de l’espace E, avec la base f au d´epart et la base e `a l’arriv´ee. La matrice V est inversible et son inverse V<sup>−1</sup> est la matrice de l’application inverse, qui est encore l’application identique, mais avec la base e au d´epart et f `a l’arriv´ee. On a d’apr`es les principes g´en´eraux sur la matrice d’une composition d’applications

A_f = V⁻¹A_eV.

Par d´efinition de la matrice d’une application lin´eaire par rapport `a deux bases, lamatrice de passage V contient dans sa colonne j les coordonn´ees du vecteur fj de la base f calcul´ees par rapport `a la base e.

Chapitre 5. R´eduction des endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie sur un sous-corps de C

Dans ce chapitre, E est un espace vectoriel surK, o`uKsera le plus souvent un sous- corps de C (par exemple : Q, R, C). Consid´erons deux exemples. Soit u l’application lin´eaire de R² dans R² d´efinie par

u(x1, x2) = (−3

2x1+x2, x1) ;

on voit que dans la base (f1, f2) de R² d´efinie par f1 = (1,2), f2 = (2,−1), la matrice de u est diagonale. En effet on au(f1) = ¹₂ f1 etu(f2) =−2f2. On dit que f1 et f2 sont des vecteurs propresdeu, et que les scalaires ¹₂ et−2 sont des valeurs proprescorrespondant

`a ces vecteurs propres. Une des questions fondamentales de ce chapitre est d’´etudier la possibilit´e de trouver une base de E form´ee de vecteurs propres d’un endomorphisme u donn´e. On dira dans ce cas que u est diagonalisable.

Si on d´efinit l’endomorphisme v de R² par la formule v(x1, x2) = (x1 +x2, x1), on voit que la seule valeur propre possible pourvest 1, et les seuls vecteurs propres possibles sont de la forme (x₁,0), donc on ne peut pas trouver une base deR² form´ee de vecteurs propres dev. Il existe donc des endomorphismes non diagonalisables, et nous donnerons des crit`eres de diagonalisabilit´e.

Valeurs propres, vecteurs propres

D´efinitions 5.1.2. Soient E un espace vectoriel de dimension finie sur K et u ∈ L(E) ; un vecteur x∈E est vecteur propre de u si x6= 0_E et si u(x)∈Kx.

Si x est vecteur propre de u il existe donc λ ∈ K tel que u(x) = λx. Un ´el´ement λ∈K est valeur propre deu s’il existe un vecteur x6= 0E dans E tel que u(x) =λx.

Proposition 5.1.2. Soient E un espace vectoriel de dimension n > 0 sur K, u un endomorphisme de E et A la matrice de u dans une base de E; le nombre λ est valeur propre de u si et seulement si λ ∈K et det(A−λIn) = 0.

D´emonstration. Supposons que λ∈K soit valeur propre de u. Alors il existe un vecteur x6= 0E tel que (u−λIdE)(x) = 0E, doncu−λIdE n’est pas injectif, donc pas inversible, ce qui implique det(A−λI_n) = 0. Inversement si det(A−λI_n) = 0, l’endomorphisme u−λIdE n’est pas inversible donc pas injectif d’apr`es la proposition 4.2.1, donc il existe x6= 0E tel que u(x) =λx.

Exemple. Pour l’application lin´eaire u de R² dans R² dont la matrice dans la base

canonique est µ

−³₂ 1

1 0

¶

l’´equation des valeurs propres estλ²+³₂λ−1, dont les racines sont 1/2 et−2; en r´esolvant (A− ¹₂ I2)X = 0 on trouve le vecteur (1,2) pour vecteur propre.