On note n k le nombre de partitions d'un ensemble ànéléments en kparties non vides

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MPSI B Année 2019-2020 Énoncé DM 16 pour le 04/05/20 24 avril 2020

Soientk, m,ntrois entiers naturels non nuls aveck≤m etk≤n. On notem^k le produit dekentiers consécutifs décroissants à partir dem

m^k =m(m−1)· · ·

| {z }

kfacteurs

=m(m−1)· · ·(m−k+ 1)

On dira quem^k est une puissance descendante dem. On note

n k

le nombre de partitions d'un ensemble ànéléments en kparties non vides.

Par exemple 3

2

= 3car les partitions de{a, b, c} en deux parties non vides sont {{a, b},{c}}, {{b, c},{a}}, {{c, a},{b}}

1. En précisant dans chaque cas l'ensemble des partitions à considérer, calculer 4

1

, 4

2

, 4

3

, 4

4

2. SoitAet X deux ensembles, respectivement de cardinal netm, soitkentier entre1 etmin(m, n). On note

Πk : l'ensemble des partitions deA enk parties non vides.

Fk : l'ensemble des fonctions deAdansX telles que](f(A)) =k. a. Soitf ∈ Fk etf(A) ={y1, y2,· · ·, yk}. On note

π(f) =

f⁻¹({yi}), i∈ {1,· · ·, k}

Montrer queπ(f)∈Πk c'est à dire une partition deAenkparties non vides.

b. Soitf ∈ Fk. Quel est le cardinal de l'ensemble desg∈ Fktelles queπ(g) =π(f)? 3. Montrer que

mⁿ=

min(m,n)

X

k=1

n k

m^k

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai M1916E